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专题3.6 圆内接四边形
模块一：知识清单
1、圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2、圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法错误的是（ ）
A．圆内接四边形的对角互补 B．圆内接四边形的邻角互补
C．圆内接平行四边形是矩形 D．圆内接梯形是等腰梯形
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质分别分析得出即可．
【解析】解：A、圆内接四边形的对角互补，正确，不合题意；
B、圆内接四边形的邻角互补，错误，符合题意；
C、圆内接平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、圆内接梯形是等腰梯形，正确，不合题意．故选B．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确把握圆内接四边形对角互补进而得出是解题关键．
2.如图，四边形内接于，点P为边AD上任意一点（点P不与点 A 、 重合）连接CP，若，则的度数可能为（ ）
A．30° B．54° C．50° D．65°
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形对角互补，求得的度数，根据三角形的外角性质可得，进而可确定的范围，根据选项即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为的外角，
∴ ，只有D满足题意．故选：D ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得的大小是解题的关键．
3.在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】设，则，利用菱形性质可得，再由圆内接四边形的性质可知：，即可求出．
【解析】解：设，则
∵四边形OABC为菱形，
∴，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，即，
∴，即．故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是找出．
4.如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论．
【解析】解：连接AC，如图，
∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴，∴
∴故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（ ）
A．18° B．20° C．25° D．40°
【答案】B
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，
∴∠ABC＝180° ∠D＝80°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB＋∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝90° 80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，
∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
6.如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠CDE=∠ABC，再由圆周角定理得出∠DCE=∠BAC，根据ASA证明△ABC≌△CDE即可得出结论．
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠ABC，
∵∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE
∴AC=CE故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角是解答此题的关键．也考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质．
7.如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E、F、G都在⊙O上，且∠ACE＝30°，∠BDF＝20°，则∠EGF为（ ）
A．130° B．100° C．140° D．120°
【答案】C
【分析】连接AD，DE，由直径所对的圆周角为90°，解得∠EDF＝40°，再根据圆的内接四边形对角互补解题即可．
【解析】解：如图，连接AD，DE，
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ACE＝∠ADE＝30°，∠BDF＝20°，
∴∠EDF＝90°﹣20°﹣30°＝40°，
∵∠EGF+∠EDF＝180°，
∴∠EGF＝180°﹣40°＝140°，故选：C．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°、圆的内接四边形对角互补等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8.如图，四边形内接于⊙，交的延长线于点，若平分，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，从而得到，所以，然后利用勾股定理计算的长．
【解析】连接，如图，
平分，，
，
，，
，，
.故选D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．
9.如图所示，在中，，过，两点的⊙O交于点，交于点，连接并延长交⊙O于点，连接，，若，，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】由所求想到勾股定理，则需要将边AE和边BE放到同一个直角三角形中，边BE已经在中，那只需证明出AE=BF，即可得到答案．
【解析】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵是的直径，∴，
∴，∴，∴，
∵
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵
∴
在和中
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴．故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理和圆的基本性质，本题的解题关键是：利用圆内接四边形对角互补及邻补角互补证明角相等，再利用勾股定理得到答案．
10．（2022 雁塔区校级四模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝67.5°，连接BD．若∠ADB＝90°﹣∠BDC，⊙O的半径为4，则BC的长为（ ）
A． B．8 C．8 D．7
【思路点拨】作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，计算出∠ADB+∠BDE＝90°，即∠ADE＝90°，根据圆周角定理可判断AE为⊙O的直径，连接OB、OC，证明＝得到∠ABC＝∠ACB＝67.5°，则∠BAC＝45°，
所以∠AOC＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到BC的长．
【答案】解：作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，
∵∠BDE＝∠BDC，∠ADB＝90°﹣∠BDC，
∴∠ADB+∠BDE＝90°，即∠ADE＝90°，∴AE为⊙O的直径，
连接OB、OC，∵∠BDE＝∠CDE，
∴＝，∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，
