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专题3.1 平方根
模块一:知识清单
1)算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);的算术平方根记作,读作“的算术平方根”,叫做被开方数.
注意:当式子有意义时,一定表示一个非负数,即≥0,≥0.
2)平方根的定义
如果,那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为,其中是的算术平方根.
3)平方根和算术平方根的区别:(1)定义不同;(2)结果不同:和
4)平方根和算术平方根的联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.
注意:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根.
(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.
5)平方根的性质:
6)平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如:,,,.
模块二:同步培优题库
全卷共23题 测试时间:80分钟 试卷满分:100分
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022 郯城县七年级期末)“9的平方根”这句话用数学符号表示为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】根据平方根的意义和表示方法进行判断即可.
【答案】解:“9的平方根”即平方等于9的数,记作±,故选:B.
【点睛】本题考查平方根,掌握平方根的意义是正确判断的前提.
2.(2022 广水市七年级期末)的算术平方根为( )
A. B.﹣ C.± D.
【思路点拨】根据算术平方根的定义即可得出答案.
【答案】解:∵()2=,∴=,故选:A.
【点睛】本题考查了算术平方根,掌握算术平方根的定义是解题的关键,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
3.(2022 香洲区七年级开学)下列说法正确的是( )
A.可以平方的数一定也可以开平方 B.平方根有负数,所以负数有平方根
C.把4开平方得到的结果为 D.没有平方根
【答案】C
【分析】根据负数没有平方根,正数的平方根有两个(一正一负)进行逐一判断即可得到答案.
【解析】解:负数可以平方,但不可以开平方,故A错误;
负数没有平方根,故B错误;
4开平方得,故C正确;
当a为非正数时,,有平方根,故D错误.故选C.
【点睛】本题主要考查了平方根,解题的关键在于能够熟练掌握,负数没有平方根,正数的平方根有两个(一正一负,互为相反数),0的平方根是0.
4.(2022 郧西县七年级月考)下列说法正确的是( )
A.﹣4是(﹣4)2的算术平方根 B.±4是(﹣4)2的算术平方根
C.的平方根是﹣2 D.﹣2是的一个平方根
【分析】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可.
【解析】A,﹣4是(﹣4)2的负的平方根,故此说法不符合题意;
B,±4是(﹣4)2的平方根,故此说法不符合题意;
C,的平方根是±2,故此说法不符合题意;
D,﹣2是的一个平方根,故此说法符合题意;故选:D.
5.(2022 集贤县七年级期末)(﹣0.25)2的平方根是( )
A.﹣0.5 B.±0.5 C.0.25 D.±0.25
【分析】先根据乘方的法则求出(﹣0.25)2的结果,再根据平方根的概念求出平方根,选出答案.
【解析】(﹣0.25)2=0.0625,
0.0625的平方根为±0.25,故选:D.
6.(2022 岱岳区七年级期末)下列运算中,正确的是( )
A. B. C. D.
【思路点拨】一个正数的平方根有两个,它们互为相反数.负数没有平方根.
【答案】解:A、负数没有平方根,故A不符合题意.
B、原式=﹣5,故B符合题意.
C、原式=4,故C不符合题意.
D、原式=8,故D不符合题意.故选:B.
【点睛】本题考查平方根,解题的关键是正确理解平方根的定义,本题属于基础题型.
7.(2022 武安市七年级期末)下列各数中一定有平方根的是( )
A.a2﹣5 B.﹣a C.a+1 D.a2+1
【思路点拨】非负数必定有平方根.
【答案】解:A、a2﹣5有可能小于0,故A不符合题意.
B、﹣a有可能小于0,故B不符合题意.
C、a+1有可能小于,故C不符合题意.
D、a2+1≥0,故D符合题意.故选:D.
【点睛】本题考查平方根,解题的关键是正确理解平方根的定义,本题属于基础题型.
8.(2022 利川市七年级期末)已知(x+1)2=4,则实数x的值等于( )
A.±2 B.1 C.﹣3 D.1,﹣3
【思路点拨】根据平方根的定义,由(x+1)2=4,得x+1=±2,进而求得x=1或﹣3.
【答案】解:∵(x+1)2=4,∴x+1=±2.
当x+1=2时,x=1.当x+1=﹣2时,x=﹣3.
综上:x=1或﹣3.故选:D.
【点睛】本题主要考查平方根,熟练掌握平方根是解决本题的关键.
9.(2022 榆次区七年级期中)一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a,则这个正数为( )
A.7 B.10 C.﹣10 D.100
【分析】利用平方根的定义得出a+3+4﹣2a=0,求出a,进而求出答案.
