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专题3.3 立方根
模块一：知识清单
1）立方根的定义:如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2）立方根的特征:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
3）立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
4）立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 原州区期末）的立方根与的平方根之和是（ ）．
A．6或 B．0或 C．6或 D．0或6
【答案】B
【分析】根据先化简，然后求出， ，再计算即可得到结果．
【解析】解：∵，， ，
根据题意得：-3+3=0或-3-3=-6，
则-27的立方根与的平方根之和为为0或-6．故选：B．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解本题的关键．
2．（2022 平原县期末）下列说法正确的是（ ）．
A．是125的立方根 B．64的立方根是
C．是15.625的立方根 D．的立方根是
【答案】D
【分析】利用立方根的定义和性质依次判断即可；
【解析】解：A．是125的立方根，原选项计算错误；
B. 64的立方根是，原选项计算错误；
C. 是15.625的立方根，原选项计算错误；
D. 的立方根是，原选项计算正确；故选：D．
【点睛】本题考查立方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．（2022 兴城市期末）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负数的立方根转化为正数的立方根计算可判断A，把带分数化为假分数，再根据分数的立方根可判断B，根据负数立方根转化为正数立方根计算可判断C，根据立方根定义可判断D．
【解析】解：A. ，故选项A正确；
B. ，故选项B不正确；
C. ，故选项C不正确；
D. ，故选项D不正确．故选择A．
【点睛】本题考查立方根的计算，掌握立方根的求法与性质是解题关键．
4．（2022 西城区校级期中）下列等式不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质逐一判断选项即可．
【解析】解：A. ，一定成立，不符合题意，
B. ，故原等式不一定成立，符合题意，
C. ，一定成立，不符合题意，
D. ，一定成立，不符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，立方根的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
5．（2022 梁平区期末）若＝2.89，＝28.9，则b等于（ ）
A．1000000 B．1000 C．10 D．10000
【答案】B
【分析】根据立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值．
【解析】∵＝2.89，＝28.9，∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，
∴b＝103＝1000，故选：B．
【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，难度适中．
6．（2022 鄞州区期末）实数x满足x3＝81，则下列整数中与x最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】根据33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，可知与x最接近的是4．
【答案】解：∵33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，x3＝81，
∴与x最接近的是4，故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的意义，正确理解立方根的意义是解题的关键．
7．（2022 齐齐哈尔三模）下列各数中，化简结果为﹣2021的是（ ）
A．﹣（﹣2021） B． C．|﹣2021| D．
【思路点拨】利用相反数的概念进行化简判断A，利用算术平方根的概念化简判断B，利用绝对值的化简判断C，利用立方根的概念化简判断D．
【答案】解：A、﹣（﹣2021）＝2021，故此选项不符合题意；
B、＝2021，故此选项不符合题意；
C、|﹣2021|＝2021，故此选项不符合题意；
D、＝﹣2021，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查相反数，绝对值，算术平方根，立方根，掌握各自的定义正确化简各数是解题关键．
8．（2022 清河县期末）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
【思路点拨】根据平方根、立方根的意义求解即可．
【答案】解：∵02＝0，∴一个数的平方根是它的本身的数是0，
∵03＝0，（﹣1）3＝﹣1，13＝1，
∴一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，
∴一个数的平方根和立方根都是它本身的数为0，故选：A．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的意义是正确判断的前提．
9．（2022 临西县期末）一个正方体的体积为64，则这个正方体的棱长的平方根为（ ）
A． B．8 C． D．2
【答案】C
【分析】根据正方体的体积=a3,故先计算出a的值，再根据平方根的定义即可求得平方根.
【解析】正方体的体积=a3=64∴
又（±2）2=4∴4的平方根为±2故选C.
