探索勾股定理（一）-勾股定理
一、选择题（共20小题）
1、张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）
A、30m B、40m
C、50m D、70m
2、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ）
A、﹣13 B、﹣﹣13
C、2 D、﹣2
3、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A、 B、1.4
C、 D、
4、如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（ ）
A、 B、
C、 D、
5、如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜a＜c
6、如图，一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（ ）
A、小时 B、小时
C、小时 D、小时
7、设n是正整数，0＜x≤1，在△ABC中，如果AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，BC边上的高AD=n，那么，这样的三角形共有（ ）
A、10个 B、11个
C、12个 D、无穷多个
8、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若在△ABC所在的平面内有以点P（不与A、B、C 重合）为顶点的直角三角形与Rt△ABC全等，且这个三角形与Rt△ABC有一条公共边，则所有符合条件的点P的个数为（ ）
A、3个 B、5个
C、6个 D、7个
9、在△ACD中，AB⊥CD，垂足为B，且BD＞CB，E为AB上任一点，△BCE和△ABD都是等腰直角三角形中，下列结论正确的是（ ）
A、△ABC≌△DBE B、△ACB≌△ABD
C、△CBE≌△BED D、△ACE≌△ADE
10、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=40°，则∠ACD的度数为（ ）
A、10° B、20°
C、30° D、40°
11、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2；⑤∠ADC=22.5°，其中正确的是（ ）
A、①③④ B、③④⑤
C、①②④ D、①②⑤
12、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为BC上两点，∠DAE=45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE=BF；②BD2+CE2=DE2；③；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是（ ）
A、①②③④ B、①②④
C、①③④ D、②③
13、若两个三角形有两边及其中一边上的高对应相等，则它们第三边的对角（ ）
A、相等 B、互补
C、相等或互补 D、以上三者都不成立
14、在四边形ABCD中，对角线AC是BD的垂直平分线，∠ADB=30°，∠CDB=45°，且AB=，则四边形ABCD的面积是（ ）
A、9+3 B、18+6
C、3+9 D、
15、如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）
A、16 B、14
C、20 D、18
16、如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（ ）
A、10cm B、8cm
C、5cm D、2.5cm
17、如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）
A、4cm B、5cm
C、8cm D、cm
18、若等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高线AD的长为（ ）
A、12cm B、10cm
C、8cm D、6cm
19、已知等腰三角形的一条腰长是5cm，底边长是6cm，则它底边上的高为（ ）
A、3cm B、4cm
C、5cm D、6cm
20、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P1，P2，…P10，记Mi=APi2+PiB?PiC（i=1，2，…，10），那么M1+M2+…+M10的值为（ ）
A、4 B、14
C、40 D、不能确定
二、填空题（共5小题）
21、两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 _________ ．
22、已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 _________ ．
23、在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是 _________ cm2．
24、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 _________ ；CE和CG的大小关系 _________ ．
25、已知直角三角形两边x，y的长满足|x2﹣4|+=0，则第三边长为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
27、已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
28、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
29、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
30、设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．
探索勾股定理（一）-勾股定理的逆定理
一、选择题（共20小题）
1、若△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
3、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
4、如图所示方格纸中的三角形是（ ）
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A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
5、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
6、下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
7、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
8、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
9、已知△ABC的三边长分别为10，24，26，则最长边上的中线长为（ ）
A、14 B、13
C、12 D、11
10、下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
11、下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个21世纪教育网版权所有
12、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A、只有①②③ B、只有①②④
C、只有③④ D、只有②③④
13、下列叙述中，正确的是（ ）
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°
C、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2﹣a2 D、如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
14、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，试判断三角形ABC的形状（ ）
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、以上都有可能
15、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH
C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF
16、下列的数能满足勾股定理的是（ ）
A、6，8，9 B、7，15，17
C、6，12，13 D、7，24，25
17、如图，四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是2，，5，4，其中∠B=90°，那么四边形的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
