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专题3.1 认识不等式
模块一：知识清单
不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江宁波·八年级期中）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解析】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①；②；⑤，⑥共有4个．答案：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，并能准确运用定义进行判断．
2．（2022·东台市八年级月考）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q
【答案】D
【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．
【详解】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q．故选D．
【点睛】考点：一元一次不等式的应用，利用数形结合的思想解题是关键．
3．（2021·淮阳第一高级中学七年级期中）下列关系式中不含这个解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把x=-1代入各个代数式，满足关系式成立时，它就是该关系式的解．
【详解】解：当x=-1时，2x+1=-1，-2x+1=3≥3，-2x-1=1≤3，
所以x=-1满足选项A、C、D，因为-1不大于-1，所以x=-1不满足B．故选：B．
【点睛】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法．理解“≥”“≤”是关键．
4．（2022 禅城区期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，那么这个不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3
【思路点拨】根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可．
【答案】解：∵1处为实心圆点，且折线向右，∴x≥1；
∵﹣3处为空心圆点且折线向右，∴x＞﹣3；
∴这个不等式组的解集为x≥1．故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
5．（2022 铁西区期中）“x的与x的差不大于6”可以表示为（ ）
A．x﹣x＜6 B．x﹣x＞6 C．x﹣x≤6 D．x﹣x≥6
【思路点拨】根据题意，可以用含x的不等式表示出“x的与x的差不大于6”，本题得以解决．
【答案】解：“x的与x的差不大于6”可以表示为x﹣x≤6，故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
6．（2022 罗湖区期中）x的与x的和不超过5用不等式可以表示为（ ）
A．+x≤5 B．+x＜5 C．+x≥5 D．+x＞5
【思路点拨】理解：x的，即x，然后与x的和即表示为x+x，不超过5即≤5，据此可得答案．
【答案】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5，故选：A．
【点睛】此题考查一元一次不等式问题，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
7．（2022 莲湖区期中）汉中市今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，则当天汉中市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．3＜t＜19 B．3≤t＜19 C．3＜t≤19 D．3≤t≤19
【思路点拨】由最高气温与最低气温即可得出范围．
【答案】解：∵某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，
∴3≤t≤19．故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的定义，属于基础题．
8.关于不等式，下列说法错误的是（ ）
A．x的3倍与4的和是正数 B．x的3倍与4的和是非负数
C．x的3倍与4的和是不小于0 D．x的3倍与4的和大于等于0
【答案】A
【分析】A．正数不包含零；B．非负数即是包含正数、0；C．不小于0，即大于或等于0；D．大于等于，即为符号．
【解析】Ａ．用不等式表示为：，故A.错误；
Ｂ．用不等式表示为：，故B.正确；
Ｃ．用不等式表示为：，故C．正确；
D．用不等式表示为：，故D．正确．故选:A
【点睛】本题考查不等式的概念，其中涉及非负数、正数、不小于、大于等于等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
9．（2022 无为市月考）下列解集中，不包括﹣4的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣4 C．x≤﹣5 D．x≥﹣6
【思路点拨】根据不等式的解集的含义判断各选项即可．
【答案】解：A选项，﹣3以及比﹣3小包括﹣4，不合题意；
B选项，可以等于﹣4，不合题意；
C选项，﹣5以及比﹣5小的数不包括﹣4，符合题意；
D选项，﹣6以及比﹣6大的数包括﹣4，不合题意；故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解集，准确理解不等式的解集的含义是解题的关键，注意画图有助于理解．
10.下列选项正确的是（ ）
A．不是负数，表示为 B．不大于3，表示为
C．与4的差是负数，表示为 D．不等于，表示为
【答案】C
【分析】由题意先根据非负数、负数及各选项的语言表述列出不等式，再与选项中所表示的进行比较即可得出答案．
【解析】解：．不是负数，可表示成，故本选项不符合题意；
．不大于3，可表示成，故本选项不符合题意；
．与4的差是负数，可表示成，故本选项符合题意；
．不等于，表示为，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查不等式的定义，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·浙江杭州市·八年级期中）给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是______．（填序号）
【答案】②③④⑥
【分析】根据不等式的定义判断即可．
【详解】解：①a（b+c）=ab+ac是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式；
