专题3.5 圆周角- 2022-2023学年九年级上册数学同步培优题库+知识清单(浙教版)(解析卷)

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名称 专题3.5 圆周角- 2022-2023学年九年级上册数学同步培优题库+知识清单(浙教版)(解析卷)
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文件大小 3.5MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2022-09-13 07:51:18

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.5 圆周角
模块一:知识清单
1.圆周角定义:像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
     
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
注意:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如下图)
3)圆周角定理的推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4)圆周角定理的推论2:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。
模块二:同步培优题库
全卷共24题 测试时间:80分钟 试卷满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法错误的是( )
A.等弧所对圆周角相等 B.同弧所对圆周角相等
C.同圆中,相等的圆周角所对弧也相等 D.同圆中,等弦所对的圆周角相等
【答案】D
【解析】试题分析:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等,等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧相等;在圆中一条弦所对的圆周角有两个,它们互为补角,故选择D.
2.如图,点A,B,C都在⊙O上,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解.
【解析】解:∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,
∴,,
又∵,∴.故选:B.
【点睛】本题考查了圆周角定理的应用,解题的关键是熟练掌握圆周角定理.
3.如图,是外一点,,分别交于,两点,已知和所对的圆心角分别为和,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】连接OC、OD、OA、OB,由圆周角定理,得到,,然后利用三角形的外角性质,即可求出答案.
【解析】解:如图:连接OC、OD、OA、OB,
∵和所对的圆心角分别为和,
即,,
∴,,
∵,
∴.故选:D.
【点睛】本题考查了圆周角定理,三角形的外角性质,解题的关键是掌握所学的知识,正确的作出辅助线进行解题.
4.如图,点A、B、C、D在⊙O上,BC=DC,若∠BOD=124°,则∠A的大小为(  )
A.27° B.31° C.56° D.63°
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC=∠BOC,求出∠BOC的度数,根据圆周角定理得出∠A=∠BOC,再求出答案即可.
【解析】解:连接OC,
∵BC=DC,
∴∠DOC=∠BOC,
∵∠BOD=124°,
∴∠BOC=∠BOD=62°,
∴∠A=∠BOC=31°(圆周角定理),故选:B.
【点睛】本考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系,能熟记知识点是解此题的关键,注意:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
5.如图,A、B、C、D是上四点,且点D是的中点,交于E,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理,得.再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,得.
【解析】解:连接,
是弧的中点,,


,故选:A.
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论以及三角形的外角性质,熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本题的关键.
6.如图,AB是⊙O的直径,∠BOD=120°,点C为弧BD的中点,AC交OD于点E,DE=1,则AE的长为(   )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】连接AD,可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°,根据弧中点,得出∠DAC=30°,△ADE是直角三角形,用勾股定理求AE即可.
【解析】解:连接AD,
∵∠BOD=120°,AB是⊙O的直径,∴∠AOD=60°,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA =60°,
∵点C为弧BD的中点,
∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠AED=90°,
∵DE=1,∴AD=2DE=2,
AE=,故选:A.
【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理,解题关键是通过连接弦构造直角三角形,并通过弧相等导出30°角.
7.在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.如图,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,则∠DCA的度数(  )
A.35° B.40° C.45° D.65°
【答案】B
【分析】首先连接BC,由AB是直径,可求得∠ACB=90°,则可求得∠B的度数,然后由翻折的性质可得,弧AC所对的圆周角为∠B,弧ABC所对的圆周角为∠ADC,继而求得答案.
【解析】连接BC,
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=25°,∴∠B=90° ∠BAC=90° 25°=65°,
根据翻折的性质,弧AC所对的圆周角为∠B,弧ABC所对的圆周角为∠ADC,
∴∠ADC+∠B=180°,∴∠B=∠CDB=65°,
∴∠DCA=∠CDB ∠A=65° 25°=40°.故选B.
【点睛】本题考查圆周角定理,连接BC是解题的突破口.
8.如图,经过原点O,并与两坐标轴相交于A,D两点,已知,点D的坐标为,则圆心C的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系,连接AD,可证AD为直径;将已知圆周角∠OBA转化,即∠D=∠OBA=30°,在Rt△OAD中,根据勾股定理计算即可求解.
【解析】如图所示:
连接AD,OC, ∵∠DOA=90°,
所以AD为直径,即点C在AD上,
由圆周角定理,得∠D=∠OBA=30°,则∠CAO=60°,
又因为OC=CA,所以三角形OAC为等边三角形,
所以OA=OC=,
在Rt△OAD中,OD=2,根据勾股定理得:
AD=, 即圆的半径为.
