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3.7 正多边形
一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
一、单选题
1．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】B
【提示】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【解答】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
【答案】A
【提示】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
3．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【提示】如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
【解答】解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为
故选：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
4．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【解答】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
5．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【提示】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【解答】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
6．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
【答案】D
【提示】连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF的面积即可．
【解答】解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝（AF+BE）＝1.5a，
同理可得PM＝MN＝1.5a，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PMN是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（ ）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③＝；
④∠BAC＝30°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】分别根据圆的内接正六边形、正三角形及正十二边形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵OA＝AB，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，
∴弦AB的长等于圆内接正六边形的边长，故①正确；
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴，故③正确；
∴∠AOC=30°，
∵
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故②正确；
∵∠BOC=∠AOC=30°
∴∠BAC＝15°，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆及垂径定理，熟知圆的内接正六边形、正三角形、正十二边形的性质及垂径定理是解答此题的关键．
8．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【提示】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【解答】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
9．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】试题解析：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°-150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED==30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B．
10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【解答】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
二、填空题
11．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．
【答案】 60° 1 120° 中心
【提示】根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，OH⊥AB，由正多边形的中心角＝ 即可解答；在△ABO中，已知正多边形的中心角，根据三角函数的知识以及等边三角形的知识，即可求出其半径及其边心距；由正多边形的内角＝ ，即可确定正多边形的内角.
【解答】根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，OH⊥AB.
正六边形的中心角＝＝60°，即∠AOB＝60°.
∵AO＝BO，
∴△ABO是等腰三角形，
∵△ABO是等腰三角形，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO＝AB＝1，即半径是1.
△ABO是等边三角形，∴∠OAH＝60°，
∴OH＝AO×sin60°＝ .
正六边形的内角为 ＝120°.
正n边形外角度数为 ＝ ，正n边形中心角度数为，正n边形的一个外角度数与它的中心角的度数相等．
所以
【点睛】本题主要考查正多边形，属基础题，熟记正多边形的性质是解答本题的关键.
12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm．
【答案】12
【提示】连接OC，OD，证出△COD是等边三角形即可求得答案．
【解答】解：∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵OC长为2cm，
∴CD＝2cm，
∴正六形ABCDEF的周长为2×6＝12（cm），
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．
13．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝____________．
【答案】45°
【解答】试题解析：连接OA、OB、OC；
∵正八边形是中心对称图形，
∴中心角为
∵OA=OB，∠OAM=∠OBN，AM=BN，
∴△OAM≌△OBN，
∴∠AOM=∠BON，
∴∠MOB=∠NOC；
故答案为
14．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____．
【答案】．
【提示】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．
【解答】连接OD,OC,OE,
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE==45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE=∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝_____度．
【答案】36．
【提示】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CFD=∠COD=36°，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为_____．
【答案】
【解答】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠ABC=90°，可得AC是直径，AC=4，
即OE=OF=2，再由OM⊥EF，可得EM=MF，
根据等边三角形的性质可得∠GEF=60°，
在Rt△OME中，OE=2，∠OEM=∠CEF=30°，
求得OM=，EM=OM=，
由垂径定理的EF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合题．
17．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为_______．
【答案】
【提示】根据题意，可以发现正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x；然后根据x+x+x=4求得x；最后用正方形的面积减去这八个等腰直角三角形的面积即可．
【解答】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则将一个正七边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形；
由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x
∴x+x+x=4，解得x=4-2
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：
∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积
=4×4-4（）
=．
故答案为，．
【点睛】本题考查了旋转变换、图形规律以及勾股定理等知识，根据题意找到旋转规律是解答本题的关键．
18．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案：
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是_________cm.
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________________cm.
