中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.2 实数
模块一：知识清单
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类；.②带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.；③看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
2、实数：有理数和无理数统称为实数.
1）实数的分类
实数 实数
2）实数与数轴上的点的关系
每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3）两个实数比较大小
①负数小于0，0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
4）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 南召县九年级一模）在﹣1，0，2，四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．﹣1
【思路点拨】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
【答案】解：∵﹣＜﹣1＜0＜2，∴最小的数是﹣，故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（2022 任城区九年级一模）无理数﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【思路点拨】根据绝对值的定义解答即可．
【答案】解：无理数﹣的绝对值是，故选：B．
【点睛】本题考查了实数的性质，算术平方根，无理数，运用绝对值的定义是解题的关键．
3．（2022 巴彦淖尔七年级期末）不是（ ）．
A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数
【答案】A
【分析】利用分数、小数、无理数、实数的定义依次判断即可．
【解析】解：是小数、无理数和实数，但不是分数，故选：A．
【点睛】本题考查实数的分类．注意分数是有理数．
4．（2022 珠海七年级期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据无理数、分数的概念判断．
【解析】解：无限不循环小数是无理数，错误．是有理数，错误．
是有理数，错误．也是无理数，不含根号，错误．
是一个无理数，不是分数，错误．故选：．
【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
5．（2022 斗门区九年级一模）如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【解析】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴对应的点是M．故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
6．（2022 江阳区九年级一模）已知a为整数，且满足，则a等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】估算无理数和的大小，进而确定a的值即可．
【解析】解：∵2＜＜3，3＜＜4，a为整数，且满足＜a＜，∴a=3．故选：B．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
7．（2022 喀什市七年级模拟）如图，数轴上的A、B两点分别表示的数是：－1和，点O为原点，AB＝AC，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出点AB的长，再设C点表示的数为x，进而根据AB=AC列出关系式求解即可．
【解析】解：∵数轴上的A、B两点分别表示的数是：-1和，∴AB=+1，
设点C表示的数为x，∵AB=AC，∴-1-x=+1，∴x=-2-，
∴点C所表示的数为-2-，故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
8．（2021 迁西县九年级模拟）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】先估算出的值，再估算出的值在1和2之间．
【解析】解：∵，∴，∴，故选B．
【点睛】此题考查了无理数的大小，估算出的值是解题的关键．
9．（2022 单县七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数 B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．实数可分为有理数，零，无理数 D．无限小数是无理数
【答案】B
【分析】根据有理数和无理数以及实数的分类，无理数的定义逐一判断即可得到答案．
【解析】解：A、实数可分为正实数和负实数以及0，错误，不符合题意；
B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确，符合题意；
C、实数可分为有理数和无理数，错误，不符合题意；
D、无限不循环小数是无理数，错误，不符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数、实数、有理数的分类，无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．（2022 上城区七年级期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出在那两个整数之间，从而得出8-的整数部分和小数部分，再把x、y的值代入xy式子计算即可．
【解析】解：∵9<15<16，∴3<<4，∴4<8-<5，
∴x=4，y=8--4=4-，∴xy=4(4-)=16-4．故选：A．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力，用逼近法确定无理数的整数部分是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 金水区九年级四模）大于﹣小于的整数有 _____个．
【答案】
【分析】先估算两个无理数的大小，再找整数个数．
【解析】解：∵﹣5＜＜﹣4，2＜＜3，
∴大于﹣小于的整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，共有7个．∴答案为：7
【点睛】本题考查无理数的估计，正确估计两个无理数的范围是求解本题的关键．
12．（2022 海伦市七年级期末）﹣的相反数是 ；|1﹣|＝ ．
【思路点拨】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分别得出答案．
【答案】解：﹣的相反数是：﹣（﹣）＝﹣；|1﹣|＝﹣1．