点C为AD的中点,所以圆心C的坐标为(,1),故选C.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理,解直角三角形,以及坐标与图形,解决本题的关键是要正确添加辅助线AD的,将已知条件集中到Rt△OAD中解直角三角形.
9.如图,AB是⊙O的直径,OC是⊙O的半径,点D是半圆AB上一动点(不与A、B重合),连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°,则∠AED的范围为( )
A.0°< ∠AED <180° B.30°< ∠AED <120° C.60°< ∠AED <120° D.60°< ∠AED <150°
【答案】D
【分析】连接BD,根据圆周角定理得出∠ADC=30°, ∠ADB=90°,再根据三角形的外角性质可得到结论.
【解析】如图,连接BD,

由∵∠AOC=60°, ∴∠ADC=30°,
∴∠DEB>30°∴∠AED<150°,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠EDB=90°-30°=60°,∴∠AED>60°
∴60°<∠AED<150°,故选D
【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质.正确应用圆周角定理找出∠ADC=30°, ∠ADB=90°是解题的关键.
10.如图,锐角三角形ABC内接于⊙O,点D、E分别是、的中点,设∠BAC=α,∠DAE=β,则( )
A.α+β=180° B.2β﹣α=180° C.β﹣α=60° D.2α﹣β=60°
【答案】B
【分析】连接DE、DC、BE,由同圆中,等弧所对的圆周角相等,得到∠ACD=∠BCD,同弧所对的圆周角相等,∠ACD=∠AED,即∠ACB=2∠AED,∠ABC=2∠ADE,在△ADE中三角形的内角和为180°,可以得出∠ADE+∠AED=180°﹣β,在△ABC中,∠A=2,∠ACB+∠ABC=2∠AED+2∠ADE=360°﹣2β,即可以得出β与α的关系.
【解析】解:如图,连接DE、DC、BE,
∵D、E分别是、中点,
∴=,=,
∴∠ACD=∠BCD,
∵∠ACD=∠AED,
∴∠ACD=∠AED=∠BCD,
∴∠ACB=2∠AED,
∵=,∴∠ABE=∠EBC,
∵∠ABE=∠ADE,
∴∠ABE=∠EBC=∠ADE,
∴∠ABC=2∠ADE,
在△ADE中,∠DAE=β,
∴∠ADE+∠AED=180°﹣β,
在△ABC中,∠ACB+∠ABC=2∠AED+2∠ADE=2(180°﹣β)=360°﹣2β,
∵∠BAC=α,∴α+360°﹣2β=180°,
∴2β﹣α=180°,故选:B
【点睛】此题考查了三角形的内心和外心,圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理和三角形的内外心性质等.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2022 海陵区校级月考)已知圆的直径为2,弦AB=,则弦AB所对的圆周角的度数是   .
【思路点拨】根据题意画出图形,由OC垂直于AB,利用垂径定理得到C为AB的中点,求出AC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出OC=AC,确定出三角形AOC为等腰直角三角形,同理三角形BOC为等腰直角三角形,确定出∠AOB度数,利用圆周角定理即可求出∠ADB与∠AEB的度数.
【答案】解:如图所示,
∵OC⊥AB,
∴C为AB的中点,即AC=BC=AB=,
在Rt△AOC中,OA=1,AC=,
根据勾股定理得:OC==,即OC=AC,
∴△AOC为等腰直角三角形,∴∠AOC=45°,同理∠BOC=45°,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°,
∵∠AOB与∠ADB都对,
∴∠ADB=∠AOB=45°,
∵大角∠AOB=270°,∴∠AEB=135°,
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°.故答案为:45°或135°.
【点睛】本题考查的是圆周角定理,在解答此题时要进行分类讨论,不要漏解.
12.(2022 海淀区校级月考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果它的一个外角∠DCE=64°,那么∠BOD的度数为   .
【思路点拨】根据邻补角的概念求出∠BCD,根据圆内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理解答即可.
【答案】解:∵∠DCE=64°,
∴∠BCD=180°﹣∠DCE=116°,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A=180°﹣∠BCD=64°,
由圆周角定理,得∠BOD=2∠A=128°,
故答案为:128°.
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键.
13.(2022 广饶县二模)如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,E为线段CD上一个动点,连接OE,则OE的最小值为   .
【思路点拨】过O点作OF⊥CD于F,如图,利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACD=∠ADC=75°,再利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°,则∠OCD=45°,利用等腰直角三角形的性质得到OF=,然后根据垂线段最短求解.
