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专题3.5 实数 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 越秀区校级三模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接利用相反数的定义得出答案．
【答案】解：的相反数是：﹣．故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握互为相反数的定义是解题关键．
2．（2022 雨花区校级模拟）有下列实数：，3，0，﹣，0.35，﹣π，其中最小的实数是（ ）
A．﹣π B．0 C．﹣ D．0.35
【思路点拨】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【答案】解：∵﹣π＜﹣＜0＜0.35＜＜3，
∴最小的实数是﹣π，故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
3．（2022 福建模拟）下列说法不正确的是（ ）
A．21的平方根是± B．的平方根是
C．0.01的算术平方根是0.1 D．﹣5是25的一个平方根
【思路点拨】利用算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．
【答案】解：A．21的平方根是，正确，故选项不符合题意；
B． 的平方根是，原说法错误．故选项符合题意；
C．0.01的算术平方根是0.1，正确，故选项不符合题意；
D．﹣5是25的一个平方根，正确，故选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查算术平方根和平方根，解题注意：平方根和算术平方根的区别：一个正数的平方根有两个，互为相反数，正数为算术平方根．
4．（2022 夏津县期末）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
【思路点拨】求出的值，再求出9的平方根即可．
【答案】解：＝9，9的平方根为±＝±3，故选：D．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，求出的值是解决问题的关键．
5．（2022 额尔古纳市期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】依据算术平方根，绝对值以及立方根的定义进行化简计算，即可得到正确选项．
【答案】解：A、＝3，故本选项错误；B、＝2，故本选项错误；
C、﹣＝﹣3，故本选项错误；D、|1﹣|＝﹣1，故本选项正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，绝对值以及立方根的定义，无理数的估算，掌握算术平方根以及立方根的定义是解决问题的关键．
6．（2022 江北区期末）实数x，y，z在数轴上的对应点的位置如图所示，若|z+y|＜|x+y|，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【思路点拨】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．
【答案】解：若点A为原点，可得0＜x＜y＜z，且|x|＜|y|＜|z|，则|z+y|＞|x+y|，与题意不符合，故选项A不符合题意；
若点B为原点，可得x＜0＜y＜z，且|x|＜|y|＜|z|，|z+y|＞|z|，|x+y|＜|y|，则|z+y|＞|x+y|，不符合题意，故选项B不符合题意；
若点C为原点，可得x＜0＜y＜z，且|y|＜|x|＜|z|，|x+y|＜|x|，|z+y|＞|z|，则|z+y|＞|x+y|，不符合题意，故选项C不符合题意；
若点D为原点，可得x＜y＜0＜z，且|z|＜|y|＜|x|，|z+y|＜|y|，|x+y|＞|x|，则|z+y|＜|x+y|，与题意符合，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了数轴．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
7．（2022 禄劝县模拟）有一个边长为9cm的正方形和一个长为24cm，宽为6cm的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（ ）
A．15cm B．10cm C．5cm D．25cm
【思路点拨】求出所作的正方形面积，再根据正方形的面积的计算方法和算术平方根的定义进行计算即可．
【答案】解：所作的正方形的面积为9×9+24×6＝225（cm2），
所以所作的正方形的边长为＝15（cm），故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出所作正方形的面积是解决问题的关键．
8．（2022 青川县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【思路点拨】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【答案】解：∵+（y+1）2＝0，而，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，
∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
9．（2022 忠县期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）
A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝0
【思路点拨】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣．
【答案】解：A选项，∵0＜3，∴+＝，故该选项不符合题意；
B选项，∵1＜2，∴+＝1+，故该选项不符合题意；
C选项，∵4＞1，∴﹣＝2﹣1＝1，故该选项不符合题意；
D选项，∵9＞0，∴﹣＝3，故该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a＜b，结果＝+；若a＞b，结果＝﹣是解题的关键．
10．（2021春 平原县期末）对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【思路点拨】这个定义的结果等于两个数中的较小的数，知道a≤，b≥，估算出的范围，根据a和b为两个连续正整数，即可得到a，b的值，求出a﹣b，再求立方根即可．
【答案】解：根据题意得：a≤，b≥，
∵25＜30＜36，∴5＜＜6，
∵a和b为两个连续正整数，∴a＝5，b＝6，
∴a﹣b＝﹣1，∴﹣1的立方根是﹣1，故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，立方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江初一月考）比较实数的大小:(1)_____ ；（2）_____
【答案】
【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．
【解析】 (1)
(2) ∵ ∴ ∴ 故答案为： ，．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
12．（2022 朝阳县期末）的倒数是 ，3﹣的绝对值是 ．
【思路点拨】先计算﹣64的立方根是﹣4，再计算的倒数；计算在3和4之间，确定3﹣是负数，再根据绝对值的意义可得结论．
【答案】解：∵＝﹣4，
∴的倒数是﹣，
∵3＜＜4，
∴3﹣＜0，
∴3﹣的绝对值是﹣3．
故答案为：﹣，﹣3．
【点睛】本题考查了立方根，倒数和绝对值，及无理数大小的估算，确定3＜＜4是解题的关键．
13．（2021秋 沙坪坝区校级月考）在数﹣1，，，0.257，，231331331，，﹣0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有 个。
【思路点拨】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【答案】解：﹣＝﹣4，
在﹣1，，，0.257，﹣，231331331，3﹣，﹣0.101001001…（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有，，3﹣，﹣0.101001001…（每两个1之间0的个数依次加1），共有4个．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
14．（2021春 枣阳市期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
【思路点拨】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算即可．
【答案】解：第1次计算得，＝4，而4是有理数，
因此第2次计算得，＝2，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
15．（2021春 新洲区期末）请同学们观察下如表：
n 0.04 4 400 40000 …
0.2 2 20 200 …
已知≈1.435，≈5.539，运用你发现的规律求≈ ．
【思路点拨】根据被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，即可求得所求式子的值．
【答案】解：已知≈1.435，则≈143.5．
故答案为：143.5．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
16．（2022·陕西初二月考）已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．
【答案】0或﹣1或﹣
【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.