∴∠AOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝4×＝8．故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 寻乌县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，则∠BOD的度数是 ．
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据∠BOD＝2∠A即可解决问题．
【答案】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝130°，
∴∠A＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°，
故答案为100°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（2022 崂山区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，OC⊥BD，若∠A等于69°，则∠ADB的度数为 °．
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据垂径定理得到＝，，进而求出∠CDB，根据角平分线的定义解答即可．
【答案】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝69°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣11°）＝34.5°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝34.5°，
故答案为：34.5．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（2022 吉林三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是 度．
【思路点拨】根据圆周角定理求出∠ABC，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【答案】解：∵＝，
∴∠ABC＝∠BDC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14.如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．
【答案】
【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得，进而由邻补角性质解得，再由平行四边形对角相等性质，解得，最后由三角形内角和180°解题即可．
【解析】四边形是的内接四边形
，
四边形是平行四边形，
故答案为：
【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．如图，内接于⊙O，，外角的平分线交⊙O于点D，若，则的度数为______．
【答案】75°
【分析】先求出∠DAC的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠DBE的度数，再通过角平分线求出∠ABE的度数，最后通过三角形外角性质求出∠C的度数．
【解析】解：∵BC=BD，，
∴∠BAD=∠BAC=25°，
∴∠DAC=50°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠DBE+∠DBC=180°，
∴∠DBE=∠DAC=50°，
∵BD平分，
∴∠ABE=2∠DBE=100°，
∴∠C=∠ABE-∠BAC=100°-25°=75°，
故答案为：75°
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
16．（2022 巨野县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度．
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
17．如图，在四边形中，，，过、、三点的分别交、于点、下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③
【分析】连接BF、AF、EF，利用圆内接四边形的性质得到，得到四边形ABFD是矩形，所以，然后根据，证明①正确，结论②不能够确定，证明，得到结论③正确．
【解析】解：如图，连接BF、AF、EF，
∵，
∴，
∴四边形ABFD是矩形，
∴，
∵，
∴，即，故①正确，
∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵不能确定AB与AD的大小关系，
∴不能确定，
∴不能确定，
∴不能确定，故②错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确．
故答案是：①③．
【点睛】本题考查圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的内接四边形的性质．
18．（2022 越秀区校级月考）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是 （填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝PA+PB，④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质和平角的定义即可得到∠MAC＝∠PBC；故①正确；根据圆周角定理得到∠ABC＝∠BAC＝60°，推出△ABC是等边三角形，故②正确；根据圆内接四边形的性质得到∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；根据平行线的性质得到∠M+∠APB＝180°，求得∠M＝∠ACB；根据等边三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，求得∠M＝∠BPC；根据全等三角形的性质得到PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；根据等边三角形的性质得到PC＝PA+PB，故③正确；根据全等三角形的性质得到AM＝PB＝2，求得PM＝PA+AM＝1+2＝3，由三角形的面积公式得到△PCM的面积＝CM2＝，故④正确．
【答案】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 秦淮区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点 E．求证：EC＝AC．
【思路点拨】根据平行线的性质得到∠E+∠ECB＝180°，∠BCA＝∠CAE．根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠ECB＝180°，等量代换得到∠E＝∠CAE，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【答案】证明：∵AE∥BC，
∴∠E+∠ECB＝180°，∠BCA＝∠CAE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠ECB＝180°，
∴∠E＝∠BAD，
∵∠BCA＝∠BAD，
∴∠E＝∠CAE，
∴EC＝AC．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
20．（2022 延边州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
【答案】（1）30°；（2）
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠AOC的度数，求出∠OAC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OH，根据勾股定理求出AH，再根据垂径定理求出AH＝CH＝3，再求出答案即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，∴AC＝AH+CH＝6．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形外角性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