【答案】解:过O点作OF⊥CD于F,如图,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=(180°﹣∠CAB)=(180°﹣30°)=75°,
∵∠BOC=2∠A=60°,
∴∠OCD=180°﹣∠DOC﹣∠ODC=180°﹣60°﹣75°=45°,
∴△COF为等腰直角三角形,
∴OF=OC=×2=,
∴OE的最小值为.故答案为.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了等腰三角形的性质.
14.(2022 香洲区校级三模)如图,BC是⊙O的弦,AD过圆心O,且AD⊥BC.若∠C=50°,则∠A的度数为    .
【思路点拨】连接OB,先根据等边对等角∠OBC=∠C=50°,从而得到∠BOD=40°,再利用圆周角定理得到∠A的度数即可.
【答案】解:连接OB,
∵OB=OC,∠C=50°,
∴∠OBC=∠C=50°,
∵AD⊥BC.
∴∠ADB=90°,
∴∠BOD=40°,
∴∠A=∠BOD=20°,
故答案为:20°.
【点睛】本题考查了圆周角定理,熟记同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.
15.(2022 凤凰县月考)如图,AB是⊙O直径,点C、D在⊙O上,,若∠BAC=20°,则∠CAD的度数为   .
【思路点拨】先求出∠ABC=70°,进而判断出∠ABD=∠CBD=35°,最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论.
【答案】解:如图,连接BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=20°,
∴∠ABC=70°,
∵=,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=35°,
∴∠CAD=∠CBD=35°.
故答案为:35°.
【点睛】本题考查的是圆周角定理,直径所对的圆周角是直角,直角三角形的性质,解本题的关键是作出辅助线.
16.(2022 泰兴市二模)如图,A、B、C为⊙O上三点(O在∠ABC内部),延长AO交BC于D,OD=BD,∠BAO=x,∠AOC=y.则y关于x的函数关系式为  .
【思路点拨】连接OB,根据圆周角定理、邻补角的定义、角的和差等量代换求解即可.
【答案】解:连接OB,
∵∠ABC=∠AOC,∠AOC=y,
∴∠ABC=y,
∵OB=OC,OA=OB,
∴∠C=∠OBC=∠ABD﹣∠ABO=y﹣x,
∵∠DOC=180°﹣∠AOC,
∴∠DOC=180°﹣y,
∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠C,∠BOC=∠DOC+∠BOD,
∵OD=BD,
∴∠BOD=∠OBD,
∴180°﹣(y﹣x)﹣(y﹣x)=180°﹣y+(y﹣x),
∴y=6x,
故答案为:y=6x.
【点睛】此题考查了圆周角定理,熟记圆周角定理是解题的关键.
17.如图,已知AB是⊙O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是______.
【答案】30°##30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD,进而求出∠AOD=60°,再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°.
【解析】∵OC⊥AB,OD为直径,
∴,∴∠AOB=∠BOD,
∵∠AOB=120°,∴∠AOD=60°,
∴∠APD=∠AOD=30°,故答案为:30°.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识,掌握垂径定理是解答本题的关键.
18.如图,在半径为的⊙中,点是劣弧的中点,点是优弧上一点,且,下列四个结论:①;②;③;④四边形是菱形,其中正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】∵点是劣弧的中点,∴,①正确.
∵,,∴为等边三角形,
∴.②错误.
同理可得为等边三角形,∴,③正确.
∵,
∴四边形为菱形,④正确.故答案为①③④.
三、解答题(本大题共6小题,共46分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2022 诸暨市月考)在⊙O中,弦与直径相交于点P.
(1)若,,则= ;= ;(2)若的度数为m度、的度数为n度,猜想:∠APD的度数与m、n之间的数量关系,并证明你的结论
【答案】(1),(2),证明见解析
【分析】(1)根据三角形外角的性质可得∠BCD=38°,再根据圆周角定理可得,然后由直径所对的圆周角为直角可得∠ABD=52°,即可求解;
(2)根据的度数为m度、的度数为n度,可得,再根据三角形外角的性质,即可求解.
【解析】(1)解:∵,,
∴∠BCD=∠APC-∠ABC=38°,
∵∠BAD=∠BCD,
∴,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=52°,
∵∠BPD=∠APC=100°,
∴∠CDB=180°-∠ABD-∠BPD=28°;
(2)解:,理由如下:
证明:∵的度数为m度、的度数为n度,
∴,
∵ ,
∴.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理,直径所对的圆周角为直角,三角形外角的性质,熟练掌握圆周角定理,直径所对的圆周角为直角,三角形外角的性质是解题的关键.
