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3.6 圆内接四边形
一、圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
二、圆内接四边形性质定理
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
一、单选题
1．如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
【答案】D
【提示】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由∠AOC= 100° 求出∠ADC= ∠AOC，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC= 180° ，即可求出∠ABC的度数．
【解答】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，
∵∠AOC= 100° ，
∴∠ADC= ∠AOC=50° ，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC= 180° ，
∴∠ABC= 180° -50° =130° ，
故选：D．
【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
2．已知下列四个命题：①圆内接梯形是等腰梯形；②圆内接平行四边形是矩形；③圆内接矩形是正方形；④圆内接菱形是正方形．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】分别根据等腰梯形、矩形、正方形、菱形的性质进行判断即可．
【解答】解：①正确，因为等腰梯形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；②正确，因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；③错误，圆内接矩形是正方形或长方形；④正确，因为在菱形中只有正方形有外接圆．
故选：
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质和判定．熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
3．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
【答案】C
【提示】由四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，继而求得答案．
【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2.
故选C.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质.
4．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
【答案】C
【提示】根据圆内接四边形的性质进行计算，即可得到答案.
【解答】因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBE=40°，所以∠D=40°，所以∠AOC=80°.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质.
5．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【提示】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．
【解答】∵为⊙的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵四边形内接于⊙，
∴，
∴，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【提示】根据∠AOB=40°，可得∠ABO=70°，再由BC∥OA，可得∠OBC=∠AOB=40°，从而得到∠ABC=110°，再由圆内接四边形的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠ABO=70°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=40°，
∴∠ABC=110°，
∴∠ADC=180°-110°=70°
故选C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，四边形内接于，点P为边AD上任意一点（点P不与点 A 、 重合）连接CP，若，则的度数可能为（ ）
A．30° B．54° C．50° D．65°
【答案】D
【提示】根据圆内接四边形对角互补，求得的度数，根据三角形的外角性质可得，进而可确定的范围，根据选项即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为的外角，
∴ ，只有D满足题意．
故选：D ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得的大小是解题的关键．
【点睛】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得的大小是解题的关键．
8．如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【提示】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论．
【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠ABC，
∵
∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE
∴AC=CE
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【提示】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
10．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【提示】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【解答】解：∵AB=CD，
∴，
∴，
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，
∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵，
∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，
∴∠CAB=∠BDC，故④正确；
延长DO交⊙O于M，连接AM，
∵D、C、A、M四点共圆，
∴∠CDO+∠CAM=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠CAM＞∠CAO，
∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；
即正确的个数是4个，
故选C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
二、填空题
11．如图所示，若的度数等于38°，则∠CBE+∠D的度数为______________.
【答案】161°.
【提示】连接BA，根据圆周角定理可得∠ABE，再根据圆内接四边形的性质即可得到答案.
【解答】连接BA，则∠ABE=×38°=19°.因カ四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ABC+∠D=180°，所以∠CBE+∠D=180°-19°=161°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，如果∠BAC=30°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是_____________.
【答案】120°
【提示】由AB为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB为直角，在三角形ABC中，∠BAC与∠B互余，由∠BAC的度数求出∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而由∠B的度数即可求出∠D的度数．
【解答】∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°,又∠BAC=30°，
∴∠B=60°，
又四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
则∠D=180° ∠B=120°.
故答案为120°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B+∠E＝_____．
【答案】210°.
【提示】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【解答】解析：连接CE.∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°.∵∠CED＝∠CAD＝30°，∴∠B＋∠E＝180°＋30°＝210°.
故答案为: 210°.
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．
14．如图，若，则_______.
【答案】130°.