【答案】
【提示】（1）利用圆的面积、等边三角形的面积．即可判断；
（2）设计方案如图，利用勾股定理求出半径即可．
【解答】解：（1）如图1，在正六边形中，过点B作BM⊥OA，过C作CN⊥OA，
∵正六边形的边长为1，∠ABC=∠BCO= ，
∴∠BAM=，
∴∠ABM=30°，∠MBC=90°，
∴AM==，四边形BMNC是矩形，
∴MN=BC=1，
同理ON=，
∴OA=AM+MN+ON=2，
如图2中，圆的半径为3，
∴底面积为9π（）；
如图3中，连接OA，OD，OB
∵OD=2cm，∠OAD=30°，∠ADO=90°
∴OA=OB=2OD=4cm，
∴ (cm)，
∴等边三角形的边长AC=4 cm，
∴底面积=（）<9π（）
∴等边三角形作为底面积时，面积较小，底面积为 ；
（2）如图4中，设计方案如图4所示，过点G作GH⊥OE于H，
在Rt△GHE中，∠HGE= ，GE=1cm
∴GH=cm ，HE=（cm）
∴OE=4（cm）
在Rt△OET中，ET=1cm，OE= cm，
∴（cm）
∴底面半径的最小值为 cm，
故答案为：
【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解题．
三、解答题
19．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
【答案】填表见解析．
【提示】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
【解答】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
【答案】正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
【提示】连接，在圆内接正六边形中，可得，从而得到为等边三角形，可得正六边形的边长为4 ，再由勾股定理，求出边心距，即可求解．
【解答】解：连接，
∵六边形为正六边形，
∴．
∵ ，
∴为等边三角形．
∴，
∵六边形是正六边形，
∴ ，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
∴．
∴正六边形的中心角为，边长为4，边心距为．
【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的定义，正多边形的定义，正多边形的边心距的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．如图，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形．
【答案】见解析．
【提示】根据五边形ABCDE是正五边形，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，由H，I，J，K，L分别是各边的中点，可得AH＝HB＝BI＝IC＝CJ＝JD ＝DK＝KE＝EL＝AL．利用边角边可证△AHL≌△BIH≌△CIJ≌△DJK≌△ELK，继而根据全等三角形的性质进行证明即可．
【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
又∵H，I，J，K，L分别是各边的中点，
∴AH＝HB＝BI＝IC＝CJ＝JD ＝DK＝KE＝EL＝AL．
∴△AHL≌△BIH≌△CIJ≌△DJK≌△ELK（SAS），
∴HL＝LK＝KJ＝JI＝IH，∠AHL=∠BIH=∠CJI=∠DKJ=∠ELK,∠ALH=∠BHI=∠CIJ=∠DJK=∠EKL，
∵180°-∠AHL-∠ALH=180°-∠BIH-∠BHI=180°-∠CJI-∠CIJ=180°-∠DKJ-∠DJK=180°-∠ELK-∠EKL，
∴∠LHI＝∠HIJ＝∠IJK＝∠JKL＝∠KLH，
∴五边形HIJKL是正五边形．
【点睛】本题考查正五边形的判定与性质，中点定义，三角形全等判定与性质，掌握正五边形的判定与性质，中点定义，三角形全等判定与性质．
22．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【提示】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
【解答】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
23．如图，的半径为R，正方形，正方形分别是的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比和面积比．
【答案】，
【提示】连接OA，过点O作OM⊥AD于D，根据圆内接正方形的性质证得△OAM是等腰直角三角形，，由此求出AB及的长，求出两者的比值即可求出面积的比．
【解答】解：连接OA，过点O作OM⊥AD于D，
∵的半径为R，
∴OA=R，
∵正方形是的内接正方形，
∴，
∴△OAM是等腰直角三角形，，
∴，，
∴ =，
∴=．
．
【点睛】此题考查圆内接正方形及外切正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，图形面积比的计算，熟记圆内接正多边形的性质及外切正多边形的性质是解题的关键．
24．如图，的半径为R，求的内接正六边形、的外切正六边形的边长比和面积比．
【答案】；
【提示】连接，求出的内接正六边形、的外切正六边形的边长和面积，即可求解．
【解答】解：连接，如下图：
由正多边形的性质可得：，，
∴为等边三角形
∴，
由题意可得：，
∴
设，则，由勾股定理得
解得，
∵
∴，为的角平分线
∴
在中，，，解得
，
故；
【点睛】此题考查了圆的内接正多边形与外切正多边形的性质，涉及了垂径定理、切线定理、勾股定理等有关内容，熟练掌握相关基本性质求得多边形的边长和面积是解题的关键．
25．如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）是，n=12.
【解答】试题分析：（1）连接、、，设半径为，根据中心角的度数可知正六边形的相邻两半径与边构成等边三角形，从而可用含r的式子表示边长，同理也用含r的式子表示正方形的边长，即可得；
（2）求出∠BOE的度数，然后去除360°，根据所得的商即可得.
试题解析：（）连接、、，
设半径为，
，，
是等腰直角三角形，，
是等边三角形，，
∴．
（）若是，则，
又∵，∴，，
故是⊙内接正十二边形．
26．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数；
(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
【答案】（1）60°；（2）90°，108°；（3）.
【提示】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
【解答】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；
（2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
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3.7 正多边形
一、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
三、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
一、单选题
1．正十边形的中心角是（ ）
A．18° B．36° C．72° D．144°
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
3．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
4．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
6．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
7．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论正确的有（ ）
①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长；
②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；
③＝；
④∠BAC＝30°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
9．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．
12．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm．
13．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝____________．
14．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝_____度．
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为_____．
17．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为_______．
18．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案：
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是_________cm.
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________________cm.
三、解答题
19．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
20．如图，在圆内接正六边形中，半径，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
21．如图，分别是正五边形各边的中点．求证：五边形是正五边形．
22．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
23．如图，的半径为R，正方形，正方形分别是的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比和面积比．
24．如图，的半径为R，求的内接正六边形、的外切正六边形的边长比和面积比．
25．如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
26．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
(1)求图1中∠APN的度数；
(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
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