③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式；④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式；
⑤x2-2xy+y2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式，故答案为：②③④⑥．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
12．（2022·江苏泰州市·八年级期中）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=________．
【答案】-7
【分析】解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．
【详解】因为的最小值是a，a=-3；的最大值是b，则b=4；则a-b=-3-4=-7，故答案为：-7．
【点睛】此题考查不等式的定义，解题关键在于掌握时，x可以等于-3；时，x可以等于4．
13．请用不等式表示“x的2倍与3的和大于5”：___________．
【答案】
【分析】x的2倍为2x，与3的和为2x+3，和大于5即2x+3＞5，据此可得．
【解析】解：由题意得，2x+3＞5．故答案为：2x+3＞5．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
14．根据机器零件的设计图纸（如图），用不等式表示零件长度的合格尺寸（L的取值范围）是 ___．
【答案】
【分析】根据有理数的加减法可得，最小合格尺寸是(10-0.02)，最大合格尺寸是(10+0.02)，用不等式可表示为：，计算即可得出结果．
【解析】解：由得：，
．故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的加减与不等式的解集，注意最小合格尺寸和最大合格尺寸需包含在取值范围里，利用有理数的加减法是解题的关键．
15．（2022 南岗区校级月考）设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是__________．
【答案】
【分析】设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是
【解析】解：如图，左边=x+2y，右边=2x+y．
由于左边＞右边，
所以列出不等式x+2y＞2x+y．
故答案是：x+2y＞2x+y．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，难度不大，用代数式表示出天平的左边重量和右边重量即可列出不等式．
16．（2022 福州期末）关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是 ．
【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【答案】解：∵﹣1处是空心圆点，且折线向右，
∴x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
17．（2022 巴州区期末）小明在一次检测中，数学和英语的平均分是83分，且语文、数学、英语三科的平均分不低于80分，则语文分数x应满足的关系式为 ．
【思路点拨】利用英语和数学的总分再加上语文成绩分，然后再求三科平均分，再根据“三科的平均分不低于80分”进而可得不等式．
【答案】解：由题意得：（83×2+x）×≥80，
故答案为：（83×2+x）×≥80．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．
18．（2022 东阳市期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ．
【思路点拨】一次服用剂量a＝，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．
【答案】解：由题意，当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为＝30mg；
当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为＝60mg；
故一次服用这种药品的剂量范围是30mg～60mg．故答案为：30≤a≤60．
【点睛】本题考查了有理数的除法．由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．用不等式表示
（1）a的与一1的差是非正数． （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
（3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5．
（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．
20．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．
（1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x﹣5；
（4）x＝2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a﹣2．
【思路点拨】根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可．
【答案】解：（1）4＜5是不等式；
（2）x2+1＞0是不等式；
（3）x＜2x﹣5是不等式；
（4）x＝2x+3是等式；
（5）3a2+a是代数式；
（6）a2+2a≥4a﹣2是不等式．
故（1）、（2）、（3）、（6）是不等式．（4）是等式．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，熟知用不等号连接的式子叫不等式是解答此题的关键．
21．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）x＜﹣2； （2）x＞﹣1； （3）x≥3； （4）﹣2＜x≤3．
【思路点拨】将以上不等式解集用数轴表示，注意有等号时解集为实心，无等号时解集为空心．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【点睛】本题主要考查不等式的解集在数轴上的表示方法，要注意实心和空心的区别．
22．在数轴上表示下列不等式的解集．
（1）x≥﹣3.5 （2）x＜﹣1.5 （3）|x|≥2 （4）﹣1≤x＜2．
【思路点拨】（1）、（2）、（4）表示在数轴上；（3）求出解集，表示在数轴上即可．
