浙教版九年级数学上册1.4二次函数的应用 同步练习（含解析）

浙教版九年级数学上册同步练习
1.4二次函数的应用
一、选择题（每题3分，共24分）
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润（元）与降价金额（元）之间的关系是，则获利最多为 （ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是 （ ）
A． B．
C． D．
3．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为 （ ）
A． B．
C． D．
4．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 （　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
5．如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看做一个抛物线，若肚子最大的宽度，，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为 （ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线y=与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 （ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
7．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，那么小球的高度和小球的运动时间的图象是 （ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线y＝﹣x+m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是( )
A．＜m＜3 B．＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s．
10．赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时，水面宽度AB为____m．
11．某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是________________．
12．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______．
13．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m．
14．如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________．
15．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
16．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米
三、解答题（每题8分，共72分）
17．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
18．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
(1)求落水点C、D之间的距离；
(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
19．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）求水管AB的长．
20．已知一直角三角形两条直角边的和等于8，若其中一直角边为.
(1)写出这个直角三角形的面积关于的函数解析式；
(2)当两条直角边各为多少时这个直角三角形的面积最大？
21．我们不妨约定：纵坐标等于横坐标一半的点叫做“双减点”，例如点(1，)，(0，0)，(-3，)，(m，)……，显然，这样的“双减点”有无数个．根据约定，解答下列问题：
(1)若点(2022，n)是“双减点”，则n= ；
(2)若一次函数y=2x+8的图像上存在“双减点”，试求该图像上“双减点”的坐标；
(3)设二次函数y=x2-2x的图像的双减点为点A，B．（点A在点B左侧），在x轴上找一点P，使得PAB为等腰三角形，求点P的坐标．
22．某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；
23．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
24．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线解析式为．
(1)求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
(3)身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，请求出s的取值范围．
25．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E(8,m)，AB＝4．
(1)如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
(2)如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第7页，共7页
参考答案：
1解：对于抛物线，
，
时，有最大值，最大值为，
故选：D．
2．解：根据题意得y=2（1-x）2，
所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2．
故选：B.
3．解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为，
故选：A．
4．解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，
抛物线的对称轴直线是：，
抛物线开口向下，
时，函数值最大，
即第12秒炮弹所在高度最高，
故选：C．
5．解：∵AB=10cm，OD=15cm，
∴点B的坐标为（5，15），
设抛物线的表达式为y=ax2，
代入（5，15），得：15=a52，
解得：a=，
∴抛物线的表达式为y=x2．
故选：A．
6．解：令y=0，则可得方程=0，
解得：=6，=-2，
故它与x轴的两个交点分别是：（-2，0），（6，0），
当x=0时，y=-12，
故它与y轴的交点是：（0，-12），
∴该三角形的面积为．
故选：C．
7．解：，
令h=0，，
解得：t=0或6，
∴小球的高度和小球的运动时间的图象是开口向下，位于x轴上方抛物线的一段，且顶点坐标为（3，45），
∴B选项图象符合题意．
故选：B
8．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．
故选：D．
9．解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
10．解：由题意得，﹣4 =﹣x2，
解得x =±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故答案为：20．
11．解：根据题意得：
故答案为：
12．解：m=n（n-1）=n2-n，
故答案为：m=n（n-1）=n2-n．
13．解：抛物线，
∴抛物线顶点C的坐标为（15，45），
∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m．
故答案为：45．
14．解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵A，B，C三点的横坐标依次为a+1，a，a-1，
∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，
∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC
=（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1
=1；
∴△ABC的面积是个定值，这个定值为1．
故答案为：1．
15．解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
16．
解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为，
由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，
代入，
有，，
点A的纵坐标即为OC的长，
∴0.36a＋0.28＝0.64a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为，
，
故OC的长为：0.64m．
17．解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
18． （1）解：当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，
当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
19．解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；
（2）令x＝0，则y＝＝2.25．
故水管AB的长为2.25m．
20． (1)解：=（8-）=4-= -+4
关于的函数解析式为 = -+4；
(2)解：= -+4 =-（-4）+ 8，
∴当=4时，面积最大，
即当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大.
21． (1)解∶根据题意得：．
故答案为：1011
(2)解：根据题意得：，
∴，
解得：，
∴，
∴该图像上“双减点”的坐标为；
(3)解：根据题意得：，
∴，解得：，
∴y=0或，
∴点A（0，0），B（，），
设点P（m，0），
当AP=BP时，，
解得：，
此时点；
当AB=AP时，，
解得：，
此时点或；
当时AB=BP时，，
解得：m=5或0（舍去），
此时点P（5，0）；
综上所述，点P的坐标为或或或（5，0）．
22． (1)解：设y与x的函数关系式为，将（20，100），（25，50）代入y＝kx+b，
得 ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；
(2)解：设该款电子产品每天的销售利润为w元，
由题意得w＝（x﹣10） y
＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+400x﹣3000
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；
23． (1)依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
(2)令，得．
解之，得．
∴．
24． (1)根据题意，抛物线经过点（0，1），（4，1）．
∴
解得
∴绳子所对应的抛物线解析式为：y＝．
(2)身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵y＝，当x＝时，
y最大值＝＝．
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
(3)当y＝1.64时，＝1.64，
即＝0．
解得x＝＝．
∴x1＝2.4，x2＝1.6．
∴．
25． （1）解：①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E(8，1)，
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y；
②当y＝4时，x＝2，
∴F(2,4)，
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
，
解得x，
∴OG；
（2）解：∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4
=-+4m+16＝﹣+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
答案第1页，共2页
答案第9页，共10页