20.(2022 亭湖区校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E.(1)求证:点E是BC的中点.(2)若∠BOD=75°,求∠CED的度数.
【思路点拨】(1)连接AE,根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°,再根据等腰三角形的性质即可得到结论;(2)根据圆周角定理得到∠DAB=∠BOD=37.5°,再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB+∠DEB=180°,而CBED+∠DEB=180°,则∠CED=∠DAB.
【答案】(1)证明:连接AE,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,即AE⊥BC,
∵AB=AC,
∴BE=CE,
即点E为BC的中点;
(2)解:∵∠BOD=75°,
∴∠DAB=∠BOD=37.5°,
∵∠DAB+∠DEB=180°,∠CED+∠DEB=180°,
∴∠CED=∠DAB=37.5°.
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半;直径所对的圆周角为直角;圆的内接四边形的对角互补;等腰三角形的性质.
21.(2022 贺兰县校级一模)如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC.(1)求证:AB=AC;(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E.若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
【思路点拨】(1)连接AD,证明AD垂直平分线段BC即可;
(2)证明△ABC是等边三角形,求出CD即可解决问题.
【答案】解:(1)证明:连接AD,如图,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,又BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线,
∴AB=AC,
(2)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵⊙O的半径为5,
∴AB=BC=10,CD=BC=5,
又∵∠C=60°,
∴DE=CD sin60°=.
【点睛】本题考查圆周角定理,勾股定理,垂径定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
22.(2022 萧山区月考)如图,AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,OD交AC于点E,=.(1)求证:OD∥BC;(2)若AC=10,DE=4,求BC的长.
【思路点拨】(1)根据垂径定理得OD⊥AC,根据圆周角定理得BC⊥AC,然后由平行线的判定可得结论;
(2)根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE=4,设⊙O半径为R,则OA=R,OE=R﹣4,然后根据勾股定理和中位线性质可得答案.
【答案】解:(1)∵=,
∴OD⊥AC,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴:OD∥BC.
(2)∵AD=CD,
∴OD⊥AC于点E且AE=CE,
又∵AC=10,
∴,
∵DE=4,
设⊙O半径为R,则OA=R,OE=R﹣4,
在Rt△AOE中,
OA2=OE2+AE2,即R2=(R﹣4)2+52,
∴,
又∵O,E为AB,AC的中点,
∴OE=,OE∥BC,
∴BC=2OE=.
【点睛】此题考查的是圆的性质,掌握圆周角定理、垂径定理是解决此题关键.
23.(2022 河南模拟)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上且不与点A,B重合,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为点G,交⊙O于点E,连接CE交BD于点F,连接FG.
(1)求证:FG=DE;(2)若AB=4,FG=4,求AG的长.
【思路点拨】(1)先证明∠E=∠ABD,再根据垂径定理得到DG=EG,∠BGD=90°,接着证明∠EFD=90°,然后根据斜边上的中线性质得到结论;
(2)连接OD,如图,由于FG=DG=4,则利用勾股定理可计算出OG,然后计算OA﹣OG即可.
【答案】(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠E=∠CBD,
∴∠E=∠ABD,
∵DE⊥AB,
∴DG=EG,∠BGD=90°,
∵∠ABD+∠BDG=90°,
∴∠E+∠FDE=90°,
∴∠EFD=90°,
∴GF=DE;
(2)解:连接OD,如图,则OD=OA=AB=2,
∵FG=DG=4,
∴OG==2,
∴AG=OA﹣OG=2﹣2.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和勾股定理.
24.(2022 蜀山区一模)如图,AB是半圆O的直径,D是的中点,DE⊥AB于点E,AC交DE于点F.(1)求证:∠DAF=∠ADF;(2)若CD=2,半圆O的半径为5,求BC的长.
【思路点拨】(1)连接BD,根据=求出∠DAC=∠ABD,根据∠ADF+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°求出∠ADF=∠ABD,再去求答案即可;
(2)连接OD交AC于H,求出AD,根据勾股定理得出52﹣OH2=(2)2﹣(5﹣OH)2,求出OH,再根据三角形的中位线求出BC即可.
【答案】(1)证明:连接BD,
∵D为的中点,
∴=,
∴∠DAC=∠ABD,
∵AB为半圆O的直径,DE⊥AB,
∴∠DEA=∠ADB=90°,
∴∠ADF+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°,
∴∠ADF=∠ABD,
∴∠DAF=∠ADF;
(2)解:连接OD交AC于H,
∵=,OD过O,
∴OD⊥AC,AD=CD=2,
在Rt△AOH中,AH2=OA2﹣OH2,
在Rt△ADH中,AH2=AD2﹣DH2,
∴OA2﹣OH2=AD2﹣DH2,
即52﹣OH2=(2)2﹣(5﹣OH)2,
解得:OH=3,
∵D为的中点,OD过O,
∴AH=CH,
∵AO=BO,
∴OH=BC,
∴BC=2OH=6.
