第三章 实数—立方根
一、选择题（共20小题）
1、设[x]表示不大于x的最大整数，设[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[3.7]=3，[3]=3，则=（ ）
A、2000000 B、2001000
C、2002000 D、2003001
2、下列说法中，正确的是（ ）
A、数轴上的点都表示有理数 B、用根号表示的数不一定都是无理数
C、的立方根是± D、任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数
3、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④无理数包括正无理数、负无理数和零．其中正确的有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
4、下列运算正确的是（ ）
A、﹣||= B、||=
C、 D、
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、0是最小的自然数 B、倒数等于它本身的数是1
C、立方等于本身的数是±1 D、任何有理数的绝对值都是正数
6、下列式子中，无意义的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、下列语句中，正确的是（ ）
A、一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B、负数没有立方根
C、一个实数的立方根不是正数就是负数 D、立方根是这个数本身的数共有三个
8、下列语句正确的是（ ）
A、0.64的平方根是0.8 B、带根号的数都是无理数
C、若x3=125，则125是x的立方根 D、﹣是3的平方根
9、下列说法正确的是（ ）
A、﹣2是（﹣2）2的算术平方根 B、3是﹣9的算术平方根
C、16的平方根是±4 D、27的立方根是±3
10、下列说法正确的是（ ）
A、一个数的平方根互为相反数 B、平方根等于本身的数是0和1
C、立方根等于本身的数是0和1 D、算术平方根等于本身的数是0和1
11、一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、0或﹣1或1
12、下列说法正确的是（ ）
A、9的平方根是±3 B、1的立方根是±1
C、=±1 D、一个数的算术平方根一定是正数
13、下列计算或命题：①±3都是27的立方根；②；③的算术平方根是2；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、如果，那么x+y的值为（ ）
A、0 B、﹣5
C、0或﹣10 D、0或﹣10或10
15、的平方根是（ ）
A、±4 B、4
C、±2 D、不存在
16、下列说法在中正确的是（ ）
A、36的平方根是﹣6 B、负数没有立方根
C、﹣1的立方根是它本身 D、是36的平方根
17、下列说法中正确的是（ ）
A、4的平方根是2 B、任意一个无理数的绝对值是正数
C、﹣27的立方根是3 D、=±5
18、下列说法正确的是（ ）
A、﹣4是﹣16的平方根 B、的平方根是±4
C、（﹣6）2的平方根是﹣6 D、﹣3是﹣27的立方根
19、下列说法中错误的是：①﹣是17的平方根；②的立方根是±；③﹣81没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应（ ）
A、①③ B、①④
C、②③ D、②④
20、下列命题中，正确的是（ ）
A、4的平方根是2 B、
C、0的平方根是0 D、无限小数是无理数
二、填空题（共5小题）
21、= _________ ，的立方根是 _________ ．
22、若，则= _________ ．
23、若一个数的倒数等于本身，则此数是 _________ ，一个数的立方等于本身，这个数是 _________ ，一个数的相反数等于本身，这个数是 _________ ．
24、的倒数是 _________ ，8的立方根是 _________ ，﹣2的绝对值是 _________ ．
25、﹣2011的倒数是 _________ ，的立方根是 _________ ，的绝对值是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、计算：
（1）
（2）
（3）16x2﹣49=0
（4）（x+5）3=4．
27、计算（每小题3分，共 18分，）
（1）
（2）+（﹣）
（3）
（4）2﹣
（5）
（6）．
28、计算
（1）﹣4+（﹣3）×2
（2）；
（3）；
（4）．
29、计算
①﹣4.27+3.8﹣0.73+1.2
②（﹣+﹣）×（﹣48）
③（﹣3）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）4
④．
30、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
第三章 实数—立方根