18、以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A、1，2，3 B、2，3，4
C、3，4，5 D、4，5，6
19、在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
20、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A、3、4、5 B、6、8、10
C、、2、 D、5、12、13
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、已知三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为 _________ ．
22、如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= _________ 平方单位．
23、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为 _________ ．
24、已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 _________ 三角形．
25、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
27、当a、b、c为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
28、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
29、（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
30、在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，若点P是△ABC边上的一点，且使△BCP是边长为3的等腰三角形，求△BPC的周长．
探索勾股定理（一）-勾股定理的逆定理
一、选择题（共20小题）
1、若△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
分析：根据非负数的性质可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理可推出这个三角形是直角三角形．
解答：解：∵△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，且≥0，|b﹣a﹣1|≥0，（c﹣5）2≥0
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故选C．
点评：此题主要考查学生对非负数的性质及勾股定理逆定理的综合运用．
2、长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
3、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形。
分析：①直接根据等边三角形的判定得出；
②根据勾股定理的逆定理作出判断；21世纪教育网版权所有
③根据腰为2或4，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断；
④根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定进行判断．
解答：解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，符合题意；
②∵（）2+（）2=7≠（）2∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，错误，不符合题意；
③当等腰三角形的腰为2时，三边为2，2，4，2+2=4，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为4时，三边为2，4，4，三边关系成立，周长为2+4+4=10，正确，符合题意；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，不一定是等腰直角三角形错误，不符合题意．
故选C．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，但难度不大．
4、如图所示方格纸中的三角形是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点：等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里．
解答：解：从图上可知：△ADB≌△AEC，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定定理，根据此知识点可得解．
5、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个21世纪教育网版权所有
C、2个 D、1个
6、下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三角形为直角三角形判断选项是否正确．
解答：解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
点评：本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理；
属基础题．
7、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
8、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
考点：含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解．
解答：解：A、∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B、∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C、∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D、∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故选C．
点评：此题主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9、已知△ABC的三边长分别为10，24，26，则最长边上的中线长为（ ）
A、14 B、13
C、12 D、11
10、下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：勾股定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理以及三角形的内角和定理即可解答．
解答：解：①、设较短的一个直角边为M，则另一个直角边为2M，所以M×2M=2，解得M=，2M=2．根据勾股定理解得斜边为．所以此项正确；
②、根据勾股定理解得，另一边==，所以此项正确；
③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为x+5x+6x=180°解得x=15°，从而得到三个角分别为15°、75°、90°．即△ABC为直角三角形，所以此项正确；
④、已知面积和高则可以得到底边为6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可以得到底边的一半为3．此时再利用勾股定理求得腰长为=5．所以此项正确．
所以正确的有四个．
故选D．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及勾股定理等知识点．
11、下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：勾股定理；完全平方公式；勾股定理的逆定理。
专题：分类讨论。
分析：根据勾股定理以及逆定理即可解答．
解答：解：①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
12、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A、只有①②③ B、只有①②④
C、只有③④ D、只有②③④
13、下列叙述中，正确的是（ ）
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°
C、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2﹣a2 D、如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理及三角形的性质对各个选项进行分析，从而确定答案．
解答：解：A不正确，应该为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
B不正确，应该为∠C=90°；
C不正确，应该为如c2=b2+a2；
D正确；
故选D．
