三角形判定一专题练习（ASA）
一、单选题
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，用直尺和圆规作ΔABC和ΔDBC，则ΔABC≌ΔDBC，理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A． B．4 C． D．5
4．如图，中，，于点E，于点D，，AD与BE交于点F，连结CF．若．则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB，AC，的平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，即，已知，那么该正五边形的周长为（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
6．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，直角MDN绕点旋转，DM、DN分别与边AB，AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形； ②AE＝CF； ③△BDE≌△ADF； ④BE+CF＝EF．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
9．如图，在 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ， 是 边的中点， 与 交于点 .某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：① ；② ；③ ；④ .上述结论一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
10．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
11．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，∠A=∠F，AC=FE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝6，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则AF长为 .
13．如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，若BC＝AE＝4，DE＝7，则EC＝ .
14．如图所示，正方形ABCD的边长为10，AG = CH = 8，BG = DH = 6.若连结GH，则线段GH的长为 .
15．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=9cm，则BD= cm．
16．如图，AC=BC，∠ACD=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD=BF；②BF=AF；③AB=BF；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE．其中正确的结论有 ．
三、综合题
17．如图，在四边形ABCD中，，，过点A作于E，E恰好为BC的中点，．
（1）直接写出AE与AD之间的数量关系： ；位置关系： ；
（2）点P在BE上，作于点F，连接AF．求证：．
18．如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
19．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）求证：∠ABE=∠CAD
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
20．如图，BD＝BE，∠D＝∠E，∠ABC＝∠DBE＝90°，且点A，C，E在同一条直线上．
求证：
（1）△DAB≌△ECB；
（2）作BF⊥AE于F，若AD＝3，AF＝1，求BE的长．
21．如图，已知∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC．
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBC的度数．
22．已知 和 ，AB=AD， ， ，AD与BC交与点P，点C在DE上.
（1）求证：BC=DE
（2）若 ， ，
①求 的度数
②求证：CP=CE
23．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：ABDE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
24．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△BCH≌△ACG；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．三角形判定一专题练习（ASA）
一、单选题
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，
根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即 ASA.
故答案为：C.
【分析】观察图形可知已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，由此可得答案.
2．如图，用直尺和圆规作ΔABC和ΔDBC，则ΔABC≌ΔDBC，理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；作图-角
【解析】【解答】解：由图可知：∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，BC=BC
∴ΔABC≌ΔDBC（ASA）
故答案为：B.
【分析】由作图痕迹可知∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，由于BC=BC，根据ASA可证ΔABC≌ΔDBC.
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG＝GE，则BM的长度是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：设BM=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠的性质得：∠E=∠B=90°，ME=BM，CE=BC，
在△GAM和△GEF中，
，
∴△GAM≌△GEF（ASA），
∴GM=GF，
∴AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，
∴DF=8-x，CF=8-（6-x）=x+2，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62，
解得： x=.
故答案为：C.
【分析】 设BM=x，由ASA证明△GAM≌△GEF，得出GM=GF，从而得出AF=ME=BM=x，EF=AM=6-x，DF=8-x，CF=x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案.
4．如图，中，，于点E，于点D，，AD与BE交于点F，连结CF．若．则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：
ΔABD是等腰直角三角形，
在ΔADC和ΔBDF中，
在RtΔCDF中，
即BE为AC的垂直平分线，
故答案为：B．
【分析】易求ΔABD是等腰直角三角形，可得，利用余角的性质可得，根据ASA证明，可得在RtΔCDF中，利用勾股定理求出CF=2，根据等腰三角形的性质可得AE=CE，即得BE为AC的垂直平分线，从而得出根据AD=AF+DF即可求解.
