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专题3.3 垂径定理
模块一：知识清单
1、垂径定理
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD是直径
2）推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
注意：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
2、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
注意：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 新蔡县一模）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断．
【解析】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．故选D．
【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键
2．（2022 花都区二模）如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理判断即可；
【解析】∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误．故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
3．（2022 海门市期中）如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM==4，
∴CD=8．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．
4．（2022 上城区月考）如图，的半径，弦于点，若，则的长为（ ）
A．7.5 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【分析】连接OD，由题意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC=3/5OB＝4.5，再由垂径定理得CD＝CE=1/2DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．
【解析】解：连接OD，如图所示：
∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝3：2，
∴OD＝OB＝OA＝7.5，OCOB＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CEDE，
∴CD6，
∴DE＝2CD＝12，故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
5．（2022 鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【思路点拨】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
【答案】解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6.（2022 成都模拟）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】C
【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．
【解析】连接OA，
∵为的直径，弦，
∴AE=AB=3，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
∴，解得：x=5，
∴的半径为5．故选C．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
7.（2022 凉山州）的半径为，弦．若，则和的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．
【解析】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=12cm，CD=16cm，
∴AE=6cm，CF=8cm，
∵OA=OC=10cm，
∴在Rt△AOE中，由勾股定理可得；cm，
在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm，
∴EF=OF+OE=8+6=14cm．
当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=12cm，CD=16cm，
∴AE=6cm，CF=8cm，
∵OA=OC=5cm，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得：cm，
在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm，
∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．
8.（2022 宁波模拟）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．6 D．8
【答案】D
【分析】过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
【解析】解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，故选：D．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
9.（2022 浙江模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【解析】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，
∴AH36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，
∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
10.（2022 杭州中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E，则四边形MNCE是矩形．根据垂径定理即可求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的长，则C的纵坐标即可求解．
【解析】解：作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，
∴CN＝DN＝CD＝OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN＝4，
∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝ ＝3．
∴CE＝MN＝3．
∴C的坐标是：（1，3）．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常用的解题方法．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 耿马县二模）已知⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为点E，若CD＝6，则线段AE的长为 ．
【思路点拨】分两种情况：①当点E在OB上时，连接OC，先由垂径定理求出CE＝3，再由勾股定理求出OE＝4，则AE＝OA+OE＝9；
②当点E在OA上时，同①得OE＝4，则AE＝OA﹣OE＝5﹣4＝1．
【答案】解：分两种情况：
①当点E在OB上时，连接OC，如图所示：
∵⊙O的直径AB＝10，弦CD⊥AB于E，
∴OC＝OA＝OB＝5，CE＝DE＝CD＝3，
∴OE＝＝＝4，
∴AE＝OA+OE＝5+4＝9；
②当点E在OA上时，
同①得：O4＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣4＝1；
综上所述，AE的长为9或1，
故答案为：9或1．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（202 环江县期末）如图，在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，则O到AB的距离为 ．
【思路点拨】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝2，然后利用勾股定理计算出OH即可．
【答案】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝×4＝2，
在Rt△OAH中，OH＝＝＝，
∴O到AB的距离为．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
13．（2022 邗江区校级月考）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD＝4，BD＝，则AB的长为 ．
【思路点拨】连接OC，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得CH＝DH＝2，再利用勾股定理计算出BH＝1，接着在Rt△OCH中利用勾股定理得到22+（r﹣1）2＝r2，然后解方程求出r即可得到直径AB的长．
【答案】解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CH＝DH＝2，
在Rt△BDH中，BH＝＝1，
在Rt△OCH中，OH＝r﹣1，OC＝r，
∵22+（r﹣1）2＝r2，
∴r＝，
∴AB＝5．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
14．（2022 牡丹区三模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
【思路点拨】连接AB，如图，先计算出AB＝，再根据垂径定理得到AC＝PC，BD＝PD，则可判断CD为△PAB的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【答案】解：连接AB，如图，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CD＝AB＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．
15．（2022 依兰县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
【思路点拨】作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AB＝，利用三角形面积公式求出CE，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理计算即可．
【答案】解：作CE⊥AB于E，
则AE＝AD，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝，
×AB×CE＝AC×BC，即×CE＝，
解得，CE＝，
AE＝＝，
则AD＝2AE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
16.（2022 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为 。
【思路点拨】连接OB，由垂径定理得出BD的长；连接OB，再在Rt△OBD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【答案】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
17．（2022 永德县模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是 。