点评：本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用．
14、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，试判断三角形ABC的形状（ ）
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、以上都有可能
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：网格型。
分析：根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．
解答：解：在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，
根据勾股定理即可得到：AB==20；
BC=AC==
则AB2=BC2+AC2∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
点评：根据直角三角形中，利用勾股定理即可求，正确找到所在直角三角形是解决本题的关键．
15、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH
C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF
16、下列的数能满足勾股定理的是（ ）
A、6，8，9 B、7，15，17
C、6，12，13 D、7，24，25
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解答：解：A、62+82≠92，不满足勾股定理，故本选项错误；
B、72+152≠172，不满足勾股定理，故本选项错误；
C、62+122≠132，不满足勾股定理，故本选项错误；
D、72+242=252，满足勾股定理，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
17、如图，四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是2，，5，4，其中∠B=90°，那么四边形的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：首先连接AC，在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，在△ACD中，利用勾股定理的逆定理即可证得△ACD是直角三角形，根据四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC即可求解．
解答：解：连接AC．
在直角△AB中，AC===3．
∵32+42=52，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC=90°．
∴S△ACD=AC?AD=×3×4=6，S△ABC=AB?BC=×2×=，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=+6．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，把求不规则的四边形的面积转化为两个直角三角形的面积的和，关键是证明△ACD是直角三角形．
18、以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A、1，2，3 B、2，3，4
C、3，4，5 D、4，5，6
19、（在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
考点：勾股定理的逆定理。
分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答：解：在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出62+82=102，由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，故选B．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
20、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A、3、4、5 B、6、8、10
C、、2、 D、5、12、13
考点：勾股定理的逆定理。
分析：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解答：解：A、32+42=52，故是直角三角形，故不符合题意；
B、62+82=102，故是直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，故不符合题意．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
二、填空题（共5小题）
21、已知三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为 80，18，82 ．
考点：三角形边角关系；勾股定理的逆定理。
分析：首先由三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，根据勾股定理的逆定理可得：此三角形是直角三角形，然后分别求得n取2至10这9个自然数时，9个不同的三角形的最小角的正弦值，根据正弦函数的增减性问题，可得当n=9时是具有最小内角的三角形，继而求得其三边长．
解答：解：∵三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，
又∵（n2﹣1）2=n4﹣2n2+1，（2n）2=4n2，（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，
∴此三角形是直角三角形，
当n=2，则n2﹣1=3，2n=4，n2+1=5，
则最小角的正弦为：；
当n=3，则n2﹣1=8，2n=6，n2+1=10，
则最小角的正弦为：=；
当n=4，则n2﹣1=15，2n=8，n2+1=17，
则最小角的正弦为：；
当n=5，则n2﹣1=24，2n=10，n2+1=25，
则最小角的正弦为：=；
当n=6，则n2﹣1=35，2n=12，n2+1=37，
则最小角的正弦为：；
当n=7，则n2﹣1=48，2n=14，n2+1=50，
最小角的正弦为：=；
则当n=8，则n2﹣1=63，2n=16，n2+1=65，
则最小角的正弦为：；
当n=9，则n2﹣1=80，2n=18，n2+1=82，
则最小角的正弦为：=；
∵最小，即其对应的角最小，
∴当n2﹣1=80，2n=18，n2+1=82，
有最小内角，其三角形的三边长依次为80，18，82．
故答案为：80，18，82．
点评：此题考查了三角形的边角关系，勾股定理的逆定理以及正弦函数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后根据正弦函数的性质求解，注意分类讨论思想的应用．
22、如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= 428+66 平方单位．
考点：面积及等积变换；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：由PR=13、PS=12、RS=5得出PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形PQRS的面积，作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，利用全等证出
QI=BJ，推出S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．
解答：解：∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，
∴边长分别为：5、12、4、11，
∵PR=13、PS=12、RS=5，
∴PS⊥SR，PQ⊥QR，
∴S四边形PQRS=（PS?SR+PQ?QR）=30+22，
显然S△HSG+S△CDQ=S四边形PQRS，
如图作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，
∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°，
∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠QPS=∠BPJ，
∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，
∴QI=BJ，
∴S△APB=S△PSQ，
同理S△EFR=S△QSR，
则S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，
故八边形的面积=3（30+22）+144+48+121+25，
=428+66．
故答案为：428+66．
