第三章 实数—实数的运算
一、选择题（共20小题）
1、下列结论中正确的是（ ）
A、若a、b为实数，则|a?b|=|a|?|b| B、若a为实数，则﹣a≤0
C、若|a|=|b|，则a=b D、若a为实数，则a2＞0
2、在下列5个式子①ab=0；②a+b=0；③；④a2=0；⑤a2+b2=0中，a一定是零的式子有（ ）个．
A、2 B、3
C、4 D、5
3、下列说法：①有理数与无理数的商是无理数 ②无理数与无理数的和是无理数③无理数与有理数的商是无理数 ④无理数与有理数的积是无理数．其中正确的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、下列叙述正确的是（ ）
A、是无理数 B、是有理数
C、π的近似值3.14是无理数 D、无理数有有限个
5、化简1﹣|1﹣|的结果是（ ）
A、﹣ B、2﹣
C、 D、2+
6、估计的运算结果应在（ ）
A、3到4之间 B、4到5之间
C、5到6之间 D、6到7之间
7、估计的运算结果应在（ ）
A、5与6之间 B、6与7之间
C、7与8之间 D、8与9之间
8、估算：的运算结果应在（ ）
A、0到1之间 B、1到2之间
C、2到3之间 D、3到4之间
9、下列计算不正确的是（ ）
A、﹣+=﹣2 B、（﹣）2=
C、︳﹣3︳=3 D、=2
10、下列运算正确的是（ ）
A、+= B、×=
C、（﹣1）2=3﹣1 D、=5﹣3
11、计算×+的结果估计在（ ）
A、6至7之间 B、7至8之间
C、8至9之间 D、9至10之间
12、的值为（ ）
A、﹣1 B、﹣3
C、1 D、0
13、下列运算中错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
14、下列计算正确的是（ ）
A、+= B、﹣=0
C、?=9 D、
15、下面计算正确的是（ ）
A、3+=3 B、÷=3
C、?= D、=±2
16、计算（）2的结果是（ ）
A、9 B、﹣9
C、3 D、﹣3
17、下列计算正确的是（ ）
A、2+4=6 B、=4
C、÷=3 D、=﹣3
18、随地震波而来的是地底积蓄已久的能量．因为里氏震级并不像摄氏温度一样是等分性的指标，因此每两级地震所释放的能量也相差巨大．根据里克特在1953年提出的公式计算，每一级地震释放的能量都是次一级地震的倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次所释放的能量约是后次的（ ）
A、22倍 B、34倍
C、40倍 D、251倍
19、若运算程序为：输出的数比该数的平方小1，则输入2后，输出的结果应为（ ）
A、10 B、11
C、12 D、13
20、下列运算正确的是（ ）
A、=±2 B、
C、 D、﹣|﹣2|=2
二、填空题（共5小题）
21、从九个数：中，作出任意两个数的积，任意三个数的积，任意四个数的积，…，任意八个数的积，这九个数的积．则所有这些积的和是 _________ ．
22、已知，则m+n= _________ ．
23、无理数和π之间一共有 _________ 个整数，它们的积是 _________ ．
24、估计的运算结果应在 _________ 之间（填两个连续自然数）．
25、计算= _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、（1）用“＜”，“＞”，“=”填空： _________ _________
（2）由上可知：①|1﹣|= _________ ；
②|﹣|= _________ ；
（3）计算：（结果保留根号）
|1﹣|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．
27、计算：
（1）﹣7+3+（﹣6）﹣（﹣7）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）（结果精确到0.1）
28、计算
（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）
（2）
（3）．
29、计算下列各题：
（1）|﹣12|+9﹣12
（2）
（3）
（4）．
30、请举例说明：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两个不同的无理数，它们的差是有理数；③存在两个不同的无理数，它们的商是无理数．
第三章 实数—实数的运算
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列结论中正确的是（ ）
A、若a、b为实数，则|a?b|=|a|?|b| B、若a为实数，则﹣a≤0
C、若|a|=|b|，则a=b D、若a为实数，则a2＞0
考点：绝对值；相反数；实数的运算。
分析：A、根据绝对值的性质可得：若a、b为实数，则|a?b|=|a|?|b|；
B、错误，a为实数时，a可以是正数、0或负数三种情况，从而可得出三种结果；
C、错误，由绝对值的性质与|a|=|b|，可得a=b或a+b=0；
D、错误，由平方的定义得，a为实数，则a2≥0．
解答：解：根据绝对值的性质：若a、b为实数，则|a?b|=|a|?|b|正确．
故选A．