【提示】先根据圆周角定理得到∠A= ∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】∵∠BOD=100°，
∴∠A=∠BOD=50°，
∴∠BCD=180°-∠A=130°．
故答案为130°．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
15．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．
【答案】
【提示】过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E，证明△ABC≌△ADE，从而得到四边形ABCD的面积等于△ACE的面积，然后证明出△ACE是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC的长度．
【解答】
如图，过A点作AE⊥AC，交CD的延长线与点E．
∵BD为⊙O的直径
∴∠BAD＝∠BCD＝90°
∵CA平分∠BCD
∴∠BCA＝∠ACD＝45°
∴∠E＝∠ACD＝45°
∴AC＝AE
∵AE⊥AC
∴∠CAE＝90°
∴∠CAD+∠DAE＝90°
又∵∠BAC+∠CAD＝90°
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠BCA＝∠E＝45°
在△ABC≌△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________．
【答案】140°
【解答】略
17．如图，内接于⊙O，，外角的平分线交⊙O于点D，若，则的度数为______．
【答案】75°
【提示】先求出∠DAC的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠DBE的度数，再通过角平分线求出∠ABE的度数，最后通过三角形外角性质求出∠C的度数．
【解答】解：∵BC=BD，，
∴∠BAD=∠BAC=25°，
∴∠DAC=50°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠DBE+∠DBC=180°，
∴∠DBE=∠DAC=50°，
∵BD平分，
∴∠ABE=2∠DBE=100°，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=100°-25°=75°，
故答案为：75°
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
18．如图，在四边形中，，，过、、三点的分别交、于点、下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③
【提示】连接BF、AF、EF，利用圆内接四边形的性质得到，得到四边形ABFD是矩形，所以，然后根据，证明①正确，结论②不能够确定，证明，得到结论③正确．
【解答】解：如图，连接BF、AF、EF，
∵，
∴，
∴四边形ABFD是矩形，
∴，
∵，
∴，即，故①正确，
∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵不能确定AB与AD的大小关系，
∴不能确定，
∴不能确定，
∴不能确定，故②错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确．
故答案是：①③．
【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的内接四边形的性质．
三、解答题
19．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
【答案】四边形各内角的度数分别是，，，.
【提示】设，，，由圆内接四边形的性质可得，得到x，再由圆周角定理得到答案.
【解答】依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【答案】110°
【提示】先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
【解答】∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
21．如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数．
【答案】．
【提示】先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C=100°，
∴=180°-100°=80°．
∵与是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴=2=160°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD=BE．
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DC=EC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】（1）连接BD，AE，利用圆周角定理证明∠AED=∠EAB，即可证明DE∥AB；
（2）根据圆内接四边形对角相等以及邻补角性质得到∠CDE=∠ABE，再根据平行线的性质可得到∠CED=∠CDE，即可证明DC=EC．
【解答】（1）证明：连接BD，AE，
∵ AD=BE，
∴=．
∴∠ABD=∠EAB，
∵ =，
∴∠ABD=∠AED，
∴∠AED=∠EAB，
∴DE∥AB；
（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA＋∠ABE=180°，
又∠EDA＋∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABE，
∵DE∥AB，
∴∠CED=∠ABE．
∴∠CED=∠CDE．
∴DC=EC．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
23．如图，四边形内接于，若，求的大小．
【答案】120°
【提示】先根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠ABC＝60°，然后根据圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°．
答：∠AOC的度数为120°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
24．如图，与交于D，E两点，是直径且长为12，．
（1）证明：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】（1）根据圆内接四边形的性质，以及平角的性质，平行的性质，进行角度的转化，求得，进而证明CD=DE；
（2）连接OE，AE，在与中，设，根据，列出方程解方程即可求得．
【解答】解：（1）证明：∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）连接OE，AE，
由（2）得AB=BC=12
∴∠AOE = 2∠B，∠B= ∠AOD
∴∠AOE = 2∠AOD
∴∠AOD =∠DOE
∴AD = DE
∴AC=2AD=8
∵AB是直径：∠AEB=90°
在与中，
设CE=x，则BE=12-x
AC2-CE2=AB2-BE2
即．
解得：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
【答案】（1）见解析（2）37.5°．
【提示】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB＋∠DEB＝180°，而∠BED＋∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是关键．
26．如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，．
（1）求证：；
（2）若等于，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）33°
【提示】（1）根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线的定义解答．
【解答】解：（1）证明：平分，则∠ABD=∠CBD
，
，
，
，
；
（2）四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
平分，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
【答案】（1）30°；（2）
【提示】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠AOC的度数，求出∠OAC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OH，根据勾股定理求出AH，再根据垂径定理求出AH＝CH＝3，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，
∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，
∴AC＝AH+CH＝6．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外角性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