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设[x]表示不大于x的最大整数，设[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.15]=3，[3.7]=3，[3]=3，则=（ ）
A、2000000 B、2001000
C、2002000 D、2003001
考点：取整函数；立方根。
专题：计算题。
分析：解答前首先理解[x]表示的含义，根据取整知识可知=1，=2，=3，…=2000，把这些数进行求和即可．
解答：解：∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴=1，=2，=3，…=2000，
∴+++…+
=1+2+3+…+2000
=200100，
故选B．
点评：本题主要考查取整函数的知识点，熟练掌握取整函数的性质与应用．注意x﹣1＜[x]≤x，[n+θ]=n+[θ]（n是整数）的应用．
2、下列说法中，正确的是（ ）
A、数轴上的点都表示有理数 B、用根号表示的数不一定都是无理数
C、的立方根是± D、任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数
3、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④无理数包括正无理数、负无理数和零．其中正确的有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：数轴；有理数；立方根；无理数。
分析：根据实数与数轴的一一对应关系，有理数、立方根、无理数的定义作答．
解答：解：①实数和数轴上的点一一对应，故错误；
②不带根号的数，比如1.1010010001…，π等是无理数，故错误；
③﹣27是负数，=﹣3，故错误；
④零是有理数，故错误；
综合①②③④，以上说法正确的个数为0．
故选A．
点评：此题主要考查了数轴、有理数立方根、无理数等定义，解答本题要熟记有理数、立方根、无理数的定义以及实数与数轴的一一对应关系．易错点是关于0的说法：0是有理数，不是无理数．
4、下列运算正确的是（ ）
A、﹣||= B、||=
C、 D、
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、0是最小的自然数 B、倒数等于它本身的数是1
C、立方等于本身的数是±1 D、任何有理数的绝对值都是正数
考点：倒数；绝对值；立方根。
专题：计算题。
分析：根据倒数的定义、绝对值以及立方根的知识解决．
解答：解：A、0是最小的自然数，故正确；
B、﹣1的倒数也等于它本身，故错误；
C、立方等于本身的数有±1、0，故错误；
D、0的绝对值是0，故错误．
故选A．
点评：本题考查了倒数、绝对值以及立方根的知识，此题比较简单，易于掌握．
6、下列式子中，无意义的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平方根；算术平方根；立方根。
分析：A、根据算术平方根的定义即可判定；
B、根据算术平方根的定义即可判定；
C、根据算术平方根的定义即可判定；
D、根据立方根的定义即可判定．
解答：解：A、﹣被开方数大于0，故选项正确；
B、中被开方数为负数，故选项错误；
C、=3，故选项正确
D、均有意义，故选项正确．
故选B．
点评：本题主要考查平方根、算术平方根和立方根的知识点，比较简单．
7、下列语句中，正确的是（ ）
A、一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B、负数没有立方根
C、一个实数的立方根不是正数就是负数 D、立方根是这个数本身的数共有三个
8、下列语句正确的是（ ）
A、0.64的平方根是0.8 B、带根号的数都是无理数
C、若x3=125，则125是x的立方根 D、﹣是3的平方根
考点：平方根；立方根。
分析：A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据无理数的定义即可判定；
C、根据立方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
解答：解：A、0.64的平方根为±0.8，故选项A错误；
B、带根号的数不一定都是无理数，例如，故选项B错误；
C、x是125的立方根，说法错误，故选项C错误；
D、说法正确，故选项正确．
故选D．
点评：此题主要考查了立方根、平方根、无理数的定义，要求学生熟练掌握平方根，立方根及无理数的含义．
9、下列说法正确的是（ ）
A、﹣2是（﹣2）2的算术平方根 B、3是﹣9的算术平方根
C、16的平方根是±4 D、27的立方根是±3
10、下列说法正确的是（ ）
A、一个数的平方根互为相反数 B、平方根等于本身的数是0和1
C、立方根等于本身的数是0和1 D、算术平方根等于本身的数是0和1
考点：平方根；立方根。
分析：根据平方根、立方根以及算术平方根的定义分别进行判断即可．
解答：解：A、一个非负数的平方根互为相反数，所以A选项错误；
B、平方根等于本身的数是0，1的平方根为±1，所以B选项错误；
C、立方根等于本身的数是0，﹣1，1，所以C选项错误；
