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专题3.2 不等式的基本性质
模块一：知识清单
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
性质4 不等式的传递性 若a>b，b>c，则a > c
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州市·八年级期中）若x+2021>y+2021， 则( )
A．x+2【答案】D
【分析】根据不等式的性质依次判断即可．
【详解】解：∵x+2021>y+2021，两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；
两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，，故C选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确；故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质．熟记不等式的性质，并能正确运用是解题关键．
2．（2022·四川成都市·八年级期中）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、左边乘以2，右边乘以3，故A不一定成立，不符合题意；
B、两边都加2，不等号的方向不变，故B一定成立，符合题意；
C、两边都乘以-1，不等号的方向改变，得，然后两边都加2，不等号的方向不变，应得，故C不成立，不符合题意；D、两边除以2，不等号的方向不变，故D不成立，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，是解决本题的关键．
3．（2022·广东揭阳·初二期末）对于实数中，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值的方法对每个选项逐一验证选项，确定正确选项即可．
【详解】解：①若，则；故①正确． ②若，当时，则； 故②错误．
③若，则；故③正确．④若，当c=0时；故④错误． 故选：B
【点睛】本题主要考查命题的真假，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，排除错误选项，是此类问题常用的思维方法，属于中档题．
4．（2022·浙江绍兴·八年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
【答案】A
【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．
【详解】解：根据题意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
5．（20221·浙江杭州·八年级期中）若4≤x≤6，则( )
A．2x－1>8 B．2x+1≥9 C．x+5≤9 D．3－x>－2
【答案】B
【分析】依据不等式的性质依次判断即可．
【详解】解：若4≤x≤6，则8≤2x≤12，7≤2x-1≤11，故A选项错误；
9≤2x+1≤13，故B选项正确；9≤x+5≤11，故C选项错误；
则-6≤-x≤-4，则-3≤3-x≤-1，故D选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式性质，并能依据性质对不等式正确变形是解题关键．
6．（2022·浙江杭州市·九年级期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质求解即可．
【详解】∵，，∴，，
∴，即：，故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，注意两个不等式相加时要把不等式变为同向是解题关键．
7．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级期末）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质分析判断．
【详解】解：A.根据不等式的基本性质，不等式两边同乘以3，不等号的方向不变，得，故A错误；
B.不等式两边同加上1，不等号方向不变，得，故B正确；
C.不等式两边同除以3，不等号方向不变，得，故C错误；
D.不等式两边同乘以-1，不等号的方向改变，得，故D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，特别注意当不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变．
8．（2022 河北）已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
【思路点拨】根据不等式的性质：不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变，即可选出答案．
【答案】解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变．
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
9．（2022 南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3得x＞15
C．由﹣2x＜4得x＜﹣2 D．由＞0得y＞0
【思路点拨】根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案．
【答案】解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由5x＞3得x＞，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由＞0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质是：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10．（2022 雨花区期末）若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（ ）
A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0
【思路点拨】由于原来是“＞”，后来变成了“＜”，说明不等号方向改变，那么可判断利用了不等式性质（3），从而可知c＜0．
【答案】解：∵a＞b，
∴ac＜bc，
∴不等号的反方向改变，
∴利用了不等式性质（3），
∴c＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春 漳州期末）若2x﹣5＜2y﹣5，则x y．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【思路点拨】根据不等式的基本性质变形即可得出结论．
【答案】解：∵2x﹣5＜2y﹣5，
∴2x＜2y，
∴x＜y，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，注意不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．（2022 渝中区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b a﹣c．（选填“＞”或“＜”）
【思路点拨】根据数轴得出c＜b，再根据不等式的性质进行变形即可．
【答案】解：从数轴可知：c＜b，
所以﹣c＞﹣b，
所以a﹣c＞a﹣b，
即a﹣b＜a﹣c，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．（2022 思明区校级月考）指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质：（填阿拉伯数字）
（1）由a+3＞0，得a＞﹣3；根据不等式的基本性质 ；
（2）由﹣2a＜1，得a＞﹣；根据不等式得基本性质 ．
【思路点拨】（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变，据此可解；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此可解．
【答案】解（1）由a+3＞0，根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时加上﹣3，即可得a＞﹣3；
故答案为：1；
（2）由﹣2a＜1，根据不等式的基本性质3，两边同时除以﹣2，即可得a＞﹣；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础知识的考查，比较简单．
14．（2022 濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【思路点拨】根据不等式的性质进行解答．
【答案】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．
故答案是：＞．
【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．（2022 江都区校级期末）如果x＞y，且（a﹣1）x＜（a﹣1）y，那么a的取值范围是 ．
【思路点拨】根据不等式的性质3，可得答案．
【答案】解：由题意，得
a﹣1＜0，
解得a＜1，
故答案为：a＜1．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
16．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式：
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________．
【答案】
【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案；
（2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案；
（3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案；
（4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案；
【解析】解：（1）
两边都加上，得：
合并同类项可得：
（2）
两边都减去得：
合并同类项得：
（3）
两边都乘以得：
（4）
两边都除以得：
故答案为：（1）（2）（3）（4）
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键.