【点睛】本题考查了立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
10．（2022 静海区月考）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．
【解析】解：∵ 与 是相反数，
∴== ∴3x－1=2y－１，
整理得：3x=2y，即 ，故选A．
【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 津南区期末）125的立方根为________；的立方根为_________；的立方根为________；的立方根为_________；的立方根是_________；的立方根是___________．
【答案】 5， ， ， ， 2， 4
【分析】根据立方根定义即可求解．
【解析】∵125=53，
∴125的立方根为5；
∵
∴的立方根为；
∵
∴的立方根为；
∵-4=
∴的立方根为；
∵=8=23
∴的立方根是2；
∵
∴的立方根是4．
故答案为5；；；；2；4．
【点睛】本题考查立方根的定义，掌握立方根定义是解题关键．
12．（2022 萝北县期末）若，那么＝ ．
【思路点拨】根据非负数的性质，可求出a、b的值，再代值计算即可求解．
【答案】解：∵，，
∴a﹣4＝0，b+2＝0，∴a＝4，b＝﹣2，
∴＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．（2022 济源期末）的立方根是___________．
【答案】
【解析】先求的值，，再求2的立方根，即．答案：
14．（2022 扎兰屯市期末）如果，则2x+6的算术平方根为 ．
【思路点拨】根据立方根的定义，可求出x的值，进而求出2x+6的值，最后再求2x+6的算术平方根即可．
【答案】解：∵，∴3﹣6x＝﹣27，∴x＝5，
∴2x+6＝16，∴＝＝4，故答案为：4．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根，理解立方根、算术平方根的定义是解决问题的关键．
15．（2022 裕华区校级期末）方程（x-2）3=64的解是x=__________.
【答案】6
【分析】根据立方根的定义求解可得．
【解析】解：∵（x 2）3＝64，
∴x 2＝4，
解得x＝6，
故答案为6．
【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．
16.（2022 广东七年级期中）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，是e的平方根，则________．
【答案】0
【分析】直接利用倒数、相反数、平方根的定义分析得出答案．
【解析】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，是e的平方根，
∴ab＝1，c＋d＝0，e＝1，
则．故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确求解各数是解题关键．
17．（2022 浙江七年级期中）已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，如图那样叠放在一起，这个物体的最高点A离地面的距离是________．
【答案】7
【分析】根据正方体的体积可求出各自的边长，从而可求出答案.
因为，所以答案为7.
【点睛】本题考查的是立方根的实际应用，熟知正方体的体积公式是解题的关键.
18．（2022 费县七年级期末）按照下面的思路可以口算得到＝39．
（1）由103＝1000，1003＝1000000，能确定是个两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而33＝27，43＝64，由此可以确定十位上的数字是3；
类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么＝ ．
【思路点拨】根据题干中所提供的方法求解即可．
【答案】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，能确定是个两位数；
（2）由912673的个位上的数是3，可以确定个位上的数是7；
（3）如果划去912673后面的三位数673得到数912，而93＝729，103＝1000，由此可以确定十位上的数字是9；所以＝97，故答案为：97．
【点睛】本题考查立方根，理解题干中所提供的计算方法是得出正确答案的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 恩施市七年级月考）求下列各数的立方根：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据立方根的性质即可求解；（2）根据立方根的性质即可求解；
（3）根据立方根的性质即可求解；（4）根据立方根的性质即可求解．
【解析】（1）∵∴的立方根是-8；
（2）∵∴的立方根是0.2；
（3）∵∴的立方根是；
（4）∵∴的立方根是．
【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的性质与求解方法．
20．（2022 浙江七年级月考）求下列x的值．
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出的值，然后根据立方根的定义求解即可；
（2）先求出的值，然后根据立方根的定义求解即可．
解：（1）方程整理得：，
开立方得：，解得；
（2）方程整理得：，
则，解得．
【点睛】此题考查了实数的立方根，解题的关键是注意整体思想的利用使运算简单．
21．（2022 杭州七年级月考）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米（结果保留小数点后两位）？（球的体积公式是，其中是球的半径）
【答案】分米
【分析】根据球的体积公式求出半径的立方，然后根据立方根的定义解答．
【解析】解：当V=500升时，有πR3=500，
则R3=，解得R≈4.92．
答：这种球形容器的半径是4.92分米．
【点睛】本题考查了立方根，根据球的体积公式求出半径的立方是解题的关键．
22．（2022 广东七年级月考）已知一个正方体的棱长是5cm,再做一个正方体,使它的体积是第一个正方体体积的2倍,求所做的正方体的棱长.(结果保留根号)
【答案】cm．
【分析】设未知数，根据它的体积是第一个正方体体积的2倍列方程解出即可．
【解析】设所做的正方体的棱长为xcm，则x3=2×53，∴x3=250，∴x==．
答：所做的正方体的棱长为cm．
【点睛】本题考查了立方根的应用，明确正方体的体积是棱长的立方是关键．