点评：本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键．题目较好但有一定难度．
23、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为 45° ．
∴AD=，AE=，
∴cos∠DAE==，
∴∠DAE=45°．
故答案为：45°．
点评：此题考查了余弦定理的知识以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，解题时注意数形结合思想的应用．
24、已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 等腰直角 三角形．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出m、n、p的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可．
解答：解：根据题意得，m﹣=0，n﹣2=0，p﹣=0，
解得m=，n=2，p=，
∴m=p，
又∵2+2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
点评：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
25、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 直角三角形 ．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出x、y、z的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是直角三角形．
解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣3=0，y+z﹣8=0，
解得x=4，y=3，z=5，
∵x2+y2=42+32=25=z2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评：本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用．
三、解答题（共5小题）
26、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
两边平方，并整理得
﹣a2b﹣ab2+2ab=0，
消去ab，得
﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①，解得，则c=13；
②，解得，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
27、当a、b、c为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
分析：首先把进行配方得：+b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6，进一步整理得：+（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，分析可知，≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，即可推出最小值为﹣35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为4和3，所以面积为12．
解答：解：∵
=+b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6
=+（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，
∴≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，
∴代数式有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为﹣35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为12．
点评：本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公式对原代数式进行配方．分析a、b、c的值．
28、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．
29、（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°；
（2）由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．
解答：解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；
（2）PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ=PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°．
点评：此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键．
30、在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，若点P是△ABC边上的一点，且使△BCP是边长为3的等腰三角形，求△BPC的周长．
∴△BPC的周长为6+；
若PC=PB，
∴CP=3，BP=3.6；
∴△BPC的周长为9.6；
③若P在BC的垂直平分线上，
设BC的中点为Q，
那么PQ为△CBP的中位线，
∴PB=PC=2.5，
∴△BPC的周长为8．
点评：此题主要利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，找出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
探索勾股定理（一）-勾股定理
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）
A、30m B、40m
C、50m D、70m
考点：正数和负数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离．
解答：解：=50m，
故选C．
点评：本题考查了正数和负数的意义以及勾股定理的运用，题目比较简单．
2、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ）
A、﹣13 B、﹣﹣13
C、2 D、﹣2
考点：立方根；实数与数轴；勾股定理。
分析：先将原式x2﹣13变形为x2﹣4﹣9，整体求出x2﹣4的值，然后根据立方根的定义来解答．
解答：解：根据勾股定理x2﹣22=12，即x2﹣22=1，
∴x2﹣13=x2﹣4﹣9=1﹣9=﹣8，
则x2﹣13的立方根是=﹣2．
故选D．
点评：本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉勾股定理和立方根的定义．
3、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A、 B、1.4
C、 D、
4、如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：从图上可看出AC和AD的长度相等，且在负半轴上，从而可表示出数．
解答：解：AC==，由于在原点的左边，所以点D表示的数为1﹣．
故选A．
点评：本题考查实数与数轴的知识点，以及勾股定理的应用．
5、如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜a＜c
考点：实数大小比较；勾股定理。
专题：网格型。
分析：先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
解答：解：根据勾股定理，得a==；b==；c==．
∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．
6、如图，一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（ ）
A、小时 B、小时
C、小时 D、小时
考点：方向角；勾股定理。
专题：应用题。
分析：根据题意，求得∠ABC=90°，再结合勾股定理，根据追及问题的求法求巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船的时间即可．
解答：解：∵走私船在A处的南偏东60°方向上，
∴∠ABD=30°，
∵走私船在A处沿南偏西30°方向行驶，
∴∠CBD=60°，
∴∠CBA=90°．
设追上走私船所需时间是t小时，则
（20t）2+122=（25t）2
解得t=﹣（不合题意，舍去）或t=．
故选C．
点评：此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
7、设n是正整数，0＜x≤1，在△ABC中，如果AB=n+x，BC=n+2x，CA=n+3x，BC边上的高AD=n，那么，这样的三角形共有（ ）