17．（2022·湖南娄底市·八年级期中）由得到的条件是：______0（填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，两边同时除以c（c<0）即可得到．
【详解】根据不等式的性质：由得到的条件是：c<0，故答案为：<．
【点睛】此题考查不等式的性质：不等式的性质1：不等式两边加减同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘(或除)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
18．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
【答案】
【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可．
【解析】，,
,同理可得,
又,,
,即．
【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 滨州月考）根据要求，回答下列问题：
（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是 ；
（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是 ；
（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为 ．
【思路点拨】（1）根据不等式的基本性质1求解即可；
（2）根据不等式的基本性质2求解即可；
（3）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【答案】解：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是：不等式的基本性质1；
（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是：不等式的基本性质2；
（3）x＞（x﹣1），
不等式两边同乘以6，得：2x＞3（x﹣1），
去括号得：2x＞3x﹣3，
移项，合并得，﹣x＞﹣3，
系数化为1，得：x＜3．
故答案为：（1）不等式的基本性质1；（2）不等式的基本性质2；（3）x＜3．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质以及解一元一次不等式，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
20．阅读下面解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2021a+1与﹣2021b+1的大小．
解：∵a＞b①，
∴﹣2021a＞﹣2021b②，
故﹣2021a+1＞﹣2021b+1③，
问：（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程．
【思路点拨】（1）根据不等式的性质逐个判断即可；
（2）根据不等式的性质3得出答案即可；
（4）先根据不等式的性质3进行变形，再根据不等式的性质1得出答案即可．
【答案】解：（1）从第②步开始出现错误，
故答案为：②
（2）错误的原因是不等式的两边都乘以﹣2021，不等号的方向没有改变
（3）∵a＞b，
∴﹣2021a＜﹣2021b，
∴﹣2021a+1＜﹣2021b+1．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
21．下列推导过程中竟然推出了0＞2的错误结果．请你指出问题究竟出在哪里．
已知：m＞n．
两边都乘2，得：2m＞2n；
两边都减去2m，得：0＞2n﹣2m，
即把：0＞2（n﹣m）．
两边都除以n﹣m，得：0＞2．
【思路点拨】两边同乘2，不等式性质2，不等号不变，两边都减去2m，不等式性质1，不等号不变，两边都除以（n﹣m），由于m＞n，所以n＜m，则有n﹣m＜0，因此利用不等式性质3，不等号改变．
【答案】解：最后一步错了．因为m＞n，则n﹣m＜0，两边同时除以一个负数，不等式两边要变向．所以最后一步错误．
【点睛】不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
22．（1）能否将不等式2x＞4x的两边都除以x，得2＞4？为什么？
（2）你能把不等式﹣1＞x变形为x＜﹣1吗？不等式成立吗？
【思路点拨】（1）2＞4很显然是错误的，然后找出错误的原因即可；
（2）根据﹣1与x的大小关系即可做出判断．
【答案】解：（1）不能．
理由：当2x﹣4x＝﹣2x，当x＜0时，2x＞4x．
∵x＜0，
∴不等式的两边同时除以x时，不等号的方向要改变．
（2）﹣1＞x，即x＜﹣1，故不等式成立．
【点睛】本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
23．根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3；
（2）6x＜5x﹣1；
（3）x＞5；
（4）﹣4x＞3．
【思路点拨】（1）根据不等式的性质1求出答案即可；
（2）根据不等式的性质1求出答案即可；
（3）根据不等式的性质2求出答案即可；
（4）根据不等式的性质3求出答案即可．
【答案】解：（1）∵x﹣2＜3，
∴x﹣2+2＜3+2，
∴x＜5；
（2）∵6x＜5x﹣1，
∴6x﹣5x＜5x﹣1﹣5x，
∴x＜﹣1；
（3）∵x＞5，
∴x 2＞5×2，
∴x＞10；
（4）∵﹣4x＞3，
∴＜，
∴x＜﹣．
【点睛】本题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
24．阅读下列材料：
解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解，
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，①
同理得：．②
由①②得．
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
（）已知，且，，求的取值范围．
（）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）．
【答案】(1) 1＜x+y＜5;(2) a+2＜x+y＜-a-2.
