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专题3.4 实数的运算
模块一：知识清单
1）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
2）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。
3）实数的运算结果
涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·云南·七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、绝对值的性质逐项判断即可．
【详解】A. ，故错误；
B. 由于，所以，故正确；C. ，故错误；
D. ，故错误；故答案为：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质．
2．（2022·辽宁·兴城市滨海经济区学校七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2 B． C．-＝-8 D．
【答案】D
【分析】根据立方根，算术平方根的定义求解判断即可．
【详解】解：A、=2，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2022·陕西商洛·七年级期末）计算的结果是（ ）
A．3 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：，故选A．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（2022·广西崇左·七年级期末）如图是一个数值转换机，若输入a的值为4，则输出的结果应为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据程序图进行计算即可．
【详解】解： ＝（2﹣4）×0.5＝（﹣2）×0.5＝﹣1．故选：D．
【点睛】本题考查实数混合运算，解题关键是根据程序图正确的进行计算．
5．（2022·山西吕梁·七年级期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数 ，例如10 21=，那么的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据新运算的定义计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴======4，故选：C．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键．
6．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A． B．3 C．6 D．3
【答案】A
【分析】根据新定义先计算▲2，进而计算▼=，即可求解．
【详解】依题意，a▲b=，a▼b=
▲2， ，▼=
（▲2）▼=▼3= 故选A
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．
7．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】把m=27按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值．
【详解】解：当m=27时 27的立方根为3，3是有理数，
3的立方根是，是无理数，则输出，所以输出n=，故选：C．
【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键．
8．（2022·湖北黄冈·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A．根据实数减法的运算方法判断即可；
B．根据绝对值的非负性判断即可；
C．根据一个数的算术平方根的求法判断即可；
D．根据一个数的立方根的求法判断即可．
【详解】解：A、∵，∴选项A不正确；
B、∵，∴选项B不正确；C、∵，∴选项C不正确；
D、∵，∴选项D正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用；熟练运用相应的法则来计算是解题的关键．
9．（2022·广东广州·八年级期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（ ）
A．8 B．48 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中所给的新定义法则进行计算即可．
【详解】解：∵当，时，有，
∴＝；故选：A．
【点睛】本题考查的是实数的运算，根据题意得出代数式是解答此题的关键．
10．（2022·四川·七年级期末）化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．5－2 D．2－5
【答案】B
【分析】先化简绝对值，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式＝ 故选B
【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）若符号[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，则计算的结果是______．
【答案】
【分析】根据定义直接计算即可得到结论．
【详解】解：[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，
，
符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义背景的计算问题，读懂题意，根据定义要求计算是解决问题的关键．
12．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期中）定义新运算：对于a，b有，如，根据定义新运算，计算：______．
【答案】8
【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．
13．（2022·浙江·余姚七年级期中）对于能使式子有意义的有理数，定义新运算：△．如果则△（△）= _____ ．
【答案】
【分析】先根据算式平方根与绝对值的非负性求得x、y、z，再根据新运算法则列出算式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得：，，，
由新运算得：△=（-2）△（-3）=，
∴△（△）=1△8=，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性、新定义下的实数运算，理解新定义运算法则，利用非负性求得x、y、z是解答的关键．
14．（2022·山西吕梁·七年级期中）定义一种新运算：对于任意实数，，都有，则______．
【答案】##
【分析】先根据新运算的规定，把要计算的式子化简为实数的运算形式，在利用完全平方公式计算.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解新运算的规定是解题关键．
15．（2022·重庆九龙坡·七年级期末）计算______．
【答案】##
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键．
16．（2022·湖北荆门·七年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】利用立方根的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质计算即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题的关键．
17.（2022·杭州七年级期中）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是_____．
【答案】
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【解析】解：当输入是8时，取立方根是2，2是有理数，
再把2输入，2的立方根是，是无理数，
所以输出是．故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是注意读懂数值转换器．
18．（2022·江苏南通七年级月考）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____．
【答案】
【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.
【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+，
可得，解得: ，故，故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.计算：(1)； (2)．
【答案】(1)14(2)
【分析】（1）先开方，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简绝对值，然后再进行计算即可解答．
【解析】(1)解：
；
(2)解：
．
【点睛】
本题考查了实数的运算，正确的开方和去绝对值符号各式是解题的关键．
20．（2022·山东八年级期中）计算下列各题：
（1）；（2）
【答案】（1）4：（2）
【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义逐项进行化简后再计算即可得出答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根的定义逐项进行化简，计算后即可得出答案．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义、算术平方根的定义正确化简是解题的关键．
21．（2022·黄梅县教育科学研究所七年级期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）6
【分析】（1）先根据乘方的法则，绝对值的性质，立方根的定义逐个计算，再进行实数加减计算；
（2）先根据乘方的运算法则，算术平方根的定义，负1的奇数次幂法则计算，再计算加减.
【详解】（1）解：原式=，；
（2）解：原式，=6.
【点睛】本题主要考查乘方的法则，绝对值的性质，开平方，开立方运算，解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.
22．（2022·河南濮阳市·七年级期中）计算下列各题
（1） （2）
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）先算乘方和开方，再算加减法；（2）先去绝对值，再合并．
【详解】解：（1）==6；
（2）==
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
23．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)（解方程）
【答案】(1)(2)2(3)(4)或
【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可；（2）根据实数的混合计算法则求解即可；
（3）根据实数的混合计算法则求解即可；（4）根据求平方根的方法解方程即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：∵，
∴，∴，
∴或，∴或．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
24．（2022·江苏八年级月考）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
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专题3.4 实数的运算
模块一：知识清单
1）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
2）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。
3）实数的运算结果
涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·云南·七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·兴城市滨海经济区学校七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2 B． C．-＝-8 D．
3．（2022·陕西商洛·七年级期末）计算的结果是（ ）
A．3 B．7 C． D．
4．（2022·广西崇左·七年级期末）如图是一个数值转换机，若输入a的值为4，则输出的结果应为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2022·山西吕梁·七年级期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数 ，例如10 21=，那么的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
6．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A． B．3 C．6 D．3
7．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2022·湖北黄冈·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东广州·八年级期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（ ）
A．8 B．48 C． D．
10．（2022·四川·七年级期末）化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．5－2 D．2－5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）若符号[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，则计算的结果是______．
12．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期中）定义新运算：对于a，b有，如，根据定义新运算，计算：______．
13．（2022·浙江·余姚七年级期中）对于能使式子有意义的有理数，定义新运算：△．如果则△（△）= _____ ．
14．（2022·山西吕梁·七年级期中）定义一种新运算：对于任意实数，，都有，则______．
15．（2022·重庆九龙坡·七年级期末）计算______．
16．（2022·湖北荆门·七年级期末）计算：______．
17.（2022·杭州七年级期中）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是_____．
18．（2022·江苏南通七年级月考）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19.计算：(1)； (2)．
20．（2022·山东八年级期中）计算下列各题：
（1）；（2）
21．（2022·黄梅县教育科学研究所七年级期末）计算：
（1） （2）
22．（2022·河南濮阳市·七年级期中）计算下列各题
（1） （2）
23．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)（解方程）
24．（2022·江苏八年级月考）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
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