A、10个 B、11个
C、12个 D、无穷多个
点评：本题考查了三角形三边关系，余弦定理，勾股定理和解不等式，综合性较强，有一定的难度．
8、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若在△ABC所在的平面内有以点P（不与A、B、C 重合）为顶点的直角三角形与Rt△ABC全等，且这个三角形与Rt△ABC有一条公共边，则所有符合条件的点P的个数为（ ）
A、3个 B、5个
C、6个 D、7个
考点：全等三角形的判定；勾股定理。
分析：分别以直角三角形的一直角边为公共边，过直角边的两顶点作垂线，在此垂线上截取线段是线段的长等于另一直角边，连接此点与另一端点的连线即可；在以公共斜边作直角三角形时要以AB为直径作圆，再在圆上找出与A、B两点的连线等于两直角边的点即可．
解答：解：如图所示，
符合要求的点有：
若以BC为公共边，有三个点P1（4，0）、P2（4，3）、
若以AC为公共边，有三个点P4（0，﹣3）、P5（﹣4，﹣3）、
若以AB为公共边，有三个点P3（﹣4，3）、P6（﹣，）、P7（﹣，﹣）
即符合题意的直角三角形共有7个．
故选：D．
解答：解：A、∵AB⊥CD，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
∵△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，
∴BC=BE，BA=BD，
∴△ABC≌△DBE，故本选项正确；
B、∵△ABC≌△DBE，
∴△ACB的面积小于△ABD的面积，
故本选项错误；
C、同理△BCE的面积小于△BED的面积，故本选项错误；
D、AB=AB，BD＞BC，根据勾股定理可得：AC≠AD，即△ACE和△ADE不全等，故本选项错误；
故选A．
点评：本题主要考查对等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，能根据全等三角形的判定定理证明两三角形全等是解此题的关键．
10、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=CD，∠ACB=40°，则∠ACD的度数为（ ）
A、10° B、20°
C、30° D、40°
11、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2；⑤∠ADC=22.5°，其中正确的是（ ）
A、①③④ B、③④⑤
C、①②④ D、①②⑤
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质。
分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②根据旋转的性质，△ADC≌ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定说法是否正确；
④据①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
⑤可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．
解答：解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正确；
②∵根据旋转的性质，∴△ADC≌ABF，
∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故此选项正确；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
故③错误；
12、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为BC上两点，∠DAE=45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE=BF；②BD2+CE2=DE2；③；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是（ ）
A、①②③④ B、①②④
C、①③④ D、②③
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理。
专题：应用题。
分析：根据等腰直角三角形的性质，判断出△AFB≌△AEC，即可得出CE=BF，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．
解答：解：①∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∠DAE=45°，
∴∠CAE=90°﹣∠DAE﹣∠BAD=45°﹣∠BAD，
∠FAB=90°﹣∠DAE﹣∠BAD=45°﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠EAC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FB⊥BC，
∴∠FAB=45°，
∴△AFB≌△AEC，
∴CE=BF，故①正确，
②：由①中证明△AFB≌△AEC，
∴AF=AE，
∵∠DAE=45°，FA⊥AE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
∴△AFD≌△AED，
连接FD，
∵FB=CE，
∴FB2+BD2=FD2=DE2，故②正确，
③：∵∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，
∴AD⊥EF，EF=2EG，
∴S△ADE=?AD?EG==，
故③正确，
④：∵FB2+BE2=EF2，CE=BF，
∴CE2+BE2=EF2，
在RT△AEF中，AF=AE，
AF2+AE2=EF2，
∴EF2=2AE2，
∴CE2+BE2=2AE2，故④正确．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．
13、若两个三角形有两边及其中一边上的高对应相等，则它们第三边的对角（ ）
A、相等 B、互补
C、相等或互补 D、以上三者都不成立
②如图，
∵AC=DE，CH=DG，CH⊥AB，DG⊥EF，
∴AH=EG，
在△ACH和△EDG中，
，
∴△ACH≌△EDG，
∴∠A=∠DEG，
∵∠DEG+∠DEF=180°，
∴∠A+∠DEF=180°．
故选C．
点评：本题主要考查了全等三角形的性质和勾股定理，注意要分两种情况解答，不要遗漏．
14、在四边形ABCD中，对角线AC是BD的垂直平分线，∠ADB=30°，∠CDB=45°，且AB=，则四边形ABCD的面积是（ ）
A、9+3 B、18+6
C、3+9 D、
故选A
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质；求得OD=3是解答本题的关键．
15、如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）
A、16 B、14
C、20 D、18
16、如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（ ）
A、10cm B、8cm
C、5cm D、2.5cm
考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理。
专题：探究型。
分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠BAC的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．
解答：解：连接AD，
∵△ABC中∠C=90°，∠B=15°，
∴∠BAC=75°，
∵BD=10cm，DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=10cm，∠DAB=∠B=15°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=75°﹣15°=60°，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=60°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=×10=5cm．
故选C．
点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．
17、如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）
A、4cm B、5cm
C、8cm D、cm
18、若等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高线AD的长为（ ）
A、12cm B、10cm
C、8cm D、6cm
考点：等腰三角形的性质；勾股定理。
分析：根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BD的长，再利用勾股定理即可求解．
解答：解：如图，BD=BC=6cm，
在Rt△ABD中，
