2022—2023学年浙教版数学七年级上册 1.3绝对值-提升练习 （Word版含答案）

浙教版-7年级-上册-数学-第1章《有理数》
1.3 绝对值
【知识点-部分】
1、定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对是0。即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；
离原点的距离越近，绝对值越小；
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。
2、性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等；
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0。
【典型例题-精选部分】
1、设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
2、如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，则x﹣y的值是 。
3、|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于 。
4、已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|＝2，且|c﹣5|+|d+3|＝0，
（1）写出a、b、c、d的值． （2）计算a﹣b﹣c+d的值．
5、如果有理数a，b满足|ab﹣2|+|1﹣b|＝0，试求：
（1）a，b的值； （2）+++…+的值．
6、已知|m+n|+|m|＝m，且|2m﹣n﹣2|＝0，求mn的值．
7、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
① a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
② 当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 　 　；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
8、对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝　 　．（﹣2019]＝　 　，（]＝　 　；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
9、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　．
（4）当a＝　 　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
10、已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值。
11、（1）当a＞0时，a　 　﹣a；当a＝0时，a　 　﹣a；当a＜0时，a　 　﹣a．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和的大小关系．
12、有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，b﹣a　 　0，c﹣a　 　0．
（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．
13、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b　 　0，a+b　 　0，a﹣c　 　0，b﹣c　 　0；
（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝　 　；
（3）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|．
14、（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣），
（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
① 试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接；
② 化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
15、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：a+c　 　0，c﹣b　 　0，b+a　 　0，abc　 　0；
（2）化简：|a+c|+|c﹣b|﹣|b+a|．
【参考答案】
1、设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上：+++＝0．故选：A．
2、如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，则x﹣y的值是 。
【解答】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．因为B＝{}，A＝B，
由x≠0，可得|x|≠0，≠0，所以，即y＝0，那么就有或者，
当得x＝，当无解．所以当x＝时，A＝{2，0，}，B＝{2，，0}，
此时A＝B符合题意．所以x﹣y＝．
3、|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于 。
【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17．
4、已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|＝2，且|c﹣5|+|d+3|＝0，
（1）写出a、b、c、d的值． （2）计算a﹣b﹣c+d的值．
【解答】解：（1）∵a是最大的负整数的相反数，∴a＝1，∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝﹣2，
∴b＝﹣2或b＝﹣6，∵|c﹣5|+|d+3|＝0，∴c﹣5＝0，d+3＝0，解得c＝5，d＝﹣3，
所以，a＝1，b＝﹣2或﹣6，c＝5，d＝﹣3；
（2）a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣2）﹣5+（﹣3），＝1+2﹣5﹣3，＝﹣5，
或a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣6）﹣5+（﹣3），＝1+6﹣5﹣3，＝﹣1，所以，a﹣b﹣c+d的值为﹣5或﹣1．
5、如果有理数a，b满足|ab﹣2|+|1﹣b|＝0，试求：
（1）a，b的值； （2）+++…+的值．
【解答】解：（1）由题意得，ab﹣2＝0，1﹣b＝0，解得a＝2，b＝1；
（2）原式＝+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣＝．
6、已知|m+n|+|m|＝m，且|2m﹣n﹣2|＝0，求mn的值．
【解答】解：∵|m+n|+|m|＝m，|2m﹣n﹣2|＝0，∴m+n＝0，2m﹣n﹣2＝0且m≥0，
即，解得：，则mn＝﹣
7、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