【解析】∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a,∴a+3+4﹣2a=0,解得:a=7,
则a+3=10,4﹣2a=﹣10,故这个正数是100.故选:D.
10.(2022 玄武区七年级期末)若方程(x﹣1)2=5的解分别为a,b,且a>b,下列说法正确的是( )
A.a是5的平方根 B.b是5的平方根
C.a﹣1是5的算术平方根 D.b﹣1是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可.
【解答】解:若方程(x﹣1)2=5的解分别为a,b,且a>b,
则a﹣1是5的算术平方根.故选:C.
【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根,熟记相关定义是解答本题的关键,算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,记为;平方根的定义:如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2022 厦门七年级期末)(1)= ;(2)±= .
【思路点拨】根据算术平方根和平方根的定义求解即可.
【答案】解:(1)=2,故答案为:2.
(2)±=±3,故答案为:±3.
【点睛】本题主要考查算术平方根和平方根的定义,解题的关键在于熟练掌握算术平方根和平方根的定义.
12.(2022 镇海区七年级期末)一个数的算术平方根是6,则这个数是 ,它的另一个平方根是 .
【思路点拨】根据平方根、算术平方根的意义进行计算即可.
【答案】解:36的算术平方根为=6,36的平方根为±=±6,故答案为:36,﹣6.
【点睛】本题考查算术平方根、平方根,理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的前提.
13.(2022 朝阳县七年级期末)的算术平方根是 ,的平方根是 .
【思路点拨】先计算以及,再求13的算术平方根和4的平方根.
【答案】解:∵,,
∴的算术平方根是,的平方根是±2.故答案为:.
【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根,熟练掌握算术平方根以及平方根是解决本题关键.
14.(2022 唐山七年级期末)计算:= .
【思路点拨】直接利用算术平方根的定义得出答案.
【答案】解:==3.故答案为:3.
【点睛】此题主要考查了算术平方根,正确掌握相关定义是解题关键.
15.(2022 浙江七年级期中)若x、y满足,则的值为________.
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出x、y的值,然后再代入运用乘方计算即可.
【解析】解:∵,∴,,
∴.故填-1.
【点睛】本题主要考查了非负数的性质,当几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.
16.(2022 潮南区七年级期末)已知,则_______,_______.
【答案】 367.4 0.1162
【分析】根据,,从而可得答案.
【解析】解: ,
故答案为:
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义,熟练求解一个数的算术平方根是解题的关键.
17.(2022 宁波七年级期末)若a=﹣+6,则ab的算术平方根是 。
【答案】
【解析】∵
∴ ∴1 3b=0,∴ ∴a=6,
∴ 2的算术平方根是 故选B.
18.(2022 杭州七年级期末)对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,如3※2=.那么12※4=______________________.
【答案】##0.5
【分析】依据新定义进行计算即可得到答案.
【解析】解: a※b= 12※4= 故答案为:
【点睛】本题考查的是新定义下的实数的运算,弄懂定义的含义,解题的关键是掌握求解算术平方根.
三、解答题(本大题共7小题,共52分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2022 河西区七年级期中)求下列各数的平方根:
(1)4;(2);(3)0.01.
【思路点拨】根据平方根的定义计算即可.如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
【答案】解:(1)4的平方根为±2;
(2)的平方根为;
(3)0.01的平方根为±0.1.
【点睛】本题考查了平方根,熟记平方根的定义是解答本题的关键.
20.(2022 肥乡区七年级月考)计算:
(1)﹣;(2);(3);(4)±.
【思路点拨】根据平方根和算术平方根定义求出即可.
【答案】解:(1)﹣=﹣3;
(2)=3;
(3)=;
(4)±=±0.5.
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根定义的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力.
21.(2021春 东城区七年级期中)已知正实数x的平方根是n和n+a(a>0).
(1)当a=6时,求n的值;(2)若n2+(n+a)2=8,求a﹣n的平方根.
【分析】(1)利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值;
(2)利用平方根的定义得到(n+a)2=x,a2=x,代入式子n2x2+(n+a)2x2=10即可求出x值.
【解答】解:(1)∵正实数x的平方根是n和n+a,
∴n+n+a=0,
∵a=6,
∴2n+6=0
∴n=﹣3;
(2)∵正实数x的平方根是n和n+a,
∴(n+a)2=x,n2=x,
∵n2+(n+a)2=8,
∴x+x=8,
∴x=4,
∴n=﹣2,n+a=2,即a=4,
∴a﹣n=6,
a﹣n的平方根是±.
【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质,熟练掌握这两个知识点是解题的关键.
