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专题3.1 平方根
模块一：知识清单
1）算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2）平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
模块二：同步培优题库
全卷共23题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 郯城县七年级期末）“9的平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据平方根的意义和表示方法进行判断即可．
【答案】解：“9的平方根”即平方等于9的数，记作±，故选：B．
【点睛】本题考查平方根，掌握平方根的意义是正确判断的前提．
2．（2022 广水市七年级期末）的算术平方根为（ ）
A． B．﹣ C．± D．
【思路点拨】根据算术平方根的定义即可得出答案．
【答案】解：∵（）2＝，∴＝，故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
3．（2022 香洲区七年级开学）下列说法正确的是（ ）
A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根
C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根
【答案】C
【分析】根据负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负）进行逐一判断即可得到答案．
【解析】解：负数可以平方，但不可以开平方，故A错误；
负数没有平方根，故B错误；
4开平方得，故C正确；
当a为非正数时，，有平方根，故D错误．故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键在于能够熟练掌握，负数没有平方根，正数的平方根有两个（一正一负，互为相反数），0的平方根是0．
4．（2022 郧西县七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4是（﹣4）2的算术平方根 B．±4是（﹣4）2的算术平方根
C．的平方根是﹣2 D．﹣2是的一个平方根
【分析】根据算术平方根、平方根的定义求解判断即可．
【解析】A，﹣4是（﹣4）2的负的平方根，故此说法不符合题意；
B，±4是（﹣4）2的平方根，故此说法不符合题意；
C，的平方根是±2，故此说法不符合题意；
D，﹣2是的一个平方根，故此说法符合题意；故选：D．
5．（2022 集贤县七年级期末）（﹣0.25）2的平方根是（ ）
A．﹣0.5 B．±0.5 C．0.25 D．±0.25
【分析】先根据乘方的法则求出（﹣0.25）2的结果，再根据平方根的概念求出平方根，选出答案．
【解析】（﹣0.25）2＝0.0625，
0.0625的平方根为±0.25，故选：D．
6．（2022 岱岳区七年级期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．负数没有平方根．
【答案】解：A、负数没有平方根，故A不符合题意．
B、原式＝﹣5，故B符合题意．
C、原式＝4，故C不符合题意．
D、原式＝8，故D不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
7．（2022 武安市七年级期末）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
【思路点拨】非负数必定有平方根．
【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．
B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．
C、a+1有可能小于，故C不符合题意．
D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
8．（2022 利川市七年级期末）已知（x+1）2＝4，则实数x的值等于（ ）
A．±2 B．1 C．﹣3 D．1，﹣3
【思路点拨】根据平方根的定义，由（x+1）2＝4，得x+1＝±2，进而求得x＝1或﹣3．
【答案】解：∵（x+1）2＝4，∴x+1＝±2．
当x+1＝2时，x＝1．当x+1＝﹣2时，x＝﹣3．
综上：x＝1或﹣3．故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解决本题的关键．
9．（2022 榆次区七年级期中）一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（ ）
A．7 B．10 C．﹣10 D．100
【分析】利用平方根的定义得出a+3+4﹣2a＝0，求出a，进而求出答案．
【解析】∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，∴a+3+4﹣2a＝0，解得：a＝7，
则a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，故这个正数是100．故选：D．
10.（2022 玄武区七年级期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，
则a﹣1是5的算术平方根．故选：C．
【点评】本题主要考查看平方根与算术平方根，熟记相关定义是解答本题的关键，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 厦门七年级期末）（1）＝ ；（2）±＝ ．
【思路点拨】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．
【答案】解：（1）＝2，故答案为：2．
（2）±＝±3，故答案为：±3．
【点睛】本题主要考查算术平方根和平方根的定义，解题的关键在于熟练掌握算术平方根和平方根的定义．
12．（2022 镇海区七年级期末）一个数的算术平方根是6，则这个数是 ，它的另一个平方根是 ．
【思路点拨】根据平方根、算术平方根的意义进行计算即可．
【答案】解：36的算术平方根为＝6，36的平方根为±＝±6，故答案为：36，﹣6．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的前提．
13．（2022 朝阳县七年级期末）的算术平方根是 ，的平方根是 ．
【思路点拨】先计算以及，再求13的算术平方根和4的平方根．
【答案】解：∵，，
∴的算术平方根是，的平方根是±2．故答案为：．
【点睛】本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根是解决本题关键．
14．（2022 唐山七年级期末）计算：＝ ．
【思路点拨】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【答案】解：＝＝3．故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
15．（2022 浙江七年级期中）若x、y满足，则的值为________．
【答案】
【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出x、y的值，然后再代入运用乘方计算即可．
【解析】解:∵，∴，，
∴．故填-1．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，当几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16.（2022 潮南区七年级期末）已知，则_______，_______．
【答案】 367.4 0.1162
【分析】根据，，从而可得答案.