点评：本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2、在下列5个式子①ab=0；②a+b=0；③；④a2=0；⑤a2+b2=0中，a一定是零的式子有（ ）个．
A、2 B、3
3、下列说法：①有理数与无理数的商是无理数 ②无理数与无理数的和是无理数③无理数与有理数的商是无理数 ④无理数与有理数的积是无理数．其中正确的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：无理数；实数的运算。
分析：明白无理数是无限不循环小数，根据题意能举出反例就可判断正误．
解答：解：0和无理数的商就是0，为有理数，故①错误．
﹣+=0，无理数和无理数的和可以是有理数．故②错误．
无理数与有理数的商是无理数．故③正确．
0乘以任何无理数为0，故④错误．
故选A．
点评：本题考查无理数的概念和实数的运算，根据反例可得解．
4、下列叙述正确的是（ ）
A、是无理数 B、是有理数
C、π的近似值3.14是无理数 D、无理数有有限个
考点：无理数；实数的运算。
专题：计算题。
分析：将每个选项中的式子运算后利用无理数的定义判断即可．
解答：解：A、﹣=﹣，是有理数，故本选项错误；
B、原式=0，是有理数，故本选项正确；
C、3.14是有限小数，故本选项错误；
D、无理数有无限个，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了无理数的定义及实数的运算，解题的关键是对算式正确的运算．
5、化简1﹣|1﹣|的结果是（ ）
A、﹣ B、2﹣
6、估计的运算结果应在（ ）
A、3到4之间 B、4到5之间
C、5到6之间 D、6到7之间
考点：估算无理数的大小；实数的运算。
分析：先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再进行估算．
解答：解：原式=+2
=+2
=2+2
≈2+2×1.7
≈5.4．
故选C．
点评：本题考查的是二次根式的乘法和加法，在进行加减运算时先将原式中的二次根式化为最简二次根式再计算．
7、估计的运算结果应在（ ）
A、5与6之间 B、6与7之间
C、7与8之间 D、8与9之间
考点：估算无理数的大小；实数的运算。
分析：观察代数式，只需正确估算的大小，然后进行计算即可．
解答：解：∵64＜68＜125，
∴4＜＜5，
又==3，
∴此题的运算结果在7与8之间．
故选C．
点评：此题考查了无理数的估算以及二次根式的混合运算．
熟悉1﹣10的正整数的立方．
8、估算：的运算结果应在（ ）
A、0到1之间 B、1到2之间
C、2到3之间 D、3到4之间
9、下列计算不正确的是（ ）
A、﹣+=﹣2 B、（﹣）2=
C、︳﹣3︳=3 D、=2
考点：实数的运算。
分析：本题需先对每一项分别进行解答，得出正确的结果，最后选出本题的答案即可．
解答：解：A、∵=﹣1，故本答案错误；
B、=，故本答案正确；
C、|﹣3|=3，故本答案正确；
D、，故本答案正确．
故选A．
点评：本题主要考查了实数的运算，在解题时要注意运算顺序和符号是解题的关键．
10、下列运算正确的是（ ）
A、+= B、×=
C、（﹣1）2=3﹣1 D、=5﹣3
考点：实数的运算。
分析：A、B、C、D利用根式的运算顺序及运算法则、公式等计算即可求解．
解答：解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、×=，故选项正确；
C、是完全平方公式，应等于4﹣2，故选项错误；
D、应该等于，故选项错误；
故选B．
点评：本题考查的是二次根式的运算能力．注意：要正确掌握运算顺序及运算法则、公式等．
11、计算×+的结果估计在（ ）
A、6至7之间 B、7至8之间
C、8至9之间 D、9至10之间
考点：实数的运算；估算无理数的大小。
分析：首先把二次根式的化简，然后估算无理数的大小即可解决问题．
解答：解：原式=4×+=4+．
∵9＜10＜16，
∴＜＜，
∴3＜＜4，
∴7＜4+＜8．
故选B．
点评：此题主要考查了实数的计算，解决此题的关键是会灵活计算二次根式之间的运算和估算无理数的方法．
12、的值为（ ）
A、﹣1 B、﹣3
C、1 D、0
13、下列运算中错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：实数的运算。
分析：A、根据合并二次根式的法则即可判定；
B、根据二次根式的乘法法则即可判定；
C、根据二次根式的除法法则即可判定；
D、根据二次根式的性质即可判定．
解答：解：A、和不是同类项不能合并，故选项A错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项正确；
D、，故选项正确．
故选A．
点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．注意：表示a的算术平方根．
14、下列计算正确的是（ ）
A、+= B、﹣=0
C、?=9 D、
考点：实数的运算。
分析：A、根据合并二次根式的法则即可判定；
B、根据合并二次根式的法则即可判定；
C、根据二次根式的乘法法则即可判定；
D、根据二次根式的性质计算即可判定．
