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专题3.1 圆
模块一：知识清单
1、圆的定义
圆的描述概念：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆的集合概念：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
注意：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2、与圆有关的概念
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径（特殊的弦）：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 半圆（特殊的弧）：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
注意：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
注意：同圆或等圆的半径相等.
3、点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.
注意：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
4、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
注意：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 东昌府区期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；正确的只有一个，故选：A．
【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．
2．（2022 婺城区校级开学）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可．
【解析】圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确；
以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误；
同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确；
圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误．故选：C．
【点睛】本题考查圆的定义，半径的概念及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．
3．（2022·浙江九年级期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆的性质可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，根据可推出是等腰三角形，根据题意可求出的度数，进而求出的度数，的度数就是的度数．
【详解】解：连接OC、OD，如图，
∵一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
∵，，是等边三角形，∴，∴是等腰三角形；
∵是等边三角形的外角，，∴，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，圆的性质，等腰三角形性质，根据直角三角形斜边中线求角度是解题关键．
4．（2022·浙江长兴初三期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
【答案】D
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【解析】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长≤10．∴的长度不可能是11；故选：D．
【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜l≤10．
5.（2022 巨野县期末）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【解析】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B
【点睛】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．
6．（2022 东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【思路点拨】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．
【答案】解：∵点A（1，），∴AO＝＝2，
∵⊙O的半径为2，∴点A在⊙O上，故选：A．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
7．（2022 阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【思路点拨】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
【答案】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
8．（2022 卢龙县期末）过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内 B．三角形上 C．三角形外 D．以上都有可能
【思路点拨】根据过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，再利用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形外心位置不同得出答案．
【答案】解：过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，
当过锐角三角形三个顶点，圆心在三角形内部；
当过直角三角形三个顶点，圆心在三角形斜边上；
当过钝角三角形三个顶点，圆心在三角形外部；故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的外心位置确定的应用，根据三角形形状不同得出不同的结论是解题关键
9．（2022 宜州区期末）如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出及，然后用勾股定理解答即可．
【解析】解：如图示，连接，
在中，点D是的中点，则，∴
∴依据勾股定理可得：．故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的的一半，勾股定理等的知识，熟悉相关性质是解题的关键．
10．（2022 浙江期末）已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据，可得，然后根据等腰三角形的性质和外角的性质求解即可．
【解析】解：连接，，，
又，，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
【答案】①③④
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；
③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．
12．（2022 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
【思路点拨】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．
【答案】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm，∴半径r＝2.5cm；
故答案为：6.5cm或2.5cm．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
13．（2022 吴兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
【思路点拨】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【答案】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝2，AD＝1，
则BD＝＝．由图可知1＜r＜．故答案为：1＜r＜．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
14．（2022 亭湖区校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．
【思路点拨】根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形的斜边等于其外接圆的直径可得这个三角形的外接圆的半径．
【答案】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8，
∴直角三角形的斜边＝＝10，
所以这个三角形的外接圆的半径＝×10＝5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了勾股定理．
15．（2022 阜宁县期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
【思路点拨】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【答案】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
16．（2022·常州市新闸中学九年级月考）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】解：点M，N分别是AB，BC的中点，，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，
，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
17．（2022·浙江杭州九年级期中）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为_________．
【答案】5
【分析】根据圆的确定方法做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解析】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．
【点睛】此题考查了确定圆的方法，三角形的外接圆，解题的关键是根据题意确定三角形ABC外接圆的圆心．
18．（2022·广东九年级月考）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 兴化市月考）一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5，7，9分别表示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说的：
小明说：“我只得了8分．”小华说：“我共得了56分．”小红说：“我共得了28分．”
他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来）；如果不可能，请说明理由．
【答案】小明可能得到8分，小华不可能得到56分，小红可能得到28分，理由见解析．
【分析】本题考查了圆的知识，点与圆的位置关系中，点在圆上的有关计算，先求出可能得的最小分数与最大分数，再分析三人得分可解答此题．
【解析】解：观察图形可知，投一次镖的最低得分为1分，最高得分为9分，
∴投6次镖，最低得分：（分），最高得分：（分），
∵54<56，∴小华不可能得56分，
∵（分），
∴小明可能得到8分，射中的靶区为1与3，如图所示：
∵（分），
∴小红可能得到28分，射中靶区为1，5与7，如图所示：
综上，小明可能得到8分，小华不可能得到56分，小红可能得到28分．
【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是理解题意，找到最小分数与最大分数，比较三人分数，再灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022 镇原县期末）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【思路点拨】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计算出AE；
（2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围．
【答案】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，∴AC＝BD＝＝5，
∵AF BD＝AB AD，∴AF＝＝，同理可得DE＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
21．（2022 秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【思路点拨】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【答案】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R＝cm，∴圆片的半径R为cm．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
22．（2022 仪征市期中）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？
【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个．
【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案；
（2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点；
（3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心．
【解析】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，
∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆；
（2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点，
∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；
（3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心，
∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
23．（2022 黄浦区二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【思路点拨】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；
（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．
【答案】解：（1）连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，，
∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，
∴，解得，，∴BC＝2a＝3．
【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组。
24．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．
【答案】（1）；（2）点A在⊙C的内部．
【分析】（1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可；
（2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系．
【解析】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），
∴，
故答案为；
（2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部．
【点睛】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键
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专题3.1 圆
模块一：知识清单
1、圆的定义
圆的描述概念：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
圆的集合概念：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
注意：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2、与圆有关的概念
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径（特殊的弦）：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 半圆（特殊的弧）：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
注意：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.
注意：同圆或等圆的半径相等.
3、点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r.
注意：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
4、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
注意：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.
（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 东昌府区期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022 婺城区校级开学）下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①③ D．②④
3．（2022·浙江九年级期中）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江长兴初三期中）已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ）
A．2 B．5 C．9 D．11
5.（2022 巨野县期末）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022 东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
7．（2022 阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2022 卢龙县期末）过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内 B．三角形上 C．三角形外 D．以上都有可能
9．（2022 宜州区期末）如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．
A．2 B．3 C． D．
10．（2022 浙江期末）已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
12．（2022 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 ．
13．（2022 吴兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
14．（2022 亭湖区校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ．
15．（2022 阜宁县期末）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
16．（2022·常州市新闸中学九年级月考）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
17．（2022·浙江杭州九年级期中）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为_________．
18．（2022·广东九年级月考）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 兴化市月考）一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5，7，9分别表示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说的：
小明说：“我只得了8分．”小华说：“我共得了56分．”小红说：“我共得了28分．”
他们可能得到这些分数吗？如果可能，请把投中的靶区在靶纸上表示出来（用不同颜色的彩笔画出来）；如果不可能，请说明理由．
20．（2022 镇原县期末）如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
21．（2022 秀洲区月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
22．（2022 仪征市期中）已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？
23．（2022 黄浦区二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
24．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．
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