【解析】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练求解一个数的算术平方根是解题的关键.
17．（2022 宁波七年级期末）若a=﹣+6，则ab的算术平方根是 。
【答案】
【解析】∵
∴ ∴1 3b=0，∴ ∴a=6，
∴ 2的算术平方根是 故选B.
18．（2022 杭州七年级期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=______________________．
【答案】##0.5
【分析】依据新定义进行计算即可得到答案．
【解析】解： a※b= 12※4＝ 故答案为：
【点睛】本题考查的是新定义下的实数的运算，弄懂定义的含义，解题的关键是掌握求解算术平方根．
三、解答题（本大题共7小题，共52分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 河西区七年级期中）求下列各数的平方根：
（1）4；（2）；（3）0.01．
【思路点拨】根据平方根的定义计算即可．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
【答案】解：（1）4的平方根为±2；
（2）的平方根为；
（3）0.01的平方根为±0.1．
【点睛】本题考查了平方根，熟记平方根的定义是解答本题的关键．
20．（2022 肥乡区七年级月考）计算：
（1）﹣；（2）；（3）；（4）±．
【思路点拨】根据平方根和算术平方根定义求出即可．
【答案】解：（1）﹣＝﹣3；
（2）＝3；
（3）＝；
（4）±＝±0.5．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
21.（2021春 东城区七年级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．
（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出a的值；
（2）利用平方根的定义得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．
【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴n+n+a＝0，
∵a＝6，
∴2n+6＝0
∴n＝﹣3；
（2）∵正实数x的平方根是n和n+a，
∴（n+a）2＝x，n2＝x，
∵n2+（n+a）2＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝4，
∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，
∴a﹣n＝6，
a﹣n的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
22．（2022 武侯区七年级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+＝0，求a+3b+c的算术平方根．
【思路点拨】根据算术平方根的概念列方程确定a的值，利用绝对值和算术平方根的非负性确定b和c的值，然后代入代数式，最后利用算术平方根的概念求解．
【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵|b﹣1|+＝0，且|b﹣1|≥0，≥0，
∴b﹣1＝0，c+4＝0，
解得：b＝1，c＝﹣4，
∴a+3b+c＝5+3×1+（﹣4）＝5+3﹣4＝4，
＝2，
∴a+3b+c的算术平方根是2．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根，理解平方根，算术平方根的概念以及绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
23.（2022 中山区七年级期末）定义：等号两边都是整式，只含有 个未知数，且未知数的最高次数是2的 程，叫做 元 次 程．
如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是 元 次 程．根据平 根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的 元 次 程转化为 元 次 程求解．
如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3．
解决问题：
（1）解方程（x﹣2）2＝4．
解：∵x﹣2＝±，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝ ．
∴x1＝4，x2＝ ．
（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．
【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵x﹣2＝±，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．
∴x1＝4，x2＝0．
（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0
∴（3x﹣1）2＝25，
∴3x﹣1＝±，
∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．
∴x1＝2，x2．
故答案为：﹣2，0．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，熟练掌握例题运用平方根解一元二次方程的方法是解本题的关键．
24．（2022 栾城区七年级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为256时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
【分析】（1）直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案；
（2）直接利用运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案；
（3）运算公式结合算术平方根的定义分析得出答案．
【解析】（1）∵256的算术平方根是16，16是有理数，16不能输出，
16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：．
（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
故答案为：5和25（答案不唯一）．
25．（2022 武昌区七年级期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
【思路点拨】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【答案】解：（1）大正方形的边长是＝5（cm）；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x 3x＝48，
