2.3等腰三角形性质1 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.3 等腰三角形的性质定理 （1)
等腰三角形的轴对称性
→
等腰三角形的两个底角相等
指代不明
→
分类讨论
浙教版八上
A
B
C
底边
顶角
腰
腰
底角
底角
（1）相等的两边叫做腰，另一　　　　　　　　　边叫底边
（2）两腰的夹角叫做顶角
（3）腰和底边的夹角叫做底角
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
温故知新：
A
C
B
A
C
B
等腰钝角三角形
等腰直角三角形
等腰锐角三角形
A
C
B
┐
等腰三角形，按顶角分类：
等腰三角形是轴对称图形；
对称轴是等腰三角形的顶角平分线所在的直线。
等腰三角形的轴对称性
→
等腰三角形的两个底角相等
1. ∠ B =∠ C
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线
3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
问题:由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等.
已知:AB=AC
A
D
C
B
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
结论:
,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
1.求证：等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议： 2.如何构造两个全等的三角形？
A
B
C
D
证明一:作顶角的平分线A D.
证明二:作底边上的中线AD
证明三:作底边上的高AD.(待以后证明)
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠1=∠2
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
1
2
.
A
B
C
D
作底边上 的中线AD，则BD=CD
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法二：作底边上的中线
证明：
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
。
解：
∵ AB=AC
∴ ∠ B= ∠C（等腰三角形的两个底角相等）
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∠Ａ=50°
∴ ∠B=∠C= （180°- ∠A）= （180°- 50°)=65°
已知：等腰三角形的一个内角为 50 °， 求另两个角的度数.
1. 50 °为顶角：另两个角的度数为65°，65°
2. 50 °为底角：另两个角的度数为50°，80°
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°,0°＜底角＜90°
1.如图，在△ABC中AB=AC，∠A=50°，求∠ B，∠C的度数。
50°
A
B
C
学以致用：
2.求等边三角形ABC三个内角的度数.
A
B
C
解 如图，在△ABC中,
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等).
同理，∠A=∠B.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°.
3. 如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD、BE相交于点O. 求∠AOB的度数.
解：∵△ABC是等边三角形
∴ ∠BAC=∠ABC=60°
∵ AD，BE是等边三角形ABC的角平分线
∴ ∠BAO=∠BAC=30°
∠ABO=∠ABC=30°
∴ ∠AOB=180°-∠BAO - ∠ABO=120°
4. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两条角平分线.
求证：BD=CE
证明：∵ AB=AC（已知）
∴ ∠CBD= ∠ABC, ∠BCE= ∠ACB
∴ △BCE≌△CBD（ASA）
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）
∵ BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴ ∠CBD=∠BCE
在△BCE和△CBD中
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）
法1：
4. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两 条角平分线. 求证：BD=CE
证明：∵ AB=AC（已知）
∴ ∠ABD= ∠ABC, ∠ACE= ∠ACB（角平分线的定义）
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）
∵ BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴ ∠ABD=∠ACE
△ABD和△ACE中
∴ △ABD≌△ACE（ASA）
法2：
1．等腰三角形的性质定理1
定理：等腰三角形的两个底角相等，也就是说，在同一个三角形中，等边对等角．
2．等边三角形的性质
定理：等边三角形的各个内角都等于600.
说明：等边三角形的特殊性质主要指：三个内角都相等，三条边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴．
归纳总结：
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
在等腰三角形中,
⑤0°＜底角＜90°
A
B
C
底边
顶角
腰
腰
底角
底角
A
B
C
底边
顶角
腰
腰
底角
底角
A
B
C
底边
顶角
腰
腰
底角
底角
1 填空：在等腰三角形中，
（1）已知顶角为70°，其余两个角分别为＿＿＿＿＿。
（2）已知底角为70°，其余两个角分别为＿＿＿＿＿ 。
（3）已知一个角为70°, 其余两个角分别为＿＿＿＿＿＿
（4）已知一个角为100°，其余两个角分别为＿＿＿＿＿ 。
55°, 55°
70°, 40°
55°, 55°或70°, 40°
40°, 40°
当堂检测：
2．如图，△ABC中，已知，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．45°
A
等腰三角形顶角的外角是底角的2倍
3.证明：在一个三角形中，较大的边所对的角也较大.
也可以说成：在同一个三角形中，大边对大角.
已知：如图，在△ABC中，AB>AC,求证：∠ACB>∠ABC
A
B
C
D
证明：∵AB>AC,在AB上截取AD,使AD=AC,连接CD
∴∠ADC=∠ACD (在同一个三角形中，等边对等角)
∵∠ADC >∠ABC (三角形的外角大于与它不相邻的内角)
∠ACB>∠ACD (几何直观）
∴∠ACB>∠ADC >∠ABC
关键的，截取----构造等腰三角形
逆定理：在同一个三角形中，大角对大边.
连续递推，豁然开朗
4.如图：在三角形ABC中，AB=AC ， D在 AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各内角的度数？
A
C
B
D
问题：
2、∠A与哪些角相等？
1、∠C与哪些角相等？
（∠3、 ∠ABC ）
1
2
3
（ ∠1、 ∠2 ）
3、 ∠C与∠A是什么关系？
（ ∠C=2 ∠A ）
解：∵BD=AD, ∴ ∠1= ∠A
∵ ∠3= ∠1+ ∠A, ∴ ∠3=2 ∠A
∵ BD=BC, ∴ ∠3= ∠C, ∴ ∠C=2 ∠A
∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=1800, ∴ 5 ∠A=1800,
∴ ∠A=360, ∴ ∠ABC= ∠C=2 ∠A=720