5．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB，AC，的平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，即，已知，那么该正五边形的周长为（ ）
A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm
【答案】C
【知识点】黄金分割；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角＝ ，每条边相等， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵DC为∠ACB的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴该五边形周长 ，
故答案为：C．
【分析】先利用可得AE=AD，再求出即可得到答案。
6．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC，
∴CD=DE，
∵BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3DE=9．
故答案为9．
【分析】先证明△ADE≌△ADC，再利用全等三角形的性质可得CD=DE，再结合BD=2CD，利用等量代换可得答案。
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，直角MDN绕点旋转，DM、DN分别与边AB，AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形； ②AE＝CF； ③△BDE≌△ADF； ④BE+CF＝EF．其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
故③符合题意；
∴DE＝DF、BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①符合题意；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，
故②符合题意；
∵BE+CF＝AF+AE
∴BE+CF＞EF，
故④不符合题意；
综上所述，正确的结论有①②③；
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质，先利用“ASA”证明△ADF≌△BDE，再利用全等三角形的性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE，使∠CDE=∠A，DE交BC于点F，则EF的长为（ ）
A．3 B． C． D．3.5
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥CD于点H，
∵∠ACB=90°， 点D是斜边AB的中点
∴CD=AD=BD=2，
∴∠A=∠ACD=∠CDE，
∴AC∥DE，
∴点F为BC的中点，
∴；
∵CE=DE
∴DH=CD=1=AC，
∴△EHD≌△ACB（ASA），
∴DE=BA=4，
∴EF=DE-DF=4-0.5=3.5.
故答案为：D.
【分析】过点E作EH⊥CD于点H，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD=AD=BD=2，利用等腰三角形的性质可证得∠A=∠ACD=∠CDE；再利用三角形的中位线定理可求出DF的长，利用等腰三角形的性质求出DH的长，可得到DH=AC，利用SAS证明△EHD≌△ACB，利用全等三角形的性质可求出DE的长；然后根据EF=DE-DF，可求出EF的长.
9．如图，在 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于点 ， 是 边的中点， 与 交于点 .某数学兴趣小组分析图形后得出以下结论：① ；② ；③ ；④ .上述结论一定正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
，
∵ 是 边的中点，
故②正确；
， ，
在 和 中，
，
，故①正确；
平分 ，且 ，
在 和 中，
，
，故④正确；
如图，过点G作 于K，
平分 ，且 ，
，
∵在 中， ＞ ，
＜ ，故③错误.
故答案为：C.
【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得DH⊥BC，判断①正确，然后证明 ，可以判断①正确，根据全等三角形对应边相等可得 ，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC，可以证明 ，根据全等三角形对应边相等可得 ，从而判断④正确，如图，过点G作 于K，利用角平分线的性质可证明 ，根据直角三角形中斜边大于直角边即可证明结论③错误.
10．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
11．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，∠A=∠F，AC=FE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个即可）
【答案】∠C ∠E或AB FD(AD FB)或∠ABC ∠FDE或DE∥BC
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】增加一个条件：∠C ∠E，
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE(ASA)；
或添加AB FD(AD FB) 利用SAS证明全等；
或添加∠ABC ∠FDE或DE∥BC利用AAS证明全等．
故答案为：∠C ∠E或AB FD(AD FB)或∠ABC ∠FDE或DE∥BC（答案不唯一）．
【分析】根据三角形全等的方法添加条件即可。
12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝6，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP＝OF，则AF长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵将△CDP沿DP折叠，点C落在E处，
∴DC=DE=8，CP=EP，
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP，
设EF=BP=x，
DF=DE-EF=8-x，
∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=6-x，
∴AF=AB-BF=2+x，
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，
∴（2+x）2+62=（8-x）2，
∴x=,
∴AF=2+x=.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质可得DC=DE，CP=EP，由AAS证明△OEF≌△OBP，得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，把相关线段用含x的代数式表示，进而得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理求出x的值，即可求出AF的长.
13．如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，若BC＝AE＝4，DE＝7，则EC＝ .
【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解： AC⊥BC， DE⊥AC
∠ACB=∠DEA=90°
∠B+∠BAC=90°
AD⊥AB
∠BAC+∠DAE=90°
∠B=∠DAE
AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C=∠AED=90°，
又因BC＝AE，
△ABC≌△DAE
AC=DE=7
CE=AC-AE=3.
故答案为：3.