解得：x＝cm＝2（cm），
4x＝8cm＞5cm，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2．
【点睛】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
26.（2022 天心区七年级月考）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长．
（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝300，
解得：，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴，
∴这个长方形场地的周长为 （m），
∵，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
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专题3.1 平方根
模块一：知识清单
1）算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2）平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
模块二：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 郯城县七年级期末）“9的平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022 广水市七年级期末）的算术平方根为（ ）
A． B．﹣ C．± D．
3．（2022 香洲区七年级开学）下列说法正确的是（ ）
A．可以平方的数一定也可以开平方 B．平方根有负数，所以负数有平方根
C．把4开平方得到的结果为 D．没有平方根
4．（2022 郧西县七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．﹣4是（﹣4）2的算术平方根 B．±4是（﹣4）2的算术平方根
C．的平方根是﹣2 D．﹣2是的一个平方根
5．（2022 集贤县七年级期末）（﹣0.25）2的平方根是（ ）
A．﹣0.5 B．±0.5 C．0.25 D．±0.25
6．（2022 岱岳区七年级期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022 武安市七年级期末）下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
8．（2022 利川市七年级期末）已知（x+1）2＝4，则实数x的值等于（ ）
A．±2 B．1 C．﹣3 D．1，﹣3
9．（2022 榆次区七年级期中）一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（ ）
A．7 B．10 C．﹣10 D．100
10.（2022 玄武区七年级期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分别为a，b，且a＞b，下列说法正确的是（ ）
A．a是5的平方根 B．b是5的平方根
C．a﹣1是5的算术平方根 D．b﹣1是5的算术平方根
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 厦门七年级期末）（1）＝ ；（2）±＝ ．
12．（2022 镇海区七年级期末）一个数的算术平方根是6，则这个数是 ，它的另一个平方根是 ．
13．（2022 朝阳县七年级期末）的算术平方根是 ，的平方根是 ．
14．（2022 唐山七年级期末）计算：＝ ．
15．（2022 浙江七年级期中）若x、y满足，则的值为________．
16.（2022 潮南区七年级期末）已知，则_______，_______．
17．（2022 宁波七年级期末）若a=﹣+6，则ab的算术平方根是 。
18．（2022 杭州七年级期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=______________________．
三、解答题（本大题共8小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 河西区七年级期中）求下列各数的平方根：
（1）4；（2）；（3）0.01．
20．（2022 肥乡区七年级月考）计算：
（1）﹣；（2）；（3）；（4）±．
21.（2021春 东城区七年级期中）已知正实数x的平方根是n和n+a（a＞0）．
（1）当a＝6时，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．
22．（2022 武侯区七年级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+＝0，求a+3b+c的算术平方根．
23.（2022 中山区七年级期末）定义：等号两边都是整式，只含有 个未知数，且未知数的最高次数是2的 程，叫做 元 次 程．
如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是 元 次 程．根据平 根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的 元 次 程转化为 元 次 程求解．
如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3．
解决问题：
（1）解方程（x﹣2）2＝4．
解：∵x﹣2＝±，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝ ．
∴x1＝4，x2＝ ．
（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．
24．（2022 栾城区七年级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为256时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值： ．
25．（2022 武昌区七年级期中）如图，用两个边长为5cm的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）求大正方形的边长；（2）若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为48cm2？
26.（2022 天心区七年级月考）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长．
（2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
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