浙教版九年级数学上册1.2二次函数的图象 同步练习（含解析）

浙教版九年级数学上册同步练习
1.2二次函数的图象
一、选择题（每题3分，共24分）
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是 ( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小
2．二次函数的大致图象是 ( )
A． B．
C． D．
3．对于抛物线y（x﹣3）2+5，若﹣3≤x≤1，则y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．﹣13
4．将二次函数y＝x2﹣14x+13化为y＝(x﹣h)2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝(x+7)2+49 B．y＝(x+7)2﹣36
C．y＝(x﹣7)2+49 D．y＝(x﹣7)2﹣36
5．已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为 （ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
6．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣3）在同一个函数的图象上，这个函数可能是 （　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
7．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．如图，点A，点B的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为 （ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．二次函数的图象的顶点坐标是______．
10．已知点、在二次函数的图像上，则______（＞或＜或＝）．
11．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
12．当时，函数的函数值随的增大而减小，的取值范围是__________．
13．已知抛物线与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为___．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是_________．
15．已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.
16．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，则抛物线的顶点坐标为_________．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
18．二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表：
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ···
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当x>3时，求y的取值范围．
19．已知抛物线，过点作直线轴，当直线与抛物线只有一个公共点时，求的值．
20．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点是“二倍点”．
(1)在点，，中，是“二倍点”的有________；
(2)若点为双曲线上任意一点，将点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，求证：点为“二倍点”．
(3)若“二倍点”在抛物线的图像上，“二倍点”在一次函数的图像上，轴上有一点，试判断的形状，并说明理由．
21．已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
22．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．
（1）求直线和抛物线的函数解析式；
（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．
23．如图，已知二次函数的图象顶点是，且过C点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）已知直线与该二次函数图像相交于点，求两点的坐标．
（3）写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
24．如图直角坐标系中，O为坐标原点，，，二次函数的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作垂足为H，交OB于点Q．
（1）求b，c的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标．
25．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
(1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第5页，共5页
参考答案：
1．解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
2．解：∵二次函数，
则可得二次函数的顶点是： ，对称轴是 ，
又∵ ，
∴图像开口向上，
所以选项B图像符合．
故选B．
3．解：∵y（x﹣3）2+5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
∴x＜3时，y随x增大而增大，
∴当x＝1时，y最大，最大值为y4+5＝3．
故选：A
4．解：y＝x2﹣14x+13＝x2﹣14x+49-49+13＝（x﹣7）2﹣36．
故选：D．
5．解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
6．解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝﹣的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵y＝ax2的图象关于y轴对称
由B（1，m），C（2，m-3）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a<0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确，
故选：D．
7．由可得，函数图象的顶点坐标为（1,-1），
由图可知，函数的顶点在线段CD上，
∴C、D的纵坐标为-1，D点的横坐标大于1，
∵由图可知B、D的横坐标相等，
∴B点的横坐标也大于1，
∴坐标原点只有可能是点A，
故选：A．
8．解：当点D横坐标为6时，抛物线顶点为，
∴对称轴为直线，；
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为直线，
∵，
∴，
∴点C的横坐标最小值为，
故选C．
9．解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
10．解：∵点、在二次函数的图像上，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴
故答案为：．
11．根据题意可设该抛物线解析式为，
将点(2，8)代入，即得，
解得：，
故该抛物线解析式为．
故答案为：．
12．∵函数的二次项系数为2＞0，
∴该二次函数的开口方向向上，
又∵函数的顶点坐标为（-m，1），
∴该二次函数图象x＜-m时，函数值y随着x的增大而减小，
∵当x＜-1时，函数值y随着x的增大而减小，
∴-m≥-1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
13．解：把 (m，0)代入函数解析式y=x2 x 1，得
m2-m-1=0，
即m2-m=1，
则代数式m2 m+2021=1+2021=2022，
故答案为2022．
14．解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、，
∴点D的坐标为．
∵ 抛物线开口向上，
∴，
∴当抛物线经过B点时，a取最大值，经过D点时，a取最小值．
将代入得，
解得，
将代入得，
解得，
∴若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是．
故答案为：．
15．解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，
∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，
∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)，
∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，
∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上，
把(-2+m，0)代入，得
-2(-2+m)2=0，
解得m=2；
把(-2+m，-2)代入，得
-2(-2+m)2=-2，
解得m1=1，m2=3；
∴的值为1，2，3，
故答案为1，2，3．
16．∵和是抛物线上的两点，
∴抛物线对称轴为x==2，
∴顶点坐标的横坐标为2；
∵，
∴b= -4，
∴，
当x=2时，
= -3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-3），
故应填（2，-3）.
17．解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
18．（1）由表格中函数值的对称性可得函数的顶点为（-1，-4）
设函数为y=a（x+1）2-4
代入（1，0）得0=4a-4
解得a=1
∴函数为y=（x+1）2-4
（2）∵函数的对称轴为x=-1，a=1＞0
故当x＞3时，y随x增大而增大
当x=3时，y=16-4=12
∴当x>3时，y>12．
19． y＝x2 2x＋m＝（x 1）2 1＋m，
∵直线L与抛物线只有一个公共点，
∴n＝ 1＋m，
∴m n＝1．
20． (1)过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
是4的2倍
为“二倍点”
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
不是1的2倍
不是“二倍点”
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
不是18的2倍
不是“二倍点”
综上，点，，中，是“二倍点”的是
故答案为：；
(2)点为双曲线上任意一点
设
将点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点
过分别作坐标轴的垂线，
两垂线与坐标轴围成矩形的面积为
周长为
两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍
点是“二倍点”
(3)是直角三角形，理由如下
“二倍点”在抛物线的图像上，“二倍点”在一次函数的图像上
设
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
过分别作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成矩形的面积为，周长为
由“二倍点”得定义可得，
，
解得或（舍去），或0（舍去）
是直角三角形
21． (1)解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数（是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
(2)证明：点，都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入，得
∴c≤15．
22．（1）设直线的解析式为
，
解得
直线的解析式为，
抛物线过点
抛物线的函数解析式为；
（2）直线与抛物线相交于B，C两点，，
即
解得
当时，
直线
令，得
所以
当时，
23．解：（1）∵二次函数的图象顶点是，
设二次函数表达式为，
∵过C点，代入，
，解得：a=2，
∴二次函数表达式为：；
（2）由题意可得：，
解得：x=或4，
+1=，4+1=5，
∴A（，），B（4，5）；
（3）由图像可得：
当一次函数图像在二次函数图像上方时，＜x＜4，
∴当＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值．
24．（1）把，代入，
则有
解之得：．
（2）设
∵，
∴
∴，∴，得（取正值），
∴
∴
（3）当的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，由三角形面积公式可得：，由（2）可知
∴，
得：，，
∴或
25． （1）解：∵点到x轴的距离为2，大于1，∴不是反比例函数图象的“1阶方点”，∵点和点都在反比例函数的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，∴和是反比例函数图象的“1阶方点”，故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），当a＞0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，则过点（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）；把（2，－2）代入得：，解得：；当a＜0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，则过点（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入得：，解得：；把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）；综上，a的值为3或；
（3）∵二次函数图象的顶点坐标为（n，），∴二次函数图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，∵y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，∴二次函数的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，如图，当过点（n，－n）时，将（n，－n）代入得：，解得：，当过点（－n，n）时，将（－n，n）代入得：，解得：或（舍去），由图可知，若y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：．
答案第1页，共2页
答案第10页，共11页