【点睛】本题考查了圆周角定理,勾股定理,三角形的中位线,垂径定理等知识点,能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键
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专题3.5 圆周角
模块一:知识清单
1.圆周角定义:像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
     
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
注意:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如下图)
3)圆周角定理的推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4)圆周角定理的推论2:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。
模块二:同步培优题库
全卷共24题 测试时间:80分钟 试卷满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法错误的是( )A.等弧所对圆周角相等 B.同弧所对圆周角相等C.同圆中,相等的圆周角所对弧也相等 D.同圆中,等弦所对的圆周角相等2.如图,点A,B,C都在⊙O上,,则( )
A. B. C. D.
3.如图,是外一点,,分别交于,两点,已知和所对的圆心角分别为和,则( )
A. B. C. D.
4.如图,点A、B、C、D在⊙O上,BC=DC,若∠BOD=124°,则∠A的大小为(  )
A.27° B.31° C.56° D.63°
5.如图,A、B、C、D是上四点,且点D是的中点,交于E,,则( )
A. B. C. D.
6.如图,AB是⊙O的直径,∠BOD=120°,点C为弧BD的中点,AC交OD于点E,DE=1,则AE的长为(   )
A. B. C. D.
7.在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.如图,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,则∠DCA的度数(  )
A.35° B.40° C.45° D.65°
8.如图,经过原点O,并与两坐标轴相交于A,D两点,已知,点D的坐标为,则圆心C的坐标为( )
A. B. C. D.
9.如图,AB是⊙O的直径,OC是⊙O的半径,点D是半圆AB上一动点(不与A、B重合),连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°,则∠AED的范围为( )
A.0°< ∠AED <180° B.30°< ∠AED <120° C.60°< ∠AED <120° D.60°< ∠AED <150°
10.如图,锐角三角形ABC内接于⊙O,点D、E分别是、的中点,设∠BAC=α,∠DAE=β,则( )
A.α+β=180° B.2β﹣α=180° C.β﹣α=60° D.2α﹣β=60°
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2022 海陵区校级月考)已知圆的直径为2,弦AB=,则弦AB所对的圆周角的度数是   .
12.(2022 海淀区校级月考)如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果它的一个外角∠DCE=64°,那么∠BOD的度数为   .
13.(2022 广饶县二模)如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,E为线段CD上一个动点,连接OE,则OE的最小值为   .
14.(2022 香洲区校级三模)如图,BC是⊙O的弦,AD过圆心O,且AD⊥BC.若∠C=50°,则∠A的度数为    .
15.(2022 凤凰县月考)如图,AB是⊙O直径,点C、D在⊙O上,,若∠BAC=20°,则∠CAD的度数为   .
16.(2022 泰兴市二模)如图,A、B、C为⊙O上三点(O在∠ABC内部),延长AO交BC于D,OD=BD,∠BAO=x,∠AOC=y.则y关于x的函数关系式为  .
17.如图,已知AB是⊙O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是______.
18.如图,在半径为的⊙中,点是劣弧的中点,点是优弧上一点,且,下列四个结论:①;②;③;④四边形是菱形,其中正确结论的序号是__________.
三、解答题(本大题共6小题,共46分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2022 诸暨市月考)在⊙O中,弦与直径相交于点P.
(1)若,,则= ;= ;(2)若的度数为m度、的度数为n度,猜想:∠APD的度数与m、n之间的数量关系,并证明你的结论
20.(2022 亭湖区校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E.(1)求证:点E是BC的中点.(2)若∠BOD=75°,求∠CED的度数.
21.(2022 贺兰县校级一模)如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC.(1)求证:AB=AC;(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E.若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.
22.(2022 萧山区月考)如图,AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,OD交AC于点E,=.(1)求证:OD∥BC;(2)若AC=10,DE=4,求BC的长.
23.(2022 河南模拟)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上且不与点A,B重合,∠ABC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为点G,交⊙O于点E,连接CE交BD于点F,连接FG.
(1)求证:FG=DE;(2)若AB=4,FG=4,求AG的长.
24.(2022 蜀山区一模)如图,AB是半圆O的直径,D是的中点,DE⊥AB于点E,AC交DE于点F.(1)求证:∠DAF=∠ADF;(2)若CD=2,半圆O的半径为5,求BC的长.
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