23．（2022 湖北七年级月考）(1)求下列算式的值：
① ，；② ，；③ ，；
(2)通过上述计算，试比较 与的大小关系．
【答案】（1）①， ；②-4，-4；③，；（2）
【分析】（1）掌握解一个数的立方根，即可求解该题，但应注意一个负数的立方根应也为负数；
（2）立方根内的负号可提到立方根外，即可得两个立方根的大小关系．
【解析】解：（1）①，；
②，；
③，，
（2）．
【点睛】本题主要考查了解一个数的立方根和比较实数的大小，解题的关键在于掌握立方根的定义，并要注意一个负数的立方根应也为负数．
24．（2022 浙江七年级月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
【答案】（1）59319的立方根是2位数；（2）59319的立方根的个位数是9；（3）59319的立方根的十位数是3；（4）57．
【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可；
（2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可；
（3）利用（2）中的方法判断出个数数字；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【解析】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴，
∴59319的立方根是2位数．故答案为：2．
（2）∵，且59319的个位数字是9，
∴59319的立方根的个位数字是9．
故答案为：9．
（3）∵27＜59＜64，
∴59319的立方根的十位数字是3．
故答案为：3．
（4）∵，，
∴，
∴185193的立方根是一个两位数，
又∵185193的最后一位是3，
∴它的立方根的个位数是7，
185193去掉后3位，得到185，
∵，
∴立方根的十位数是5，则立方根一定是57．
故答案为：57．
【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．
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专题3.3 立方根
模块一：知识清单1）立方根的定义:如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2）立方根的特征:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
3）立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
4）立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 原州区期末）的立方根与的平方根之和是（ ）．
A．6或 B．0或 C．6或 D．0或6
2．（2022 平原县期末）下列说法正确的是（ ）．
A．是125的立方根 B．64的立方根是
C．是15.625的立方根 D．的立方根是
3．（2022 兴城市期末）下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022 西城区校级期中）下列等式不一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2022 梁平区期末）若＝2.89，＝28.9，则b等于（ ）
A．1000000 B．1000 C．10 D．10000
6．（2022 鄞州区期末）实数x满足x3＝81，则下列整数中与x最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022 齐齐哈尔三模）下列各数中，化简结果为﹣2021的是（ ）
A．﹣（﹣2021） B． C．|﹣2021| D．
8．（2022 清河县期末）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
9．（2022 临西县期末）一个正方体的体积为64，则这个正方体的棱长的平方根为（ ）
A． B．8 C． D．2
10．（2022 静海区月考）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 津南区期末）125的立方根为________；的立方根为_________；的立方根为________；的立方根为_________；的立方根是_________；的立方根是___________．
12．（2022 萝北县期末）若，那么＝ ．
13．（2022 济源期末）的立方根是___________．
14．（2022 扎兰屯市期末）如果，则2x+6的算术平方根为 ．
15．（2022 裕华区校级期末）方程（x-2）3=64的解是x=__________.
16.（2022 广东七年级期中）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，是e的平方根，则________．
17．（2022 浙江七年级期中）已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，如图那样叠放在一起，这个物体的最高点A离地面的距离是________．
18．（2022 费县七年级期末）按照下面的思路可以口算得到＝39．
（1）由103＝1000，1003＝1000000，能确定是个两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而33＝27，43＝64，由此可以确定十位上的数字是3；
类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 恩施市七年级月考）求下列各数的立方根：
（1）； （2）； （3）； （4）．
20．（2022 浙江七年级月考）求下列x的值．
（1）； （2）．
21．（2022 杭州七年级月考）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米（结果保留小数点后两位）？（球的体积公式是，其中是球的半径）
22．（2022 广东七年级月考）已知一个正方体的棱长是5cm,再做一个正方体,使它的体积是第一个正方体体积的2倍,求所做的正方体的棱长.(结果保留根号)
23．（2022 湖北七年级月考）(1)求下列算式的值：
① ，；② ，；③ ，；
(2)通过上述计算，试比较 与的大小关系．
24．（2022 浙江七年级月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
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