22.(2022 武侯区七年级月考)已知2a﹣1的平方根是±3,b,c满足|b﹣1|+=0,求a+3b+c的算术平方根.
【思路点拨】根据算术平方根的概念列方程确定a的值,利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值,然后代入代数式,最后利用算术平方根的概念求解.
【答案】解:∵2a﹣1的平方根是±3,
∴2a﹣1=9,
解得:a=5,
∵|b﹣1|+=0,且|b﹣1|≥0,≥0,
∴b﹣1=0,c+4=0,
解得:b=1,c=﹣4,
∴a+3b+c=5+3×1+(﹣4)=5+3﹣4=4,
=2,
∴a+3b+c的算术平方根是2.
【点睛】本题考查平方根,算术平方根,理解平方根,算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键.
23.(2022 中山区七年级期末)定义:等号两边都是整式,只含有 个未知数,且未知数的最高次数是2的 程,叫做 元 次 程.
如x2=9,(x﹣2)2=4,3x2+2x﹣1=0…都是 元 次 程.根据平 根的特征,可以将形如x2=a(a≥0)的 元 次 程转化为 元 次 程求解.
如:解方程x2=9的思路是:由x=±,可得x1=3,x2=﹣3.
解决问题:
(1)解方程(x﹣2)2=4.
解:∵x﹣2=±,
∴x﹣2=2,或x﹣2= .
∴x1=4,x2= .
(2)解方程:(3x﹣1)2﹣25=0.
【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可.
【解答】解:(1)∵x﹣2=±,
∴x﹣2=2,或x﹣2=﹣2.
∴x1=4,x2=0.
(2)∵(3x﹣1)2﹣25=0
∴(3x﹣1)2=25,
∴3x﹣1=±,
∴3x﹣1=5,或3x﹣1=﹣5.
∴x1=2,x2.
故答案为:﹣2,0.
【点评】此题主要考查了平方根的定义,熟练掌握例题运用平方根解一元二次方程的方法是解本题的关键.
24.(2022 栾城区七年级期中)一个数值转换器,如图所示:
(1)当输入的x为256时,输出的y值是 ;
(2)若输入有效的x值后,始终输不出y值,请写出所有满足要求的x的值,并说明你的理由;
(3)若输出的y是,请写出两个满足要求的x值: .
【分析】(1)直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案;
(2)直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案;
(3)运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案.
【解析】(1)∵256的算术平方根是16,16是有理数,16不能输出,
16的算术平方根是4,4是有理数,4不能输出,
∴4的算术平方根是2,2是有理数,2不能输出,
∴2的算术平方根是,是无理数,输出,
故答案为:.
(2)∵0和1的算术平方根是它们本身,0和1是有理数,
∴当x=0和1时,始终输不出y的值;
(3)25的算术平方根是5,5的算术平方根是,
故答案为:5和25(答案不唯一).
25.(2022 武昌区七年级期中)如图,用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形.
(1)求大正方形的边长;(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形,能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4:3,且面积为48cm2?
【思路点拨】(1)根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可;
(2)先求出长方形的边长,再判断即可.
【答案】解:(1)大正方形的边长是=5(cm);
(2)设长方形纸片的长为4xcm,宽为3xcm,
则4x 3x=48,
解得:x=cm=2(cm),
4x=8cm>5cm,
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形,不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4:3,且面积为48cm2.
【点睛】本题考查了算术平方根,能根据题意列出算式是解此题的关键.
26.(2022 天心区七年级月考)某市在招商引资期间,把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商,该投资商为减少固定资产投资,将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地,且其长、宽的比为5:3.
(1)求原来正方形场地的周长.
(2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用,围成新场地的长方形围墙,那么这些铁栅栏是否够用?试利用所学知识说明理由.
【分析】(1)正方形边长=面积的算术平方根,周长=边长×4,由此解答即可;
(2)长、宽的比为5:3,设这个长方形场地宽为3am,则长为5am,计算出长方形的长与宽可知长方形周长,同理可得正方形的周长,比较大小可知是否够用.
【解答】解:(1)(m),4×20=80(m),
答:原来正方形场地的周长为80m.
(2)设这个长方形场地宽为3am,则长为5am.
由题意有:3a×5a=300,
解得:,
∵3a表示长度,
∴a>0,
∴,
∴这个长方形场地的周长为 (m),
∵,
∴这些铁栅栏够用.
答:这些铁栅栏够用.
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用,根据题意设出合适未知数是基础,依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键.
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专题3.1 平方根
模块一:知识清单
1)算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);的算术平方根记作,读作“的算术平方根”,叫做被开方数.
注意:当式子有意义时,一定表示一个非负数,即≥0,≥0.
