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专题3.4 圆心角
模块一：知识清单
1、圆心角与弧的定义
1）圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
注意：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2）1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
注意：
（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
2、圆心角定理及推论
1）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
注意：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2）圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
注意：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 道里区期末）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B． C． D．
【思路点拨】利用圆心角的定义对各选项进行判断．
【答案】解：因为顶点在圆心的角为圆心角，所以A选项正确．故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角的定义：顶点在圆心的角为圆心角．
2．（2022 西林县期末）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等 D．这两条弦所对的弦心距相等
【答案】C
【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论．
【解析】解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
C、若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等，原说法正确，故本选项正确；
D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误； 故选C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，注意在同圆和等圆这个条件，不要盲目解答．
3．（2022 浙江期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【思路点拨】先求出∠BOE＝120°，根据点C、D是的三等分点求出的度数是80°，再求出答案即可．
【答案】解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，题目比较典型，难度不是很大．
4．（2022 越秀区校级期中）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．到、的距离相等
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【解析】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．故选：A
【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
5．（2022 孟津县一模）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【思路点拨】连接O1P，O2P，如图，先根据O1P＝O1O2得到∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，然后根据三角形内角和求出∠PO1O2即可．
【答案】解：连接O1P，O2P，如图，
∵P在小量角器上对应的刻度为63°，
即∠O1O2P＝63°，
而O1P＝O1O2，
∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，
∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°，
即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．（2022 海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
【思路点拨】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【答案】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×＝．故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
7．（2022 东台市校级月考）如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
【答案】C
【分析】由已知条件，得出点B是的中点，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AB=BC，又在△ABC中，根据三角形三边关系定理得出AB+BC＞AC.
【解析】解：连接BC
∵，
∴弧AB=弧BC，
∴AB=BC，
∵在△ABC中，AB+BC>AC，
∴AC<2AB.故选C.
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线，得出AB=BC是解题的关键．
8．（2022 庐阳区期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【思路点拨】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【答案】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
9.在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系逐一分析即可．
【解析】①若，则，正确；
②若，则，故不正确；
③由不能得到，故不正确；
④若，则，故不正确；故选A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键．
10.如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解析】解：∵F为的中点，
∴，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴＝180°，
∴＝180°，
∴，故④正确，故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 沭阳县模拟）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是 ．
【思路点拨】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【答案】解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD＝35°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝35°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝35°，
∴∠DOE＝110°，
∴∠AOE＝75°，
∴∠BOE＝105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
12．（2022 原州区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是 （“相等”或“不等”）．
【思路点拨】证明Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），可得OE＝OF．
【答案】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝EB，CF＝DF，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE＝OF．
故答案为：相等．
【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022 扬州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝ ．
【思路点拨】连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AM＝AB，CN＝CD，再由∠AMN＝∠CNM得出∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，再由OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM＝CN，由此即可得出结论．
【答案】解：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，
∴AB＝CD＝6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14.如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为_____度．
【答案】60
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【解析】连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，故答案为60．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15.如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是______．
【答案】24°
【分析】连接，得到等腰，结合已知条件求解，从而可得答案．
【解析】解：如图，连接
的度数是48°，
的度数是 故答案是：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，掌握以上知识点是解题的关键．
16.如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．
【答案】2
【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可．
【解析】解：连接OC，
∵C为的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，
∴OM＝ON＝n，
∴CM＝＝，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM．
17．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．
【答案】150°
【分析】连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝60°，再由等腰三角形的性质得∠OBA＝∠OAB＝60°，则∠AOB＝60°，然后证，即可得出∠AOD＝∠BOD＝150°．
【解析】解：连接OB，如图所示：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠OAB＝∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵DA＝DB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝（360°﹣60°）＝150°，故答案为：150°．
【点睛】此题考查平行四边形及圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及圆的有关性质．
18.如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】依题意，作点关于的对称点为，连接，长即为最小值；过点作，构造和进行对应线段求解；
【解析】作点关于的对称点为，连接，；过点作；
由题知，，，∴，可得对应的圆心角；
又点关于的对称点为，
∴，，∴长为的最小值
在中，，∴，；
在中，，，∴；故填：；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
【思路点拨】连接BD，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【答案】证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．（2022 鄞州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
【思路点拨】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【答案】解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（2022 淮安期末）如图，过的直径上两点，分别作弦，．
求证：（1）；（2）．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）连接OC、OF，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代换得到∠BFC=∠ACF．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）如图，连接．
，
．
．
（2）
，
．
．
又．
．
在和中，
．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（2022 秀洲区月考）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
【思路点拨】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出＝即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理求出ME，进而求出MB即可．
【答案】证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
又∵点M是弧AC的中点，
∴＝，
∴+＝+，
即：＝，
∴MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于E，则ME＝BE，连接OM，
在Rt△MOE中，OE＝1，⊙O的半径OM＝2，
∴ME＝＝＝，
∴MD＝MB＝2ME＝2．
【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是正确计算的前提．
23.（2022 嵊州市期中）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，由为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．
【解析】（1）证明：为的中点，，∴，
，∴，
∴，；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，，
是等腰直角三角形，，
，，
是等腰直角三角形，
，．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（2022 雁塔区校级期中）如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．
(1)求证：OA垂直平分MD.(2)若，求∠MON的度数.(3)若，，求MN的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．
【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；
（3）由（2）可得：，得出，根据等边三角形得判定可得为等边三角形，即可得出结果．
【解析】(1)证明：如图所示，连接MD，
由作图可知，，∴，
∵OA是经过圆心的直线，∴OA垂直平分MD；
(2)解：如图所示，连接ON，
∵，∴，
∴，
∴，即；
(3)解：由（2）可得：，∴，
∵，∴为等边三角形，
∴．
【点睛】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．
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专题3.4 圆心角
模块一：知识清单
1、圆心角与弧的定义
1）圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.
注意：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.
2）1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，
注意：
（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
2、圆心角定理及推论
1）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
注意：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
2）圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.
注意：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 道里区期末）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2022 西林县期末）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ）
A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等
C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等 D．这两条弦所对的弦心距相等
3．（2022 浙江期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．（2022 越秀区校级期中）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．到、的距离相等
5．（2022 孟津县一模）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
6．（2022 海丰县模拟）如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
7．（2022 东台市校级月考）如图，在中，，则弦AC与AB的关系是（ ）
A．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB
8．（2022 庐阳区期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9.在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 沭阳县模拟）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是 ．
12．（2022 原州区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是 （“相等”或“不等”）．
13．（2022 扬州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝ ．
14.如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为_____度．
15.如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是______．
16.如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝_____．
17．如图，在平行四边形ABCO中，∠C＝60°，点A，B在⊙O上，点D在优弧上，DA＝DB，则∠AOD的度数为_______．
18.如图，是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，，点P是上的一个动点，则的最小值为___________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
20．（2022 鄞州区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
21．（2022 淮安期末）如图，过的直径上两点，分别作弦，．
求证：（1）；（2）．
22．（2022 秀洲区月考）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，点M是弧AC的中点．（1）求证：MB＝MD；（2）过O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半径是2，求MD的长．
23.（2022 嵊州市期中）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
24．（2022 雁塔区校级期中）如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．
(1)求证：OA垂直平分MD.(2)若，求∠MON的度数.(3)若，，求MN的长度．
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