28．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=10
【提示】（1）根据同圆中等弦所对的圆周角相等可求证；
（2）根据题意易得∠ADB+∠ACB=180°，∠ACB=∠ADC，进而问题可证；
（3）连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，由题意易得圆心O在线段AE上，然后可得BE=EC=6，然后根据勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）证明：∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E，如图所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是线段BC的垂直平分线，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，
∴圆心O在线段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形、垂径定理及圆周角，熟练掌握圆内接四边形、垂径定理及圆周角是解题的关键．
29．如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
【答案】(1)见祥解
(2)见祥解
(3)DH=
【提示】（1）连结GC，根据同弧所对圆周角性质得出∠BAG=∠BCG,然后证明△HCD≌△GCD（ASA）即可；
（2）延长CO交圆与N，连结BN，根据直径所对圆周角性质得出，∠NBC=90°=∠AEC，∠N=∠BAC，利用等角余角性质即可得解；
（3）延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，先证A、E、D、C四点共圆，得出∠EAH=∠DCH，再证△AEH≌△AEK（ASA）得出EH=EK，再证△ANG≌△GBA（SAS），再证△AOB≌△GOK（SSS）根据四边形AKBG为圆内接四边形，得出∠GAK+∠GBK=180°，然后证明BG=AG，可证△GDC≌△GMC（AAS），Rt△BGD≌Rt△AGM（HL）然后利用勾股定理设AC=x，BD=AM=1+x，AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，求出AC=4，BD=5，AD=即可．
(1)
证明：连结GC，
∵∠BAG，∠BCG是所对圆周角，
∴∠BAG=∠BCG，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HCD=∠BAD=∠DCG，
在△HCD和△GCD中，
，
∴△HCD≌△GCD（ASA），
∴DH=DG；
(2)
证明：延长CO交圆与N，连结BN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠AEC，
∵∠N与∠BAC是所对的圆周角，
∴∠N=∠BAC，
∴∠NCB=90°-∠N=90°-∠EAC=∠HCA；
(3)
解：延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，
∵∠AEC =∠ADC=90°，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠EAH=∠DCH，
∵，
∴∠BCK=∠BAK，
∴∠EAH=∠EAK，
∵AE=AE，
∴△AEH≌△AEK（ASA），
∴EH=EK，
∵DH=DG，
∴GK=2ED=，
∴GK=GN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠ADC，
∴BN∥AG，
∴，
∴AN=BG，∠NGA=∠BAG，AG=GA，
∴△ANG≌△GBA（SAS），
∴AB=GN=GK，
∵OA=OK=OB=OG，
∴△AOB≌△GOK（SSS），
∴∠AOB=∠GOK，
，
∴，
∴AG=KB，
∵四边形AKBG为圆内接四边形，
∴∠GAK+∠GBK=180°，
∵∠KAE=∠HAE，
∴∠HAE=90°-=90°-，
在△AGB中，∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°，
∵∠GAB=90°-，
∴∠ABG=180°-∠AGB-（90°-）=90°-=∠CAB，
∴BG=AG，
∵四边形ABGC为圆内接四边形，
∴∠GCM=∠ABG=∠BAG=∠BCG，
∵∠CDG=∠CMG=90°，CG=CG，
∴△GDC≌△GMC（AAS），
∴GM=GD，CM=CD=1，
∵∠BDG=∠AMG=90°，
在Rt△BGD和Rt△AGM中，
∵GB=GA，GD=GM，
∴Rt△BGD≌Rt△AGM（HL），
∴BD=AM，
设AC=x，BD=AM=1+x，
∵AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴AC=4，BD=5，
∴AD=，
设DG=y=DH，
∴BG=AG=，
在Rt△BGD中，即，
解得，
∵DH=DG，
∴DH=．
【点睛】本题考查同弧所对圆周角性质，三角形全等判定与性质；直径所对圆周角性质，四点共圆，勾股定理，一元二次方程解法，三角形中位线性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
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3.6 圆内接四边形
一、圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
二、圆内接四边形性质定理
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
一、单选题
1．如图，在中，点是上一点，若，则的度数是（ ）
A．80° B．100° C．120° D．130°
2．已知下列四个命题：①圆内接梯形是等腰梯形；②圆内接平行四边形是矩形；③圆内接矩形是正方形；④圆内接菱形是正方形．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).
A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2
4．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40° C．80° D．100°
5．如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，四边形内接于，点P为边AD上任意一点（点P不与点 A 、 重合）连接CP，若，则的度数可能为（ ）
A．30° B．54° C．50° D．65°
8．如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．如图所示，若的度数等于38°，则∠CBE+∠D的度数为______________.
12．如图所示，已知AB是⊙O的直径，如果∠BAC=30°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是_____________.
13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B+∠E＝_____．
14．如图，若，则_______.
15．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM＝70°，则∠AOC的度数为____________．
17．如图，内接于⊙O，，外角的平分线交⊙O于点D，若，则的度数为______．
18．如图，在四边形中，，，过、、三点的分别交、于点、下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题
19．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
21．如图，A，B，C，D是上的四点，且，求和的度数．
22．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD=BE．
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DC=EC．
23．如图，四边形内接于，若，求的大小．
24．如图，与交于D，E两点，是直径且长为12，．
（1）证明：；
（2）若，求的长度．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
26．如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，．
（1）求证：；
（2）若等于，求的度数．
27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
28．如图，是上的三个点，，点在上运动（不与点重合），连接，，．
（1）如图1，当点在上时，求证：；
（2）如图2，当点在上时，求证：；
（3）如图2，已知的半径为，，求的长．
29．如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
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