故答案为：﹣；﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．
13．（2022 陕西七年级模拟）实数﹣2，﹣，π，3.14的大小关系为 ．（用“＜”连接）
【思路点拨】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
【答案】解：﹣2＜﹣＜3.14＜π，
故答案为：﹣2＜﹣＜3.14＜π．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
14．（2022 浦东新区七年级月考）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段_________上．（从“”，“”，“”，“”中选择）
【答案】
【分析】用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【解析】解：∵，∴，∴，
故表示数的点P应落在线段上．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小估算及应用，正确掌握估算及应用是解此题关键．
15．（2022 芜湖七年级模拟已知a，b为两个连续整数，，则_________．
【答案】5
【分析】根据，求得，即可求解．
【解析】解：∵，∴，因此．
【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的范围是解题的关键，估算无理数的方法：找到与这个数相邻的两个完全平方数，这样就能确定这个无理数的大小范围．
16．（2022 营口七年级期末）已知a、b满足，则a2+b2的平方根为 ．
【思路点拨】由二次根式中必须a≥0可得，﹣（4+a）2≥0，得4+a＝0后，a、b的值就可求解，最终求得结果．
【答案】解：由题意可得﹣（4+a）2≥0，∴（4+a）2≤0，
而（4+a）2≥0，∴4+a＝0，解得a＝﹣4，∴b﹣＝0，解得b＝，
∴a2+b2的平方根为＝．故答案为：．
【点睛】此题考查了实数中二次根式的非负性的运用和开平方运算能力，关键是根据二次根式的非负性得到4+a＝0．
17．（2022 湖北七年级期末）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．
【答案】
【分析】根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【解析】解：，，即，，，
则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
18．（2022 浙江七年级期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，计算＝_____．
【答案】##
【分析】先根据数轴判断出与的符号，再化简绝对值即可求解．
【解析】解：由数轴可得：，则，，
原式＝，故答案为：.
【点睛】本题考查实数与数轴，根据数轴进行绝对值化简，解题关键是能利用数轴判断出式子的正负
三、解答题（本大题共7小题，共52分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 海曙区七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
【答案】(1)－，，0， (2)，π，，，，0.3737737773 (3)－，，
【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
【解析】(1)有理数集合：{－，,0，…}
(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
(3)负实数集合：{－，，…}
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
20．（2022 大兴区七年级期中）计算：||﹣||+||．
【思路点拨】直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
【答案】解：原式＝﹣1﹣（2﹣）+﹣
＝﹣1﹣2++﹣
＝2﹣3．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．
21．（2022 玉田县二模）如图：
(1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．(3)求出A、B两点间的距离．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）估算出-和的值，在数轴上标出即可；
（2）用表示点O的数减去表示点A的数即为两点之间的距离；
（3）用表示点B的数减去表示点A的数即为A、B间的距离．
【解析】(1)解：∵2.25<3<4，1<2<2.25，
∴-2<-<-1.5，1<<1.5，
-和数轴上的位置如图所示，
；
(2)解：∵表示点A的数为﹣，表示点O的数为0，
∴OA=0﹣（﹣）=；
(3)解：∵表示点A的数为﹣，表示点B的数为，
∴AB=﹣（﹣）=+．
【点睛】本题考查实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点A、B的位置是解题的关键．
22．（2022 汉阴县七年级月考）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x为256时，输出的y值是 ．
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由．
（3）若输出的y值是，请写出两个满足要求的x值： ．
【思路点拨】（1）按照数值转换器计算即可得答案；
（2）一个有理数，若算术平方根等于本身（有理数），则始终输不出y值；
（3）根据即可写出符合条件的两个数．
【答案】解：（1）当输入的x为256时，第一次求算术平方根得＝16，是有理数，
第二次求算术平方根得＝4，是有理数，
第三次求算术平方根得＝2，是有理数，
第四次求算术平方根得，是无理数，
∴输出y＝；故答案为：；
（2）一个有理数，若算术平方根等于本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y值，
而算术平方根等于本身得数是1和0，
∴输入有效的x值后，始终输不出y值，则x＝1或0；
（3）∵3的算术平方根是，且是无理数，
∴输入的数是3的正整数次幂，比如3或9等，故答案为：3或9
【点睛】本题考查算术平方根的概念及计算，解题的关键是读懂题意，理解算术平方根的概念．
23．（2022 海曙区七年级期中）阅读下面的两则材料，解答问题
材料1：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分
材料2：因为，所以式子①和式子②均成立．
请解答下列问题：(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【答案】(1)5； (2)
【分析】（1）估算无理数的大小，即可确定的整数部分和小数部分；