【解析】∵﹣2x﹣1＝0，∴＝2x+1，
∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．
故答案为：0或﹣1或﹣．
【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.
17．（2022·河北省初二月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、．①线段_______；②点表示的数为______．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【解析】解：∵正方形的面积为3，∴圆的半径为，∴点A表示的数为1 ．
∵AB是圆的直径，∴AB=2；故答案为：2；1-．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．
18．（2022·上海市松江区初二期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
【答案】（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜＜6，∴[]=[2]=2，[]=5，故答案为2，5；
（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；
（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案为3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数： ﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6） ．
（2）分数： |﹣|、﹣3.14、、+1.99 ．
（3）无理数： 、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） ．
【思路点拨】根据整数、分数、无理数的定义进行判断．
【答案】解：（1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）．
（2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：|﹣|、﹣3.14、、+1.99．
（3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
答案为：（1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6），
（2）|﹣|、﹣3.14、、+1.99，
（3）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
【点睛】此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数．
20．（2022 镇江期末）（1）计算：；
（2）求下列各式中的x：①；②（x+3）3＝﹣27．
【思路点拨】（1）利用去绝对值符号的方法，立方根定义，平方根的定义对式子进行运算即可；
（2）①对等式进行开平方运算，再把x的系数转化为1即可；
②对等式进行开立方运算，再移项即可．
【答案】解：（1）
＝2﹣+（﹣2）﹣3
＝﹣3﹣；
（2）①
＝±3
x＝±6；
②（x+3）3＝﹣27
x+3＝﹣3
x＝﹣6．
【点睛】本题主要考查实数的运算，立方根，算术平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用．
21．（2022 江津区校级月考）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．（1）求a，b，c的值；（2）求3a+10b+c的平方根．
【思路点拨】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；
（2）根据（1）中所求a、b、c的值代入代数式3a+10b+c中即可求出答案．
【答案】解：（1）根据题意可知，
3a+21＝27，解得a＝2，
4a﹣b﹣1＝4，解得b＝3，
c＝0，
所以a＝2，b＝3，c＝0；
（2）因为3a+10b+c＝3×2+10×3+0＝36，
36的平方根为±6．
所以3a+10b+c的平方根为±6．
【点睛】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键．
22．（2022 宁乡市期末）阅读材料：∵2＜＜3，∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2．
解决问题：
（1）填空：的小数部分是 ；
（2）已知a是﹣4的整数部分，b是﹣4的小数部分，求代数式（a+1）3+（b+4）2的值；
（3）已知：m是2+的整数部分，n是其小数部分，求m﹣n的相反数．
【思路点拨】（1）的小数部分＝﹣整数部分；
（2）先求出a，b的值，再代入求值；
（3）先求出m，n的值，再求m﹣n的相反数．
【答案】解：（1）∵8＜＜9，
∴的整数部分是8，的小数部分是；
故答案为：﹣8；
（2）∵，
∴
∵a是的整数部分，b是的小数部分，
∴，
∴（a+1）3+（b+4）2
＝1+19
＝20；
（3）∵，
∴，
∵m是的整数部分，n是其小数部分，
∴m＝3，n＝2+﹣3＝﹣1，
∴m﹣n的相反数为．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
23．（2021春 江津区期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
【思路点拨】（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；
（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．
【答案】（1）证明：因为＝4，＝10，＝20，
所以2，8，50这三个数是“老根数”；
其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；
（2）解：当a＜16时，则2＝，
解得a＝9，
当16＜a＜36时，则2＝，解得a＝0，不合题意舍去；
当a＞36时，则2＝，
解得a＝64，
综上所述，a＝9或a＝64．
【点睛】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．
24．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
【答案】（1），；（2）①图见解析，；②见解析
【分析】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】（1）由图1知，小正方形的对角线长是，
∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是，故答案是：，；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴正方形的边长是，如图所示：
故答案是：；
②如图所示：
【点睛】本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
25．（2022·湖南怀化市·七年级期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：______．
【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）．
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：（1）第一步：，，，
∴，∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是2，，∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：∵ ，，，
∴，∴能确定85184的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是4，，∴能确定85184的立方根的个位数是4．
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，即．故答案为：44．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