【思路点拨】连接OA，过点O作OH⊥AB于H，根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，根据垂线段最短解答即可．
【答案】解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HB＝AB＝3，
由勾股定理得，OH＝＝4，
当点P与点A（或点B）重合时，OP最大，当点P与点H重合时，OP最小，
∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5，
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．
【答案】
【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．
【解析】由题意，有以下两个临界位置：
（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合，
连接OD，由折叠的性质得：，
，
在中，，
由垂径定理得：；
（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时，
又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，；
综上，折痕CD的长度取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 兰山区期中）往直径为68cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝60cm，求油的最大深度．
【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【答案】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．
∵OC⊥AB于点D
∴BD＝AB＝×60＝30（cm），
∵⊙O的直径为68cm
∴OB＝34cm，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝16（cm），
∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；
答：油的最大深度为18cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（2022 西湖区期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4，求⊙O的半径．
【思路点拨】连接OB，先由垂径定理得AD＝BD＝AB＝3，则CD＝AD﹣AC＝1，再由勾股定理求出OD＝，然后由勾股定理求出OB即可．
【答案】解：连接OB，设AB与MN交于点D，如图所示：
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝AC+BC＝6，
∵AB⊥MN，
∴AD＝BD＝AB＝3，∠ODC＝∠ODB＝90°，
∴CD＝AD﹣AC＝1，
∴OD＝＝＝，
∴OB＝＝＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
21．（2022 云龙区校级月考）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【思路点拨】根据垂径定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得△AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【答案】解：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3，．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，证得△AEO≌△ODC得到CD＝4是解题的关键．
22．（2022 衢州期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：（1）CD的弦心距OF的长；（2）弦CD的长．
【思路点拨】（1）根据题意求出OE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OF；
（2）连接OD，根据勾股定理求出DF，根据垂径定理解答即可．
【答案】解：（1）∵AE＝1cm，BE＝5cm，
∴AB＝AE+EB＝6cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵OF⊥CD，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝×2＝1（cm）；
（2）连接OD，
在Rt△ODF中，由勾股定理得：DF＝＝＝2（cm），
∵OF⊥CD，
∴CD＝2DF＝4（cm）．
【点睛】本题考查的是垂径定理、直角三角形的性质掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
23．（2022 房县期中）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
【思路点拨】设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD，则OF⊥AB，先由垂径定理得AF＝BF＝AB＝20（米），CE＝DE，设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，再根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，解得：r＝25，则OF＝15米，在Rt△OED中，OE＝20（米），由勾股定理求出∴DE＝15（米），则CD＝2DE＝30（米）．
【答案】解：如图，设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，
过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD，
则OF⊥AB，
∴AF＝BF＝AB＝20（米），CE＝DE，
设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，
解得：r＝25，则OF＝15米，
在Rt△OED中，OE＝OF+EF＝15+5＝20（米），
∴DE＝＝＝15（米），
∴CD＝2DE＝30（米），
即水位到达警戒水位时水面宽30米．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理，由勾股定理求出半径是解题的关键．
24．（2022 鄂州期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．
【思路点拨】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；
（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
【答案】解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
AE=BE
CD⊥AB
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专题3.3 垂径定理
模块一：知识清单
1、垂径定理
1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图，几何语言为：
CD是直径
2）推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
注意：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
2、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
注意：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 新蔡县一模）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
2．（2022 花都区二模）如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022 海门市期中）如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
4．（2022 上城区月考）如图，的半径，弦于点，若，则的长为（ ）
A．7.5 B．9 C．10 D．12
5．（2022 鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
6.（2022 成都模拟）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
7.（2022 凉山州）的半径为，弦．若，则和的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
8.（2022 宁波模拟）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．6 D．8
9.（2022 浙江模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
10.（2022 杭州中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 耿马县二模）已知⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为点E，若CD＝6，则线段AE的长为 ．
12．（202 环江县期末）如图，在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，则O到AB的距离为 ．
13．（2022 邗江区校级月考）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，CD＝4，BD＝，则AB的长为 ．
14．（2022 牡丹区三模）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
15．（2022 依兰县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为 ．
16.（2022 拱墅区二模）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为 。
17．（2022 永德县模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是 。
18．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 兰山区期中）往直径为68cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝60cm，求油的最大深度．
20．（2022 西湖区期末）如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4，求⊙O的半径．
21．（2022 云龙区校级月考）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
22．（2022 衢州期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：（1）CD的弦心距OF的长；（2）弦CD的长．
23．（2022 房县期中）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
24．（2022 鄂州期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．
AE=BE
CD⊥AB
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