D、算术平方根等于本身的数是0和1，所以D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，记作（a≥0）．也考查了算术平方根以及立方根的定义．
11、一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、0或﹣1或1
考点：平方根；立方根。
专题：计算题。
分析：根据常见数的平方根与立方根进行解答即可．
解答：解：平方根和它的立方根相等的数是0．
故选A．
点评：本题主要考查了特殊数的平方根与立方根，是基础知识，需要熟练掌握．
12、下列说法正确的是（ ）
A、9的平方根是±3 B、1的立方根是±1
13、下列计算或命题：①±3都是27的立方根；②；③的算术平方根是2；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：平方根；立方根。
分析：根据立方根、平方根的定义与性质判断即可．
解答：解：①3是27的立方根，故命题错误；
②=，故命题错误；
③=4，4的算术平方根是2，故命题正确；
④，故命题正确；
⑤=6，故命题错误．
故选B．
点评：此题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，比较简单．
14、如果，那么x+y的值为（ ）
A、0 B、﹣5
C、0或﹣10 D、0或﹣10或10
考点：平方根；立方根。
分析：首先由平方根与立方根的定义求出x与y的值，再代入x+y即可求解．
解答：解：∵，
∴x=±5，y=﹣5，
①当x=5，y=﹣5时，x+y=0；
②当x=﹣5，y=﹣5时，x+y=﹣10．
综上，可知x+y的值为0或﹣10．
故选C．
点评：此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质，比较简单．
15、的平方根是（ ）
A、±4 B、4
C、±2 D、不存在
考点：平方根；立方根。
专题：计算题。
分析：根据立方根的定义，求出的值为4，也就是求一个数x，使得x2=4，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答：解：∵=4，
∴4的平方根为：±2．
故选：C．
点评：此题主要考查了平方根与立方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，得出的值是解决问题的关键．
16、下列说法在中正确的是（ ）
A、36的平方根是﹣6 B、负数没有立方根
C、﹣1的立方根是它本身 D、是36的平方根
17、下列说法中正确的是（ ）
A、4的平方根是2 B、任意一个无理数的绝对值是正数
C、﹣27的立方根是3 D、=±5
考点：平方根；立方根；无理数。
专题：应用题。
分析：根据平方根、立方根、算术平方根、绝对值的定义进行计算，判断即可．
解答：解：A、4的平方根是±2，此选项错误；
B、任意一个无理数的绝对值是正数，此选项正确；
C、﹣27的立方根是﹣3，此选项错误；
D、=5，此选项错误．
故选B．
点评：本题考查了平方根、立方根、算术平方根、绝对值．解题的关键是会区分平方根、立方根、算术平方根的表达式．
18、下列说法正确的是（ ）
A、﹣4是﹣16的平方根 B、的平方根是±4
19、下列说法中错误的是：①﹣是17的平方根；②的立方根是±；③﹣81没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应（ ）
A、①③ B、①④
C、②③ D、②④
考点：平方根；立方根；实数与数轴。
分析：分别判断每个选项，注意立方根只有一个．
解答：解：①﹣是17的平方根，正确；
②的立方根为，故错误；
③﹣81有立方根，故错误；
④实数和数轴上的点一一对应，正确．
综上可得①④正确．
故选C．
点评：本题考查平方根和立方根的知识，难度不大，注意立方根只有一个，负数也有立方根．
20、下列命题中，正确的是（ ）
A、4的平方根是2 B、
C、0的平方根是0 D、无限小数是无理数
考点：平方根；立方根；无理数。
专题：常规题型。
分析：根据平方根的定义，立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、4的平方根是±2，故本选项错误；
B、=﹣1，故本选项错误；
C、0的平方根是0，正确；
D、无限不循环的小数是无理数，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了平方根与立方根的定义，无理数的概念，是基础题，熟记定义是解题的关键．
二、填空题（共5小题）
22、若，则= 1 ．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；立方根。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质先求出a、b的值，在代入求代数式的值．
解答：解：∵|a+8|+=0，
∴a+8=0，a=﹣8，27﹣b=0，b=27，
∴﹣=﹣=﹣2﹣（﹣3）=1，
故答案为：1．
点评：此题考查的知识点是非负数的性质，运用绝对值及算术平方根的非负性求出a、b的值是关键．