2)平方根的定义
如果,那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为,其中是的算术平方根.
3)平方根和算术平方根的区别:(1)定义不同;(2)结果不同:和
4)平方根和算术平方根的联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.
注意:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根.
(2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.
5)平方根的性质:
6)平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如:,,,.
模块二:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022 郯城县七年级期末)“9的平方根”这句话用数学符号表示为( )
A. B. C. D.
2.(2022 广水市七年级期末)的算术平方根为( )
A. B.﹣ C.± D.
3.(2022 香洲区七年级开学)下列说法正确的是( )
A.可以平方的数一定也可以开平方 B.平方根有负数,所以负数有平方根
C.把4开平方得到的结果为 D.没有平方根
4.(2022 郧西县七年级月考)下列说法正确的是( )
A.﹣4是(﹣4)2的算术平方根 B.±4是(﹣4)2的算术平方根
C.的平方根是﹣2 D.﹣2是的一个平方根
5.(2022 集贤县七年级期末)(﹣0.25)2的平方根是( )
A.﹣0.5 B.±0.5 C.0.25 D.±0.25
6.(2022 岱岳区七年级期末)下列运算中,正确的是( )
A. B. C. D.
7.(2022 武安市七年级期末)下列各数中一定有平方根的是( )
A.a2﹣5 B.﹣a C.a+1 D.a2+1
8.(2022 利川市七年级期末)已知(x+1)2=4,则实数x的值等于( )
A.±2 B.1 C.﹣3 D.1,﹣3
9.(2022 榆次区七年级期中)一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a,则这个正数为( )
A.7 B.10 C.﹣10 D.100
10.(2022 玄武区七年级期末)若方程(x﹣1)2=5的解分别为a,b,且a>b,下列说法正确的是( )
A.a是5的平方根 B.b是5的平方根
C.a﹣1是5的算术平方根 D.b﹣1是5的算术平方根
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2022 厦门七年级期末)(1)= ;(2)±= .
12.(2022 镇海区七年级期末)一个数的算术平方根是6,则这个数是 ,它的另一个平方根是 .
13.(2022 朝阳县七年级期末)的算术平方根是 ,的平方根是 .
14.(2022 唐山七年级期末)计算:= .
15.(2022 浙江七年级期中)若x、y满足,则的值为________.
16.(2022 潮南区七年级期末)已知,则_______,_______.
17.(2022 宁波七年级期末)若a=﹣+6,则ab的算术平方根是 。
18.(2022 杭州七年级期末)对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,如3※2=.那么12※4=______________________.
三、解答题(本大题共8小题,共46分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2022 河西区七年级期中)求下列各数的平方根:
(1)4;(2);(3)0.01.
20.(2022 肥乡区七年级月考)计算:
(1)﹣;(2);(3);(4)±.
21.(2021春 东城区七年级期中)已知正实数x的平方根是n和n+a(a>0).
(1)当a=6时,求n的值;(2)若n2+(n+a)2=8,求a﹣n的平方根.
22.(2022 武侯区七年级月考)已知2a﹣1的平方根是±3,b,c满足|b﹣1|+=0,求a+3b+c的算术平方根.
23.(2022 中山区七年级期末)定义:等号两边都是整式,只含有 个未知数,且未知数的最高次数是2的 程,叫做 元 次 程.
如x2=9,(x﹣2)2=4,3x2+2x﹣1=0…都是 元 次 程.根据平 根的特征,可以将形如x2=a(a≥0)的 元 次 程转化为 元 次 程求解.
如:解方程x2=9的思路是:由x=±,可得x1=3,x2=﹣3.
解决问题:
(1)解方程(x﹣2)2=4.
解:∵x﹣2=±,
∴x﹣2=2,或x﹣2= .
∴x1=4,x2= .
(2)解方程:(3x﹣1)2﹣25=0.
24.(2022 栾城区七年级期中)一个数值转换器,如图所示:
(1)当输入的x为256时,输出的y值是 ;
(2)若输入有效的x值后,始终输不出y值,请写出所有满足要求的x的值,并说明你的理由;
(3)若输出的y是,请写出两个满足要求的x值: .
25.(2022 武昌区七年级期中)如图,用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形.
(1)求大正方形的边长;(2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形,能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4:3,且面积为48cm2?
26.(2022 天心区七年级月考)某市在招商引资期间,把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商,该投资商为减少固定资产投资,将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地,且其长、宽的比为5:3.
(1)求原来正方形场地的周长.
(2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用,围成新场地的长方形围墙,那么这些铁栅栏是否够用?试利用所学知识说明理由.
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