解答：解：A、+=2，故选项错误；
B、﹣=0，故选项正确；
C、?=3，故选项错误；
D、=3，故选项错误．
故选B．
点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
15、下面计算正确的是（ ）
A、3+=3 B、÷=3
C、?= D、=±2
16、计算（）2的结果是（ ）
A、9 B、﹣9
C、3 D、﹣3
考点：实数的运算。
专题：计算题。
分析：此题只要把两个相乘即可得出结论．
解答：解：（）2==3．
故选C．
点评：本题主要考查了实数的运算，直接把两个无理数相乘即可得到结果．
17、下列计算正确的是（ ）
A、2+4=6 B、=4
C、÷=3 D、=﹣3
考点：实数的运算。
分析：A、根据合并二次根式的法则即可判定；
B、根据二次根式的乘法法则即可判定；
C、根据二次根式的除法法则即可判定；
D、根据二次根式的性质即可判定．
解答：解：A、2+4不是同类项不能合并，故选项错误；
B、=2，故选项错误；
C、÷=3，故选项正确；
D、=3，故选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
18、随地震波而来的是地底积蓄已久的能量．因为里氏震级并不像摄氏温度一样是等分性的指标，因此每两级地震所释放的能量也相差巨大．根据里克特在1953年提出的公式计算，每一级地震释放的能量都是次一级地震的倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次所释放的能量约是后次的（ ）
A、22倍 B、34倍
C、40倍 D、251倍
19、若运算程序为：输出的数比该数的平方小1，则输入2后，输出的结果应为（ ）
A、10 B、11
C、12 D、13
考点：实数的运算。
分析：由于题目中“输出的数比该数的平方小1”，可表示为y=x2﹣1，把2代入求值即可．
解答：解：当x=2时，得y=（2）2﹣1=11．故选B．
点评：此题主要考查了实数的运算，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．
20、下列运算正确的是（ ）
A、=±2 B、
C、 D、﹣|﹣2|=2
考点：实数的运算。
分析：A、根据算术平方根的定义即可判定；
B、根据负整数指数幂的法则即可判定；
C、根据立方根的定义即可判定；
D、根据绝对值的定义即可判定．
解答：解：A、=2，故选项错误；
B、=4，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、﹣|﹣2|=﹣2，故选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．去绝对值符号时要先判断绝对值符号中代数式的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．
二、填空题（共5小题）
21、从九个数：中，作出任意两个数的积，任意三个数的积，任意四个数的积，…，任意八个数的积，这九个数的积．则所有这些积的和是 3+14+18+26 ．
考点：加法原理与乘法原理；实数的运算。
专题：分类讨论。
分析：可算出任意两个数相乘的积，算出积的和；算出任意三个数相乘的积，算出积的和；算出任意4个数相乘的积，算出积的和，以此类推算出5个数的，6个数的，7个数的，8个数的，9个数的，最后求出结果．
22、已知，则m+n= ．
考点：非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值；实数的运算。
分析：根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后代值计算．
解答：解：m﹣3=0且n﹣=0，
解得：m=3，n=．
∴m+n=．
故答案是：3+．
点评：本题主要考查了非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数等于0．
23、无理数和π之间一共有 5 个整数，它们的积是 0 ．
考点：实数大小比较；实数的运算。
分析：利用“夹逼法”求得和π之间的整数，然后再来求它们的乘积．
解答：解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4；
∴﹣4＞＞﹣3；
∴无理数和π之间的整数有：﹣2、﹣1、0、1、2，共有5个；
∴（﹣2）×（﹣1）×0×1×2=0；
故答案是：5，0．
点评：本题考查了实数大小的比较、实数的运算．解得本题的关键是利用“夹逼法”求得﹣的整数部分．
24、估计的运算结果应在 8﹣9 之间（填两个连续自然数）．
考点：估算无理数的大小；实数的运算。
分析：本题要把二次根式根据二次根式的运算法则进行计算后再估算无理数的值．
解答：解：原式=+
=+
=4+2
≈4+2×2.23
≈8.4
∴运算结果应在8﹣9之间．
点评：此题主要考查了二次根式的乘法及加减，同时也考查了学生估算无理数大小的能力．
25、计算= 4 ．
三、解答题（共5小题）
26、（1）用“＜”，“＞”，“=”填空： ＜ ＜
（2）由上可知：①|1﹣|= ﹣1 ；
②|﹣|= ﹣ ；
（3）计算：（结果保留根号）