【分析】先根据同角的余角相等得出 ∠B=∠DAE，然后利用ASA证出△ABC≌△DAE，得出AC=DE=7，利用CE=AC-AE，即可得出EC的长.
14．如图所示，正方形ABCD的边长为10，AG = CH = 8，BG = DH = 6.若连结GH，则线段GH的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，
∵正方形ABCD，
∴AB＝CD＝10，
∵BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2＋BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠BAG＝∠HCD，∠ABG＝∠HDC，
∴∠BAG＋∠ABG＝90°，∠HCD＋∠HDC＝90°，
又∵∠ABG＋∠CBG＝90°，∠BCE＋∠DCH＝90°，
∴∠BAG＝∠CBG＝∠HCD，∠ABG＝∠BCH＝∠HDC，
在△ABG和△BCE中，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE BG＝8 6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，
.
故答案为：.
【分析】延长BG交CH于点E，利用正方形的性质，可证得AB＝CD，勾股定理的逆定理证明△ABG和△DCH是直角三角形，再利用SSS证明△ABG≌△CDH，利用全等三角形的性质可得到∠BAG＝∠HCD，∠ABG＝∠HDC，从而可证得∠BAG＝∠CBG＝∠HCD，∠ABG＝∠BCH＝∠HDC；再利用ASA证明△ABG≌△BCE，利用全等三角形的性质可求出GE，HE的长，然后利用勾股定理求出GH的长。
15．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=9cm，则BD= cm．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】∵AB∥CF，
∴∠ADE=∠EFC，
∵∠AED=∠FEC，E为DF的中点，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF=9cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-9=4(cm)．
故答案为：4．
【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=13cm即可求出BD的长．
16．如图，AC=BC，∠ACD=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD=BF；②BF=AF；③AB=BF；④AC+CD=AB；⑤AD=2BE．其中正确的结论有 ．
【答案】①、④、⑤
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵BF⊥AE，
∴∠AEF=∠BCF=∠ACD=90°,
∴∠F+∠FAE=90°，∠F+∠FBC=90°，
∴∠FAE=∠FBC，
又∵AC=BC，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF，故①符合题意；
∵AF>AD，
∴BF AF，故②不符合题意；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEF，
∴AB=AF，BE=FE，
∵BF AF，
∴BF AB，故③不符合题意；
∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，
∵AF=CF+AC，
∴AB=CD+AC，故④符合题意；
∵AD=BF，BF=2BE，
∴AD=2BE，故⑤符合题意；
故答案为：①、④、⑤.
【分析】利用ASA证明△ADC≌△BFC判断①符合题意；由AF>AD，推出BF AF判断②不符合题意；利用角平分线的性质及垂直的定义证明△AEB≌△AEF，得到AB=AF，BE=FE，即可判断③不符合题意；根据△ADC≌△BFC推出CF=CD，由AF=CF+AC判断④符合题意；由AD=BF，BF=2BE，判断⑤符合题意.
三、综合题
17．如图，在四边形ABCD中，，，过点A作于E，E恰好为BC的中点，．
（1）直接写出AE与AD之间的数量关系： ；位置关系： ；
（2）点P在BE上，作于点F，连接AF．求证：．
【答案】（1）；
（2）证明：过点A作交DP于点H
则，∴，
即
∵，，
且，
∴
∵，
∴≌（ASA），
∴，
在中，，
由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：∵点E为BC中点
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：，．
【分析】（1）由中点的定义得到BC=2BE，再由AE=2BE，得到AE=BC，然后由AD=BC，AE⊥BC，AD//BC，即可得出结论；
（2）在DP上截取DH=EF，连接AH，证明≌，得到∠HAD=∠FAE，AH=AF，再由等腰直角三角形的性质得到，进而得出结论。
18．如图，点D在 的BC边上， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求CD的长，
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）；线段的计算
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ACB=∠DBE，然后利用全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AC=DB=4，然后根据CD=BC-BD进行计算.