【答案】解：（1）；
（2）；
（3）解得：x≥2或x≤﹣2，
如图所示：
；
（4）．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
23．判断下列说法是否正确，为什么？
（1）x＝﹣1是不等式2x＜6的解；
（2）x＝1不是不等式x﹣2＞0的解；
（3）因为x＝1是不等式x﹣5＜0的一个解，所以该不等式的解为x＝1．
【思路点拨】根据不等式解集的定义对三个选项进行逐一解答即可．
【答案】解：（1）不等式2x＜6解集有x＜3，包括﹣1，故正确；
（2）不等式x﹣2＞0的解集有x＞2，不包括1，故正确；
（3）因为不等式x﹣5＜0的解是所有小于5的数，故错误．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题的关键是要会解不等式，明白不等式解集的意义．
24．在数轴上表示不等式和x的下列取值：，并利用数轴说明，x的这些取值中，哪些满足不等式，哪些不满足？
【思路点拨】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：，在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．
【答案】解：作图如下：
根据上图可知：x的这些取值中，满足不等式，不满足不等式．
【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示
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专题3.1 认识不等式
模块一：知识清单
不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江宁波·八年级期中）有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022·东台市八年级月考）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q
3．（2021·淮阳第一高级中学七年级期中）下列关系式中不含这个解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022 禅城区期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，那么这个不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3
5．（2022 铁西区期中）“x的与x的差不大于6”可以表示为（ ）
A．x﹣x＜6 B．x﹣x＞6 C．x﹣x≤6 D．x﹣x≥6
6．（2022 罗湖区期中）x的与x的和不超过5用不等式可以表示为（ ）
A．+x≤5 B．+x＜5 C．+x≥5 D．+x＞5
7．（2022 莲湖区期中）汉中市今年3月份某日的最高气温为19℃，最低气温为3℃，则当天汉中市气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．3＜t＜19 B．3≤t＜19 C．3＜t≤19 D．3≤t≤19
8.关于不等式，下列说法错误的是（ ）
A．x的3倍与4的和是正数 B．x的3倍与4的和是非负数
C．x的3倍与4的和是不小于0 D．x的3倍与4的和大于等于0
9．（2022 无为市月考）下列解集中，不包括﹣4的是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣4 C．x≤﹣5 D．x≥﹣6
10.下列选项正确的是（ ）
A．不是负数，表示为 B．不大于3，表示为
C．与4的差是负数，表示为 D．不等于，表示为
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·浙江杭州市·八年级期中）给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是______．（填序号）
12．（2022·江苏泰州市·八年级期中）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=________．
13．请用不等式表示“x的2倍与3的和大于5”：___________．
14．根据机器零件的设计图纸（如图），用不等式表示零件长度的合格尺寸（L的取值范围）是 ___．
15．（2022 南岗区校级月考）设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称（如图），若用x、y分别表示“●”、“▲”的重量，写出符合题意的不等式是__________．
16．（2022 福州期末）关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是 ．
17．（2022 巴州区期末）小明在一次检测中，数学和英语的平均分是83分，且语文、数学、英语三科的平均分不低于80分，则语文分数x应满足的关系式为 ．
18．（2022 东阳市期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．用不等式表示
（1）a的与一1的差是非正数． （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
（3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5．
（5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20．
20．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．
（1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x﹣5；
（4）x＝2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a﹣2．
21．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
（1）x＜﹣2； （2）x＞﹣1； （3）x≥3； （4）﹣2＜x≤3．
22．在数轴上表示下列不等式的解集．
（1）x≥﹣3.5 （2）x＜﹣1.5 （3）|x|≥2 （4）﹣1≤x＜2．
23．判断下列说法是否正确，为什么？
（1）x＝﹣1是不等式2x＜6的解；
（2）x＝1不是不等式x﹣2＞0的解；
（3）因为x＝1是不等式x﹣5＜0的一个解，所以该不等式的解为x＝1．
24．在数轴上表示不等式和x的下列取值：，并利用数轴说明，x的这些取值中，哪些满足不等式，哪些不满足？
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