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第一章：三角形初步知识复习学案(2)
四．全等三角形的应用：
例1.（1）如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
例2.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠ACB＝∠DFE
如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE。试说明：△ABC≌△ADE的理由。
例3如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ．
（1）求证：≌；（2）若CD＝10，求的面积．
如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作DB⊥BC交CF的延长线于点D．（1）求证：AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
例4.如图，在△ABC中，AB⊥AC ，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）求证：DE＝BD＋CE；
(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），其他条件不变，则DE，BD，CE具有怎样的等量关系？写出等量关系，不需证明．
（1）模型的发现：如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
例5.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD．
（1）求证：BD=CE；（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
如图，，，．
（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
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复习作业
1.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
2.如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．（1）DE与BC平行吗？请说明理由；（2）若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．
3.如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求证：(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF．
4.在中，，，，点在上，且，过点作射线（与在同侧），若点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．连结、．（1）如图①，当时，求证：；（2）如图②，当于点时，求此时的值．
5．在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 ，求证：BE＝CD．
6．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）如图2，AD为△ABC中线，BM交AD于G，交AC于M，若AM＝GM，∠AGM＝∠MAG，求证：BG＝AC．
7．已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD．
（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；
（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF．
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复习作业答案
1.解析：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
2.解析：（1）DE∥BC．
理由如下：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣45°﹣50°＝85°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝42.5°，
∴∠DEB＝∠EBC＝42.5°．
3.解析：(1)∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，，
∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；
(2)如图，设AB交CE于D
根据（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，所以EC⊥BF．
4.解析：（1）证明：，，即
又，
又，
又，
在和中
（2），，即
又，
又，
在和中
即秒．
5．解析：证明：选择条件①的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，
即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD．
故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
6.解析：（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中，
，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
7.解析：（1）∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，
∴∠ADC＝∠EDC＝∠CED＝∠ADE，
在△ADC和△EDC中，
，
∴△ADC≌△EDC（AAS），
∴AD＝DE；
（2）在EC上截取EG＝DF，连接DG，如图2所示：
∵BD＝BE，
∴BD+DF＝BE+EG，
即BF＝BG，
在△BDG和△BEF中，
，
∴△BDG≌△BEF（SAS），
∴DG＝EF，∠BGD＝∠BFE，∠BDG＝∠BEF，
∴∠ADG＝∠CEF，∠CGD＝∠AFE，
∵∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，
∴∠ADC＝∠CEF＝∠ADG＝∠GDC，∠CAD＝∠CGD，
在△ADC和△GDC中，
，
∴△ADC≌△GDC（AAS），
∴AD＝GD，
∴AD＝EF．
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第一章：三角形初步知识复习学案(2)答案
四．全等三角形的应用：
例1.（1）如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①假设AF=FC．则∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故①不一定正确；
②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．
同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故②不一定正确；
③如图，在AC上取AG=AE，连接FG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，
则∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
则∠CFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC与△DFC中，
，
∴△GFC≌△DFC（ASA），
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正确；
④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
（2）如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
解析：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
例2.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。试说明：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠ACB＝∠DFE
（垂直定义）
∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）∵△ABC≌△DEF（已证）
∴∠ACB＝∠DFE（全等三角形对应角相等）
如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE。试说明：△ABC≌△ADE的理由。
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（ASA）
例3如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ．
（1）求证：≌；（2）若CD＝10，求的面积．
解析：（1）∵，
∴，
∵∠A＝∠B＝90°，
在和中，
，
∴≌；
（2）∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴其斜边上的高为5，
∴．
如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作DB⊥BC交CF的延长线于点D．（1）求证：AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
解析：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，
∴在△DBC和△ECA中，
，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD．
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA，
∴BC=AC ，BD=CE．
∵BC=AC=12cm AE是BC的中线，
∴，
∴BD=6cm．
例4.如图，在△ABC中，AB⊥AC ，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）求证：DE＝BD＋CE；
(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），其他条件不变，则DE，BD，CE具有怎样的等量关系？写出等量关系，不需证明．
解析：(1)∵AB⊥AC ， BD⊥DE， CE⊥DE
∴∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ADC与△BEC中，
∠ADB＝∠AEC＝90°, ∠BAD＝∠ACE, AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；
(2)DE=CE-BD
理由：∵BD⊥AD，CE⊥AD，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∵AB⊥AC ，
∴
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAD=∠ACE．
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．
∵AD=AE+ED，
∴DE=AD-AE=CE-BD．
（1）模型的发现：如图1，在中，，，直线经过点，且、两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为点，．请直接写出、和的数量关系．
（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，请说明、和的关系，并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明、和的关系，并证明．
解析：（1）DE＝BD+CE，
理由如下：∵∠DAC＝∠AEC+∠ECA=∠BAC+∠DAB，∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（2）BD＝DE+CE，
证明如下：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝DE+CE；
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵∠DAC＝∠2+∠ACE=∠BAC+∠BAD，∠BAC＝∠2，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△DAB和△ECA中，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE．
例5.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD．
（1）求证：BD=CE；（2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想．
解析：（1）证明：∵，
∴，即∠BAD=∠CAE，
在和中，
，
∴，
,
（2）BD⊥DE．
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
如图，，，．
（1）求证：；（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
解析：（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC=
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