19．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）求证：∠ABE=∠CAD
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠HBD＝∠CAD，
∵∠HBD＝∠ABE，
∴∠ABE=∠CAD
（2）解：AB＝BD+DH
理由是：∵在△BDH和△ADC中
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一，可证得BE⊥AC，∠ABE=∠HBD；利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠HBD＝∠CAD，由此可证得结论.、
（2）利用ASA可证得△BDH≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等可推出DH＝DC；然后根据BC=BD+DC，代入可证得结论.
20．如图，BD＝BE，∠D＝∠E，∠ABC＝∠DBE＝90°，且点A，C，E在同一条直线上．
求证：
（1）△DAB≌△ECB；
（2）作BF⊥AE于F，若AD＝3，AF＝1，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE
∴∠ABD＝∠CBE
在△DAB和△ECB中，
∵
∴△DAB≌△ECB（ASA）
（2）证明：∵△DAB≌△ECB，AD＝3
∴CE＝AD＝3，AB=BC
∵∠ABC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形
又∵BF⊥AC，AF=1
∴CF=BF=1
∴EF＝1+3=4
∴在Rt△EFB中，BE=
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠ABD＝∠CBE，利用ASA即可得出△DAB≌△ECB；
（2）先证出△ABC为等腰直角三角形，从而得出BF=1，EF=4，再根据勾股定理即可得出BE的长.
21．如图，已知∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC．
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBC的度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABC，
∴BD＝BC，△BDC为等腰三角形，
∴∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，
∴∠BDC＝∠BDE＝∠C＝65°，
∴∠CBD＝50°，
∵O点为CD中点，
∴∠OBC＝ ∠CBD＝25°．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EBD＝∠ABC． 再利用ASA证明求解即可；
（2）先求出 ∠BDE＝∠C， 再求出 ∠CBD＝50°， 最后计算求解即可。
22．已知 和 ，AB=AD， ， ，AD与BC交与点P，点C在DE上.
（1）求证：BC=DE
（2）若 ， ，
①求 的度数
②求证：CP=CE
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE；
（2）解：①∵ ， ，
∴∠BAD=70°-30°=40°，
∴∠CAE=∠BAD=40°.
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∴∠E=∠ACE= ；
②∵ ，∠E=∠ACE =70°，
∴∠APC=∠E=∠ACE =70°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACP=∠E =70°，
∴∠APC=∠E=∠ACE =∠ACP =70°.
在△ACP和△ACE中
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP=CE.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用∠BAD=∠CAE，可证得∠BAC=∠DAE，利用ASA证明△ABC≌△ADE，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）①利用三角形外角的性质可求出∠BAD的度数；可得到∠CAE的度数，利用全等三角形的对应边相等可证得AC=AE；然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠E的度数；②利用已知可证得 ∠APC=∠E=∠ACE ，利用全等三角形的对应角相等可证得 ∠ACP=∠E ，由此可推出∠APC=∠E；再利用AAS证明△ACP≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
23．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：ABDE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【答案】（1）证明：在ABC和EDC中，
，
∴ABC≌EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，AB=DE=4
∴ABDE．
（2）解：当0≤t≤时，AP＝3tcm；
当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm，
则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；
（3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在ACP和ECQ中，
，
∴ACP≌ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤时，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明ABC≌EDC，再利用全等三角形的性质可得∠A＝∠E，AB=DE=4，再利用平行线的判定即可得到AB//DE；
（2）分两种情况，再利用线段的和差及表达式求解即可；
（3）先利用“ASA”证明ACP≌ECQ，再利用全等三角形的性质分两种情况列出方程求解即可。
24．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△BCH≌△ACG；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
【答案】（1）解：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACD=∠ECB，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH=∠CAG，
∵∠ACB=∠ECD=60°，点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACG=60°=∠ACB，
又∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCH(ASA)；
（3）△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH，
∴CG=CH（全等三角形的对应边相等），
又∵∠ACG=60°，
∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ACD=∠ECB， 再利用SAS证明 △ACD≌△BCE ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠CBH=∠CAG， 再求出 ∠ACG=60°=∠ACB， 最后利用ASA证明求解即可；
（3）先求出 CG=CH ，再根据 ∠ACG=60°， 求解即可。