AD===8cm，
即BC边上的高线AD的长为8cm．
故选C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理，等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
19、已知等腰三角形的一条腰长是5cm，底边长是6cm，则它底边上的高为（ ）
A、3cm B、4cm
C、5cm D、6cm
20、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P1，P2，…P10，记Mi=APi2+PiB?PiC（i=1，2，…，10），那么M1+M2+…+M10的值为（ ）
A、4 B、14
C、40 D、不能确定
考点：等腰三角形的性质；勾股定理。
专题：规律型。
分析：作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD?BPi+BPi2，PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi2，从而求得Mi=AD2+BD2，即可求解．
解答：解：作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．
根据勾股定理，得
APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD?BPi+BPi2，
又PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi2，
∴Mi=AD2+BD2=AB2=4，
∴M1+M2+…+M10=4×10=40．
故选C．
点评：此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．
二、填空题（共5小题）
21、两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 31 ．
22、已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 132 ．
考点：三角形边角关系；勾股定理。
分析：设另一直角边为x，斜边为y，利用勾股定理可得y2﹣x2=121，进一步可得（y+x）（y﹣x）=121=121×1，再由x，y为自然数，即可求出x和y的值，于是三角形的周长求出．
解答：解：设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2=x2+121，
y2﹣x2=121，
（y+x）（y﹣x）=121=121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y=121，y﹣x=1，
∴x=60，y=61，
∴周长为：11+61+60=132．
故答案为132．
点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题难度一般．
23、在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是 cm2．
考点：面积及等积变换；三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP3P1=30°，推出CP3=2CP1，设CP1=a，AP2=b，BP3=c，推出CP3=2a，AP1=2b，BP2=2c，得到方程组，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：解：
过A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC，
∴BD=DC=，
由勾股定理得：AD=，
∴△ABC的面积是×BC×AD=×1×=，
∵等边三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P3P1⊥AC，
∴∠CP3P1=30°，
∴CP3=2CP1，
设CP1=a，AP2=b，BP3=c，
∴CP3=2a，
同理AP1=2b，BP2=2c，
∴，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=，
2a=2b=2c=，
由勾股定理得：P3P1=P1P2=P2P3=，
∴△P1P2P3的面积是S△ABC﹣﹣﹣=﹣3×××=，
故答案为：．
点评：本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
24、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 ；CE和CG的大小关系 CE＜CG ．
考点：面积及等积变换；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
分析：（1）首先分别求出正方形ABFG、△AGC、△BEC的面积，利用S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC，即可求出阴影部分的面积；
（2）利用勾股定理求出CE、CG的长比较即可．
解答：解：（1）设图中阴影部分的面积是S，
则：S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC，
∵S正方形ABFG=a×a=a2，
S△BCE=?2a?2a=2a2，
S△AGC=（a+2a）?a=a2，
∴S=a2+2a2﹣a2=a2．
（2）在Rt△AGC和Rt△BEC中，由勾股定理得：
CE==a，
CG==a，
∴CE＜CG．
故答案为：a2，CE＜CG．
点评：本题主要考查了三角形的面积公式，面积和等积变换，勾股定理等知识点，找出S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC是解此题的关键．
25、已知直角三角形两边x，y的长满足|x2﹣4|+=0，则第三边长为 或 ．
三、解答题（共5小题）
26、在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
考点：数的整除性问题；等边三角形的性质；勾股定理。
专题：计算题。
分析：首先假设出BD，CD的长度，再利用勾股定理得出a+b与b的乘积为2000，再利用三角形三边关系得出20＜a+b＜100，进一步得出a+b的值．
解答：解：设BD=a，CD=b，（a，b为正整数）
作AE⊥BD，垂足为E，则AB=AD=40，BE=DE=．
∵，，
∴，
∴（a+b）b=2000=24×53，
∵20＜a+b＜100，
∴只有或
故BC的长为50或80．
点评：此题主要考查了数的整除性知识，以及勾股定理的应用和三角形三边关系，题目综合性较强．
27、已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为．
点评：此题考查了素数的意义和勾股定理等知识．难度较大，要注意分类讨论思想的应用．
28、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
考点：完全平方数；勾股定理。
专题：证明题。
分析：由勾股定理易得a2+b2=c2，则a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），因为a为质数，所以c+b=a2，c﹣b=1，两式相减可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）即可得证．
解答：解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a2+b2=c2，
即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），
∵a为质数，
∴c+b=a2，c﹣b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
点评：此题考查完全平方数，根据勾股定理和a为质数展开答题，是关键．
29、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，根据题意判断出c的值是解答此题的关键．
30、设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．
考点：非一次不定方程（组）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据此三角形是直角三角形，利用勾股定理把原式化为（a﹣6）（b﹣6）=18，再根据a，b均为正整数，不妨设a＜b，可得出关于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的对应值即可．
解答：解：由勾股定理得，c2=a2+b2．
又∵c=ab﹣（a+b），得．
即．
整理得，ab﹣6（a+b）+18=0，即（a﹣6）（b﹣6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得或或，
可解出或或，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．