① a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
② 当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，
则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 　 　；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
【解答】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0，
当a＞0，b＜0时，；当 a＜0，b＞0时，．
故答案为：0．
（2）abc＜0，∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
① 当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：|＝＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
② a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则＝＝﹣1+1+1＝1；
（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．
a，b，c中只有一个负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
＝1﹣1﹣1＝﹣1．
8、对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝　 　．（﹣2019]＝　 　，（]＝　 　；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
【解答】解：（1）根据（x]表示的意义得，（10]＝9，（﹣2019]＝﹣2020，（]＝0，
故答案为：9，﹣2020，0；
（2）∵a，b都是整数，∴（a]＝a﹣1，（b]＝b﹣1，而（a]和（b]互为相反数，
∴a﹣1+b﹣1＝0，即a+b＝2，因此a﹣（a+b）×3+b＝a﹣3a﹣3b+b＝﹣2（a+b）＝﹣4，
答：代数式a﹣（a+b）×3+b的值为﹣4；
（3）当原点在大数的右侧时，有（x]＝﹣2，此时，﹣2＜x≤﹣1，
当原点在小数的左侧时，有（x]＝4，此时，4＜x≤5，故x的取值范围为﹣2＜x≤﹣1或4＜x≤5．
9、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　．
（4）当a＝　 　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，|﹣3﹣2|＝5，|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
10、已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值。
【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|≥3，（|y﹣2|+|y+1|）≥3，（|z﹣3|+|z+1|）≥4，
又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，
∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，
当|x+1|+|x﹣2|＝3时，x最小取﹣1，最大取2，当|y﹣2|+|y+1|＝3时，y最小取﹣1，最大取2，
当|z﹣3|+|z+1|＝4时，z最小取﹣1，最大取3
所以2016x+2017y+2018z的最大值为：2016×2+2017×2+2018×3＝14120，
2016x+2017y+2018z的最小值为：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）＝﹣6051。
11、（1）当a＞0时，a　 　﹣a；当a＝0时，a　 　﹣a；当a＜0时，a　 　﹣a．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）请仿照（1）的方法，当a＞0时，比较a和的大小关系．
【解答】解：（1）当a＞0时，a＞﹣a；当a＝0时，a＝﹣a；当a＜0时，a＜﹣a．
（2）当0＜a＜1时，a＜；当a＝1时，a＝；当a＞l时，a＞．故答案为：＞；＝；＜．
12、有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c　 　0，b﹣a　 　0，c﹣a　 　0．
（2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．
【解答】解：（1）观察数轴可知：a＜0＜b＜c，∴b﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0．故答案为：＜；＞；＞．
（2）∵b﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0，∴|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|＝c﹣b+b﹣a﹣c+a＝0．
13、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：b　 　0，a+b　 　0，a﹣c　 　0，b﹣c　 　0；
（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝　 　；
（3）化简|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|．
【解答】解：∵b＜﹣1＜c＜0＜1＜a，|a|＝|b|，∴（1）b＜0，a+b＝0，a﹣c＞0，b﹣c＜0；
（2）|b﹣1|+|a﹣1|＝﹣b+1+a﹣1＝a﹣b；
（3）|a+b|+|a﹣c|﹣|b|+|b﹣c|＝0+（a﹣c）+b﹣（b﹣c）＝0+a﹣c+b﹣b+c＝a．
故答案为：＜，＝，＞，＜；a﹣b．
14、（1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：﹣（﹣4），﹣|﹣3.5|，+（﹣），
（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：
① 试把x，y，0，﹣x，|y|这五个数从小到大用“＜”号连接；
② 化简：|x+y|﹣|y﹣x|+|y|．
【解答】解：（1）﹣（﹣4）＝4，﹣|﹣3.5|＝﹣3.5，+（﹣）＝﹣，如图所示：
；
（2）① 由x，y在数轴上的位置可得：﹣x＜y＜0＜|y|＜x；
② |x+y|﹣|y﹣x|+|y|＝x+y+（y﹣x）﹣y＝y．
15、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：a+c　 　0，c﹣b　 　0，b+a　 　0，abc　 　0；
（2）化简：|a+c|+|c﹣b|﹣|b+a|．
【解答】解：（1）根据数轴可知：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，∴a+c＜0，c﹣b＞0，b+a＜0，abc＞0，
故答案为：＜，＞，＜，＞；
（2）原式＝﹣（a+c）+（c﹣b）+（b+a）＝﹣a﹣c+c﹣b+b+a＝0．