23、若一个数的倒数等于本身，则此数是 ±1 ，一个数的立方等于本身，这个数是 ±1、0 ，一个数的相反数等于本身，这个数是 0 ．
考点：倒数；相反数；立方根。
分析：根据倒数的定义可以确定第一题，根据相反数的定义可以确定第二题，利用立方根的相关知识可以确定第三题．
解答：解：∵±1的倒数等于本身，∴一个数的倒数等于本身，则此数是±1；
∵±1、0的立方等于本身，∴一个数的立方等于本身，这个数是±1、0；
∵0的相反数等于本身，∴一个数的相反数等于本身，这个数是0；
故答案为：±1，±1、0，0．
点评：此题主要考查相反数的定义及倒数的定义，比较简单．要注意的是0没有倒数，0的立方根和平方根都是它本身．
24、的倒数是 ，8的立方根是 2 ，﹣2的绝对值是 2 ．
考点：倒数；绝对值；立方根。
专题：常规题型。
分析：分别根据倒数，立方根，绝对值的概念和性质进行计算即可．
解答：解：的倒数是；
8的立方根是2；
﹣2的绝对值是2．
故答案为：，2，2．
点评：此题主要考查了倒数、立方根和绝对值的概念和性质，要求熟练掌握这些基本概念并灵活运用．
25、﹣2011的倒数是 ﹣ ，的立方根是 ﹣ ，的绝对值是 ．
三、解答题（共5小题）
26、计算：
（1）
（2）
（3）16x2﹣49=0
（4）（x+5）3=4．
考点：绝对值；平方根；立方根。
专题：计算题。
分析：（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）先计算，再再求出的立方根即可；
（3）先移项，再系数化为1，最后求的平方根即可；
（4）先求出（x+5）3，再求x即可．
解答：解：（1）原式=
=（4分）；
（2）原式=
=（4分）；
（3）移项得，16x2=49，
系数化为1，得，
即（4分）；
（4）（x+5）3=8，
x=﹣3（4分）．
点评：本题考查了绝对值、立方根、平方根，是基础知识比较简单．
27、计算（每小题3分，共 18分，）
（1）
（2）+（﹣）
（3）
（4）2﹣
（5）
（6）．
考点：有理数的混合运算；有理数的乘方；立方根。
分析：（1）本式为简单的有理数加减运算，从左到右先将分数进行计算，再从左到右计算即可．
（2）根据根式的开方运算，再进行加减计算求解．
（3）根据有理数的混合运算法则，先算乘方再算乘除最后算加减计算求解．
（4）按照有理数混合运算的顺序，利用乘法分配律直接去括号，再进行运算．
（5）将﹣7分解为﹣7﹣，再利用乘方分配律进行计算即可．
（6）分别根据整数指数幂、有理数的乘方计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：（1），
=8﹣5﹣+，
=3；
（2）+（﹣），
=4﹣4，
=0，
（3），
=10﹣25×2，
=﹣40；
（4）2﹣，
=2﹣[×（﹣63）﹣×（﹣63）+×（﹣63）]，
=2﹣（﹣36+7﹣6），
=2﹣（﹣35），
=37；
（5），
=﹣7×30+（﹣）×30，
=﹣210﹣26，
﹣236；
（6），
=﹣1﹣×（﹣9×﹣2）÷1，
=﹣1+，
=．
点评：此题考查了有理数的混合运算注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
28、计算
（1）﹣4+（﹣3）×2
（2）；
（3）；
（4）．
点评：本题考查有理数的混合运算，难度不大，要掌握运算的先后顺序，另外在运算的时候要细心，否则容易出错．
29、计算
①﹣4.27+3.8﹣0.73+1.2
②（﹣+﹣）×（﹣48）
③（﹣3）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）4
④．
考点：有理数的混合运算；算术平方根；立方根。
专题：计算题。
分析：①利用加法运算律把两正加数结合，两负加数结合，分别利用同号两数相加的法则计算，最后根据互为相反数的两数之和为0即可得到结果；
②利用乘法分配律给括号中各项都乘以﹣48，利用两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘进行计算后，把各种的积相加即可得到结果；
③根据运算顺序，先计算乘方运算及绝对值运算，然后计算乘除运算，最后算减法运算，即可得到结果；
④把两项的被开方数通分相减后，根据=a及=|a|化简，并把所得的结果相加即可得到原式的结果．
解答：解：①﹣4.27+3.8﹣0.73+1.2
=[（﹣4.27）+（﹣0.73）]+（3.8+1.2）
=（﹣5）+5
=0；
②（﹣+﹣）×（﹣48）
=（﹣）×（﹣48）+×（﹣48）+（﹣）×（﹣48）
=8+（﹣36）+4
=12+（﹣36）
=﹣（36﹣12）
=﹣24；
③（﹣3）2×|﹣|﹣42÷（﹣2）4=9×﹣16÷16
=2﹣1
=1；
④
=+
=﹣+
=﹣．
点评：此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则来计算，有时可以利用运算律来简化运算，比如第二小题，注意﹣42与（﹣4）2的区别，前者表示4平方的相反数，后者表示两个﹣4的乘积．同时还要注意算术平方根及立方根的意义．
30、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
考点：平方根；立方根。