26．（2022·山东威海市·七年级期末）本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法 正数的平方根可以表示为“” 一个数的立方根可以表示为“”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：①的四次方根是 ；②的四次方根是 ；
③的四次方根是 ；④的四次方根是 ；
⑤的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）（1） ；（2） ；（3）比较大小： ．
【答案】【类比探索】（1）依次为：±1，±2，±3；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2）①；②；③；④；⑤；⑥没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；（3）类比、分类讨论、从特殊到一般等．【拓展应用】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）先计算填表，在类比平方根，立方根的定义，即可给四次方根下定义；
（2）根据四次方根的定义求解，类比平方根，立方根的的性质即可得到四次方根的性质特征；
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，利用四次方根的定义求解，再计算并比较两个数的四次方，进而得出答案．
【详解】（1）类比平方根，立方根的定义，当时，当时，当时，所以填表如下：
结合上述表格,类比平方根和立方根的定义，则四次方根的定义为：一般地，如果一个数的四次方根等于，那么这个数叫做的四次方根，这就是说，如果，那么叫做 的四次方根．
（2）根据四次方根的定义计算：
①的四次方根是；②的四次方根是；③的四次方根是；④的四次方根是；⑤的四次方根是；⑥没有四次方根；
类比平方根，立方根的性质可得四次方根的性质为：一个正数由两个四次方根，他们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根．
（3）探索四次方根的定义和性质时，运用了类比，分类讨论的和由特殊到一般的思想，
【拓展应用】根据四次方根的定义计算得：
（1）；
（2）
（3），，，
【点睛】本题考查了方根的定义，类比平方根，立方根的定义和性质，学习四次方根，解题关键是在求四次方根时，注意正数的四次方根有2个，它们互为相反数．
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专题3.5 实数 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 越秀区校级三模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022 雨花区校级模拟）有下列实数：，3，0，﹣，0.35，﹣π，其中最小的实数是（ ）
A．﹣π B．0 C．﹣ D．0.35
3．（2022 福建模拟）下列说法不正确的是（ ）
A．21的平方根是± B．的平方根是
C．0.01的算术平方根是0.1 D．﹣5是25的一个平方根
4．（2022 夏津县期末）的平方根是（ ）
A．9 B．9和﹣9 C．3 D．3和﹣3
5．（2022 额尔古纳市期末）下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022 江北区期末）实数x，y，z在数轴上的对应点的位置如图所示，若|z+y|＜|x+y|，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．（2022 禄劝县模拟）有一个边长为9cm的正方形和一个长为24cm，宽为6cm的长方形，作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，则该正方形的边长为（ ）
A．15cm B．10cm C．5cm D．25cm
8．（2022 青川县期末）已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3
9．（2022 忠县期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（ ）
A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝0
10．（2021春 平原县期末）对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则a﹣b的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江初一月考）比较实数的大小:(1)_____ ；（2）_____
12．（2022 朝阳县期末）的倒数是 ，3﹣的绝对值是 ．
13．（2021秋 沙坪坝区校级月考）在数﹣1，，，0.257，，231331331，，﹣0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有 个。
14．（2021春 枣阳市期末）有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
15．（2021春 新洲区期末）请同学们观察下如表：
n 0.04 4 400 40000 …
0.2 2 20 200 …
已知≈1.435，≈5.539，运用你发现的规律求≈ ．
16．（2022·陕西初二月考）已知﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．
17．（2022·河北省初二月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、．①线段_______；②点表示的数为______．
18．（2022·上海市松江区初二期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上．
﹣5、|﹣|、0、﹣3.14、、﹣12、﹣、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）
（1）整数： ．
（2）分数： ．
（3）无理数： ．
20．（2022 镇江期末）（1）计算：；
（2）求下列各式中的x：①；②（x+3）3＝﹣27．
21．（2022 江津区校级月考）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．（1）求a，b，c的值；（2）求3a+10b+c的平方根．
22．（2022 宁乡市期末）阅读材料：∵2＜＜3，∴的整数部分为2，的小数部分为﹣2．
解决问题：
（1）填空：的小数部分是 ；
（2）已知a是﹣4的整数部分，b是﹣4的小数部分，求代数式（a+1）3+（b+4）2的值；
（3）已知：m是2+的整数部分，n是其小数部分，求m﹣n的相反数．
23．（2021春 江津区期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．
24．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长）
25．（2022·湖南怀化市·七年级期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：______．
26．（2022·山东威海市·七年级期末）本学期第四章《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：的平方根是；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；的立方根是；负数的立方根是负数．
表示方法 正数的平方根可以表示为“” 一个数的立方根可以表示为“”
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．
（类比探索）（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
．
（2）探究性质：①的四次方根是 ；②的四次方根是 ；
③的四次方根是 ；④的四次方根是 ；
⑤的四次方根是 ；⑥ （填“有"或"“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ；
（3）在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： ．
（拓展应用）（1） ；（2） ；（3）比较大小： ．
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