(共16张PPT)
勾股定理
旧知——温故
温故——知新
从勾股定理
到图形面积关系的拓展
操作——探究
请模仿设计一个图案，使得直角三角形周围的三个图形满足S1+S2=S3 .
分割——形同
合作——发现
请模仿设计一个图案，使得直角三角形周围的三个图形满足S1+S2=S3 .
分割——形同
合作——发现
请模仿设计一个图案，使得直角三角形周围的三个图形满足S1+S2=S3 .
补形——形同
合作——发现
一个直角三角形中，以斜边为边所画的任何图形的面积，等于分别以两条直角边为边所画的与其相似的图形的面积之和.
形状相同，
大小可以不同
对应边
猜想——归纳
请设计一个图案，使得直角三角形周围的三个图形满足S1+S2=S3 .
类比——探究
探究——发现
所画图形可以是相似三角形，
正多边形，其他相似图形。
应用——巩固
应用——拓展
应用——再拓
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
C
应用——欣赏
勾股定理
图形面积关系
基本经验
追本溯源
等积变换
基本图形
基本思想
数形结合
类比思想
总结——升华
友谊是一种和谐的平等
古希腊数学家：毕达哥拉斯从勾股定理到图形面积关系的拓展
设计理念
《数学课程标准（2011版）》明确提出了“积极倡导自主，合作，探究的学习方式”，提倡教师成为学生数学学习的组织者、引导者和合作者。数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。数学核心素养的本质在于用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的综合素养。
由生长源（元问题）出发，基于基础与经验，在掌握数学问题的过程中不断发现新问题，不断生长新的数学知识、方法、思维、经验链，形成核心知识间的结构关系，揭示方法规律，领悟数学思想，积累数学活动经验，提升数学思维品质，为学生生命成长助力，是学生自主学习与教师助学相融合的学习课堂。
本节课以数学作业本八年级上2.7探索勾股定理（1）第2题为母题，以回顾定理——构建模型——拓展模型——应用模型为主线，以问题生长为基本教学设计模式，以动手操作、合作学习为教学方式与手段，力图实现学生的知识成长、思维成长和能力成长。
教学过程
现题
（数学作业本八年级上2.7探索勾股定理（1）第2题）
如图（1），已知两个正方形的面积分别为64和289，求正方形A的面积。
解题
1.引题
勾股定理：直角三角形的三条边长有下面的关系：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图（2），a,b为直角三角形的两条直角边的长,c为斜边的长，则有a2+b2=c2，我们称之为勾股定理。
2.解题
如图（3），因为a2+b2=c2，所以S1+S2=S3。可知2.7探索勾股定理（1）第2题的正方形A的面积为289-64=225。
案例评析：回顾勾股定理，引出基本图形，了解勾股定理与图形面积之间的关系，体验数形结合思想，了解模型建构。
拓题
拓展：基于原模型的拼剪
问题1：将图（3）沿着以下虚线裁剪，得到图（4），可否证明S1+S2=S3？
学生：因为a2+b2=c2，所以a2+b2=c2，即：S1+S2=S3。
合作学习：请模仿设计一个图案，使得直角三角形周围的三个图形满足S1+S2=S3。学生：如图。
小结：通过分割，构造三个形状相同的图形，满足S1+S2=S3。
教师：还有其他方法吗？
学生：如图。
小结：通过补形，构造三个形状相同的图形，满足S1+S2=S3。
猜想、归纳：一个直角三角形中，以斜边为边所画的任何图形的面积，等于分别以两条直角边为边所画的与其相似的图形的面积之和。
案例评析：以学生为主体，通过合作学习，动手操作，将原模型进行分割、补形，得到仍符合条件的图形，初步完成从勾股定理到图形面积关系的拓展。在实践操作中掌握模型变化规律，找出里面的共性，并多图归一。
拓展：基于原模型的转换
问题2：如图5，将三个正方形改成三个等边三角形，S1+S2=S3吗？
证明：∵S1=a2,S2=b2,S3=c2,
a2+b2=c2，
∴S1+S2=a2+b2
=（a2+b2）
=c2 =S3
合作学习：请模仿设计一个图案，使得直角三角形周围的三个图形满足S1+S2=S3。
学生：如图。
思考：如图6，分别以直角三角形的三边为直径，向外作三个半圆，则S1+S2=S3吗？
证明：∵S1=a2,S2=b2,S3=c2, a2+b2=c2，
∴S1+S2=a2+b2
=（a2+b2）
=c2 =S3
小结：所画图形可以是相似三角形，正多边形，其他相似图形。
案例评析：以学生为主体，通过合作学习，动手操作，将原模型转换，构造其他相似图形，得到仍符合条件的图形，进一步完成从勾股定理到图形面积关系的拓展。在实践操作过程中，让学生的知识、思维、能力得以生长。
拓展：基于模型的提升
问题3：公元前约400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己所画的图形（如图7），得出以下结论：“两个月牙形的面积之和，等于三角形ABC的面积，即S1+S2=S3。”你能说明理由吗？
证明：∵S1+S4+S2+S5=S3+S4+S5
∴S1+S2=S3
练习1：如图8，求证：试证明S1+S2+S4=S3+S5。
证明：∵S1+S2+S6+S4+S7=S3+S5+S6+S7
∴S1+S2+S4=S3+S5
练习2： 如图9是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
案例评析：通过对折图形，将模型变换，或者生长图形，得出复杂图形，将规律应用于图形。通过问题的生长，让学生的知识、思维、能力进一步得以生长。
理题
教学启示
1.生长教学应注重有效性
由生长源（元概念或者元问题）出发，基于基础与经验，通过类比等手段，在掌握数学概念、方法的过程中不断产生新概念、新方法，不断生长新的数学知识、方法、思维、经验，是为生长教学。在设计时应该要考虑该问题或概念的生长教学是否有必要，教学设计环节是否精准有效，教学结果是否有助于学生更好的掌握数学知识。
2.生长教学应注重自主性
通过积极倡导自主、合作、探究的学习方式，使学生成为课堂的主体，充分尊重学生的个性、重视个性的发展。使每个学生在自己的基础、不同起点上，得到最优发展。在教学过程中，充分关注数学本质，不断生长新知识、生长新方法、生长新经验、生长新思维，发挥数学核心概念课应有的育人价值。
3.生长教学应注重层次性
我们的教育应让不同层次学生在原有基础上都有发展，在教学设计价值理念上，体现高立意低起点，关注每一位成长发展；在教学设计上体现层次性，以元问题改变为思维出发点，关注学生最近发展区，由易到难，从典型到变式，从尝试到成功，使得不同水平层次的学生都能解答不同水平的问题；思维层次从低价思维转向高阶思维，让学生自主独立思考、自主发散思维、自主归纳总结，从而激活思维动力，增长思维活力。
（图1）
（图3）
（图2）
（图4）
（图5）
（图6）
（图8）
（图7）
（图9）