|1﹣|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．
考点：绝对值；实数大小比较；实数的运算。
专题：计算题。
分析：（1）根据被开方数越大，则算术平方根越大解答；
（2）根据绝对值的性质，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0解答；
（3）先根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行加减即可得解．
解答：解：（1）∵1＜2＜3，
∴＜＜；
（2）①∵1﹣＜0，
∴|1﹣|=﹣1，
②∵﹣＜0，
∴|﹣|=﹣；
（3）|1﹣|+|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|，
=﹣1+﹣+﹣+﹣+…+﹣，
=﹣1．
故答案为：（1）＜，＜；（2）①﹣1，②﹣；（3）﹣1．
点评：本题主要考查了绝对值的性质与实数的运算，熟记绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．
27、计算：
（1）﹣7+3+（﹣6）﹣（﹣7）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）（结果精确到0.1）
考点：有理数的混合运算；算术平方根；立方根；实数的运算。
分析：（1）首先把减法转化成加法计算，然后计算加法即可；
（2）首先计算乘方，以及括号内的式子，然后计算减法即可求解；
（3）首先计算乘方以及开方，然后计算减法即可；
（4）首先计算乘方，以及括号内的式子，然后计算减法即可求解；
（5）首先计算开方，然后进行加减运算即可；
（6）首先进行开方计算，然后代入近似值计算即可．
解答：解：（1）原式=﹣7+3﹣6+7=3﹣6=﹣3；
（2）原式=﹣16﹣（7﹣9）=16﹣（﹣2）=16+1=17；
（3）原式=﹣4+1×9=﹣4+9=5；
（4）原式=﹣×（﹣9×﹣2）÷（﹣1）=﹣×（﹣6）÷（﹣1）=﹣；
（5）原式=2﹣2﹣+=0；
（6）原式=﹣6≈1.73﹣6=4.23≈4.2
点评：本题考查了实数的混合运算，正确分清运算顺序是关键．
28、计算
（1）（﹣8）﹣（﹣5）+（﹣9）
（2）
（3）．
（2）原式=3﹣（﹣3）
=3+3
=6；
（3）原式=36×﹣8
=36×﹣8
=4．
点评：（1）本题考查了有理数的加减运算，对于减法运算要转为加法运算；
（2）本题考查了有理数的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数；
（3）本题考查了有理数的混合运算，其运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的．
29、计算下列各题：
（1）|﹣12|+9﹣12
（2）
（3）
（4）．
考点：有理数的混合运算；绝对值；算术平方根；立方根；实数的运算。
专题：计算题。
分析：（1）先根据负数的绝对值等于它的相反数把绝对值化简，然后利用加法运算律把化为相反数的两数结合，根据互为相反数的两数之和为0计算，即可得到结果；
（2）先算乘方运算，﹣22表示两个2乘积的相反数，然后利用乘法分配律给括号中各项都乘以﹣24，利用两数相乘的法则计算，约分后，根据加法法则即可得到结果；
（3）第一项根据立方根的定义化简，第二项根据平方根的定义化简，第三项根据负数的绝对值等于它的相反数，然后利用加法法则即可得到结果；
（4）把第一项中的小数化为分数，并把第二项提取﹣1，然后原式提取﹣，利用乘法分配律的逆运算变形，括号中相加得到结果，约分后即可得到最后结果．
解答：解：（1）|﹣12|+9﹣12
=12+9﹣12…（1分）
=9；…（1分）
（2）
=﹣24×﹣（﹣24）×+（﹣24）×+（﹣4）
=﹣3+8+（﹣6）+（﹣4）
=﹣13+8…（1分）
=﹣5； …（1分）
（3）
=…（1分）
=﹣4+
=；…（1分）
（4）
=﹣147×（﹣）﹣253×（﹣）+72×（﹣）
=…（1分）
=﹣×（﹣328）
=41． …（1分）
点评：此题考查了有理数的混合运算，立方根、平方根的定义，以及绝对值的化简，有理数的混合运算首先弄清运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号中的，同级运算从左到右依次进行，然后按照运算法则运算，有时可以利用运算律来简化运算，比如第4题．
30、请举例说明：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两个不同的无理数，它们的差是有理数；③存在两个不同的无理数，它们的商是无理数．
考点：无理数；实数的运算。
专题：开放型。
分析：根据已知可以分别举出符合条件的例子，从而证明结论的正确性．
解答：解：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；
（+1）（﹣1）=1，
②存在两个不同的无理数，它们的差是非零整数；
（+1）﹣（﹣1）=2，
③存在两个不同的无理数，它们的商是无理数．
=．
点评：本题主要考查了实数运算的性质，是各地中考题中常见的计算题型，熟练应用有理数与无理数的定义是解决问题的关键．