（2）估算无理数5+和5-的大小，进而确定a、b的值，再代入计算即可．
【解析】(1)∵，∴5＜＜6，
∴的整数部分为5，小数部分为-5，故答案为：5， -5；
(2)∵2＜＜3，∴7＜5+＜8，
∴5+的小数部分a=5+-7=-2，
∵2＜＜3，∴-3＜-＜-2，∴2＜5-＜3，
∴5-的整数部分为b=2，∴
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提，确定a、b的值是求代数式值的关键．
24．（2022 浙江七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=_______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【答案】(1)2；5(2)1，2，3(3)3次，过程见解析(4)255
【分析】（1）根据题意得，，，则，即可得；
（2）根据，，即可得；
（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得．
【解析】(1)解：∵，，，∴，
∴，，故答案为：2，5．
(2)解：∵，，，
∴或或，故答案为：1，2，3．
(3)解：第一次：，第二次：，第三次：，
∴第3次之后结果为1．
(4)最大的是255，理由如下，
解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.2 实数
模块一：知识清单
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含类；.②带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.；③看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
2、实数：有理数和无理数统称为实数.
1）实数的分类
实数 实数
2）实数与数轴上的点的关系
每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。
3）两个实数比较大小
①负数小于0，0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
4）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。
记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 南召县九年级一模）在﹣1，0，2，四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．﹣1
2．（2022 任城区九年级一模）无理数﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
3．（2022 巴彦淖尔七年级期末）不是（ ）．
A．分数 B．小数 C．无理数 D．实数
4．（2022 珠海七年级期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2022 斗门区九年级一模）如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
6．（2022 江阳区九年级一模）已知a为整数，且满足，则a等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022 喀什市七年级模拟）如图，数轴上的A、B两点分别表示的数是：－1和，点O为原点，AB＝AC，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021 迁西县九年级模拟）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
9．（2022 单县七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为正实数和负实数 B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．实数可分为有理数，零，无理数 D．无限小数是无理数
10．（2022 上城区七年级期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 金水区九年级四模）大于﹣小于的整数有 _____个．
12．（2022 海伦市七年级期末）﹣的相反数是 ；|1﹣|＝ ．
13．（2022 陕西七年级模拟）实数﹣2，﹣，π，3.14的大小关系为 ．（用“＜”连接）
14．（2022 浦东新区七年级月考）如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、1、2、3，则表示数的点P应落在线段_________上．（从“”，“”，“”，“”中选择）
15．（2022 芜湖七年级模拟已知a，b为两个连续整数，，则_________．
16．（2022 营口七年级期末）已知a、b满足，则a2+b2的平方根为 ．
17．（2022 湖北七年级期末）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．
18．（2022 浙江七年级期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，计算＝_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 海曙区七年级期中）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
20．（2022 大兴区七年级期中）计算：||﹣||+||．
21．（2022 玉田县二模）如图：
(1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来；
(2)O为原点，求出O、A两点间的距离．(3)求出A、B两点间的距离．
22．（2022 汉阴县七年级月考）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x为256时，输出的y值是 ．
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由．
（3）若输出的y值是，请写出两个满足要求的x值： ．
23．（2022 海曙区七年级期中）阅读下面的两则材料，解答问题
材料1：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分
材料2：因为，所以式子①和式子②均成立．
请解答下列问题：(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
24．（2022 浙江七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=_______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
