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第一章：三角形的初步知识能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.适合条件∠A：∠B：∠C＝2：3：5的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2.下列命题中，是假命题的为( )
A. 邻补角的平分线互相垂直 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 平行线的一组内错角的平分线互相平行
3.如图，已知，，，则图中的全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
4.如图，已知BC＝EF，AF＝DC，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“SAS”来判定△ABC≌△DEF，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ACB＝∠DFE；③AB∥DE；④BC∥EF．可以利用的是（ ）A．①② B．②④ C．②③ D．①④
5．如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC＝6，DE＝2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7.如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④CE＝BF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．如图，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为21，则与的面积之和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；
④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，，CE＝6，FC＝2，则BE＝_________
12.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为______
13.一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是
14．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是_____________
15．如图，在△ABC中，∠A＝θ，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝ ．（用θ表示）
16．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝_____．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：（1）∠BAE的度数；（2）∠DAE的度数．
18.（本题8分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点 E．（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
19.（本题10分）如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠B＝60°，∠BDE＝120°，∠AED＝45°．（1）求证：DE∥BC；（2）若DF平分∠ADE，交AC于点F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度数．
20.（本题10分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD．（1）求证：BD=CE；（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
21.（本题10分）如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE＝DC，BD＝AD，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM＝EF，连接CM．
（1）求证：BE＝AC；（2）试判断线段AC与线段MC的关系，并证明你的结论．
22（本题12分）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延长线上．
（1）如图2，当点D与点C重合时，试探究线段BE和DF的数量关系．并证明你的结论；
（2）若点D不与点B，C重合，试探究线段BE和DF的数量关系，并证明你的结论．
23．（本题12分）在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．（1）如图1，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；（2）如图2，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
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第一章：三角形的初步知识能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：设∠A为2x，则∠B为3x，∠C为4x，根据题意得：
2x+3x+5x＝180°，解得；x＝18，则∠A＝36°，∠B＝54°，∠C＝90°，
适合条件∠A：∠B：∠C＝2：3：5的三角形ABC是直角三角形；
故选择：B．
2.答案：C
解析：A、邻补角的平分线互相垂直，所以选项为真命题；
B、平行于同一直线的两条直线互相平行，所以选项为真命题；
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，选项为假命题；
D、平行线的一组内错角的平分线互相平行，所以选项为真命题．
故选择：C
3.答案：C
解析：∵，
∴,
∵，,
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴，
∴，
∵，
∴△BEF≌△CFE(SAS)，
∴，
∵，
∴，
即，
∴△ABF≌△DCE(SSS),
∴全等三角形共有三对．
故选择：C．
4.答案：B
解析：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+CF，即AC＝DF，
∵BC＝EF，
∴当∠ACB＝∠DFE时，可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF；
当BC∥EF，则∠ACB＝∠DFE时，
可根据“SAS”来判定△ABC≌△DEF．
故选择：B．
5.答案：A
解析：∵AE是△ABC的中线，EC=6，
∴BE=EC=6，
∵ DE=2，
∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4，
故选：A．
6.答案：D
解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，
CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝120°﹣40°＝80°，∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝60°﹣20°＝40°，
∴∠A﹣∠P＝80°﹣40°＝40°，
故选择：D．
7.答案：D
解析：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE，①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD面积相等，②正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠CDF，
∴BF∥CE，③正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，④正确，
故选：D．
8.答案：B
解析：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选择：B．
9.答案：B
解析：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中
∴
∴
∴与的面积之和
∵，若的面积为21
∴
故选：B．
10.答案：B