整体分析：（1）先分别确定x，y的取值范围，再根据等式的性质确定x+y的范围；（2）先分别用含a的式子确定x，y的取值范围，再根据等式的性质用含a的式子确定x+y的范围；
【解析】解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3.
∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1.
∵y＜1，∴-1＜y＜1.…①
同理得：2＜x＜4.…②
由①+②得-1+2＜y+x＜1+4，
∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5.
（2）∵x-y=a，∴x=y+a.
∵x＜-1，∴y+a＜-1，∴y＜-a-1.
∵y＞1，∴1＜y＜-a-1.…①
同理得：a+1＜x＜-1.…②
由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)，
∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2.
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专题3.2 不等式的基本性质
模块一：知识清单
理论依据 式子表示
性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则
性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或
性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或
性质4 不等式的传递性 若a>b，b>c，则a > c
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江杭州市·八年级期中）若x+2021>y+2021， 则( )
A．x+22．（2022·四川成都市·八年级期中）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东揭阳·初二期末）对于实数中，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题有( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．（2022·浙江绍兴·八年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
5．（20221·浙江杭州·八年级期中）若4≤x≤6，则( )
A．2x－1>8 B．2x+1≥9 C．x+5≤9 D．3－x>－2
6．（2022·浙江杭州市·九年级期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级期末）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022 河北）已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
9．（2022 南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由4x﹣1≥0得4x＞1 B．由5x＞3得x＞15
C．由﹣2x＜4得x＜﹣2 D．由＞0得y＞0
10．（2022 雨花区期末）若a＞b，则ac＜bc成立，那么c应该满足的条件是（ ）
A．c＞0 B．c＜0 C．c≥0 D．c≤0
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021春 漳州期末）若2x﹣5＜2y﹣5，则x y．（填“＞”，“＝”或“＜”）
12．（2022 渝中区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a﹣b a﹣c．（选填“＞”或“＜”）
13．（2022 思明区校级月考）指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质：（填阿拉伯数字）
（1）由a+3＞0，得a＞﹣3；根据不等式的基本性质 ；
（2）由﹣2a＜1，得a＞﹣；根据不等式得基本性质 ．
14．（2022 濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b） b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
15．（2022 江都区校级期末）如果x＞y，且（a﹣1）x＜（a﹣1）y，那么a的取值范围是 ．
16．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式：
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．
17．（2022·湖南娄底市·八年级期中）由得到的条件是：______0（填“”“”或“”）．
18．若，，，，，则、、之间的大小关系是________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 滨州月考）根据要求，回答下列问题：
（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是 ；
（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是 ；
（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为 ．
20．阅读下面解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较﹣2021a+1与﹣2021b+1的大小．
解：∵a＞b①，
∴﹣2021a＞﹣2021b②，
故﹣2021a+1＞﹣2021b+1③，
问：（1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
（2）错误的原因是什么？
（3）请写出正确的解题过程．
21．下列推导过程中竟然推出了0＞2的错误结果．请你指出问题究竟出在哪里．
已知：m＞n．
两边都乘2，得：2m＞2n；
两边都减去2m，得：0＞2n﹣2m，
即把：0＞2（n﹣m）．
两边都除以n﹣m，得：0＞2．
22．（1）能否将不等式2x＞4x的两边都除以x，得2＞4？为什么？
（2）你能把不等式﹣1＞x变形为x＜﹣1吗？不等式成立吗？
23．根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x﹣2＜3；
（2）6x＜5x﹣1；
（3）x＞5；
（4）﹣4x＞3．
24．阅读下列材料：
解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解，
解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，①
同理得：．②
由①②得．
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
（）已知，且，，求的取值范围．
（）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）．
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