解析：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°
∴∠APB=135°，故①正确
∴∠BPD=45°
又∵PF⊥AD
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF
在△APH和△FPD中
∴△APH≌△FPD（ASA）
∴PH=PD
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD
∵∠HPD=90°
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP
∴S△EPH=S△EPD
∴S△APH=S△AED，故⑤正确
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH
∵DH∥BE
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE
∴∠CDE=∠ABC
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误
故选B．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：14
解析：，
．
故答案为：
12.答案：4
解析：∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
13.答案：4
解析：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，
∴a为4．
故答案为：4．
14.答案：
解析：对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
15.答案：
解析：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∠A2＝∠A1＝∠A，…，
以此类推，∠An＝∠A，
∴∠A2020＝∠A＝，
故答案为：．
16.答案：
解析：如图，过点F作FG⊥BN于点G，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∵MN⊥FB，
∴∠FBN+∠FNB＝90°，
∵点M恰在BN的垂直平分线上，
∴MB＝MN，
∴∠ABN＝∠FNB，
∴∠ABN+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FBN，
∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF，
∴BA＝BF，
在△ABD和△BFG中，
，
∴△ABD≌△BFG（AAS），
∴BD＝FG，AD＝BG，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠BED＝∠ABD＝∠BFG=∠FNG，
在△BDE和△FGN中，
，
∴△BDE≌△FGN（AAS），
∴DE＝GN，
∵DE：BN＝1：7，
∴GN：BN＝1：7，
设ED＝x，
∴DE：BG＝1：6，
∴AD＝BG＝6x，
∴AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x，
∵S△ABD＝15，
∴S△ABE＝=．
故答案为：．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
∵AE平分∠BAC，
∴．
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°．
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°．
18.解析：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝110°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD＝55°；
（2）∵∠ACB＝80°，∠CBE＝55°，
∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝80°﹣55°＝25°，
∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．
19.解析：（1）证明：∵∠B＝60°，∠BDE＝120°，
∴∠B+∠BDE＝60°+120°＝180°，
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵DE∥BC，∠AED＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠ACB＝∠AED＝45°，∠EDC＝∠BCD，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF=∠ADE＝30°，
∵∠ECD＝2∠BCD，
∴∠BCD=∠ACB＝15°，
∴∠EDC＝15°，
∴∠CDF＝∠EDC+∠EDF＝45°．
20.解析：（1）证明：∵，
∴，即∠BAD=∠CAE，
在和中，
，
∴
∴BD=EC；
（2）BD⊥DE．
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
21.解析：（1）证明；∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE与△ADC中，，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：AC⊥MC且AC＝MC，理由如下：
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△BFE与△CFM中，，
∴△BFE≌△CFM（SAS），
∴∠CBE＝∠BCM，BE＝MC，由（1）得：∠CBE＝∠CAD，BE＝AC，
∴∠CAD＝∠BCM，AC＝MC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BCM+∠ACD＝90°，即∠ACM＝90°，
∴AC⊥MC，
∴AC⊥MC且AC＝MC．
22.解析：（1）如图，延长CA与BE交于点G，
∵∠FDB＝∠ACB，∴∠EDG＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠EDG，即CE是∠BCG的平分线，
又∵BE⊥DE，∴BE＝EG＝BG，
∵∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFE＝∠CFA，
∴∠EBF＝∠ACF，即∠ABG＝∠ACF，
在△ABG和△ACF中，，
∴△ABG≌△ACF（ASA），∴BG＝CF＝FD，
又∵BE＝BG，∴BE＝FD．
（2）BE＝FD，
理由如下：如图，过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，
，
∵DG∥AC，∠BAC＝90°，
∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BHG＝∠BAC＝90°，
又∵∠BDE＝∠ACB，
∴∠EDG＝∠BDG﹣∠BDE＝∠C﹣∠C＝∠C，
∴∠BDE＝∠EDG，
在△DEB和△DEG中，，
∴△DEB≌△DEG（ASA），
∴BE＝EG＝BG，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，
∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，
∴∠EBF＝∠HDF，即∠HBG＝∠HDF，
在△BGH和△DFH中，
，
∴△BGH≌△DFH（ASA），
∴BG＝FD，
又∵BE＝BG，∴BE＝FD．
23.解析：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝68°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝98°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°；
（3）当0°＜α＜90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠
在△ABC中，∠
∴∠
当180°＞α＞90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠
在△ABC中，∠
所以，当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
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