21．（2022 南宁期中）如图，四边形ABDC是圆O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．（1）求证：∠ABE＝∠ACD．（2）连接BC，若BC为圆O的直径，求证：△ABE≌△ACD．
【思路点拨】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得到结论；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据余角的性质得到∠EAB＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【答案】证明：（1）∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，
∵BC为圆O的直径，∴∠BAC＝90°，
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，∴△ABE≌△ACD．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
22．（2022 温州校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
【思路点拨】（1）根据圆周角定理得到＝，根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＝114°，根据等腰三角形的性质求出∠BDC，根据角平分线的定义解答．
【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴＝，
∵OC⊥BD，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝CD；
（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝114°，
∵＝，
∴BC＝CD，
∴∠BDC＝×（180°﹣114°）＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝33°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
23．（2022 兰陵县期中）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．
(1)如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；
(2)如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，
①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；③请直接写出AC的长．
【答案】(1)见解析 (2)①∠BAD＝∠BCD，见解析；②BC＝5，AD＝8；③7
【分析】（1）根据圆周角的性质，得，根据补角的性质，得∠APQ，通过证明△APQ是等边三角形，得∠Q＝60°，通过圆内接四边形、等边三角形的性质，推导得∠Q＝∠ACB；根据四边形内角和的性质分析，即可完成证明；
（2）①连接BD，结合题意，根据圆周角的性质分析，即可得到答案；
②根据圆内接四边形的性质，得∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，结合（2）①的结论，得BD是直径，再经勾股定理的性质计算，即可得到答案；
③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，根据旋转的性质，得AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，根据圆内接四边形的性质，推导点A，点D，点H三点共线，再根据勾股定理和一元二次方程的性质计算，即可得到答案．
【解析】(1)∵∠APC＝∠BPC＝60°，
∴，
∴∠APQ＝，
∵PQ＝AP，∴△APQ是等边三角形，
∴∠Q＝∠APQ＝∠QAP＝60°
∵四边形APBC是圆内接四边形，
∴ ∴∠APQ＝∠ACB＝60°
∴为等边三角形，∠Q＝∠ACB＝60°∴∠BAC＝60°
∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，
∴∠QAC+∠QBC＝240°，
∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，
∴∠QBC＜120°，∴∠QAC≠∠QBC，
∴四边形AQBC是等对角四边形；
(2)①连接BD，
∵AB≠AD，BC＝DC，
∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABC≠∠ADC，
∵四边形ABCD是等对角四边形，∴∠BAD＝∠BCD；
②∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD是直径，
∵圆O的半径为5，∴BD＝10，
∴BC＝CD＝BD＝，；
③将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△CDH，如下图：
∴AB＝DH＝6，AC＝CH，∠ACH＝90°，∠ABC＝∠CDH，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠CDH＝180°，
∴点A，点D，点H三点共线，
∴AH＝AD+DH＝14，
∵AC2+CH2＝AH2，AC＝CH，
∴2AC2＝196，∴AC＝7．
【点睛】本题考查了圆周角、圆内接四边形、勾股定理、旋转、等边三角形、四边形内角和、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆内接四边形、旋转的知识，从而完成求解．
24．（2022 信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【思路点拨】（1）根据遥望角的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．
【答案】解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E＝α；
（2）如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键
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专题3.6 圆内接四边形
模块一：知识清单
1、圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2、圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法错误的是（ ）
A．圆内接四边形的对角互补 B．圆内接四边形的邻角互补
C．圆内接平行四边形是矩形 D．圆内接梯形是等腰梯形
2.如图，四边形内接于，点P为边AD上任意一点（点P不与点 A 、 重合）连接CP，若，则的度数可能为（ ）
A．30° B．54° C．50° D．65°
3.在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4.如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（ ）
A．18° B．20° C．25° D．40°
6.如图，四边形内接于，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，则线段、的长度关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7.如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E、F、G都在⊙O上，且∠ACE＝30°，∠BDF＝20°，则∠EGF为（ ）
A．130° B．100° C．140° D．120°
8.如图，四边形内接于⊙，交的延长线于点，若平分，，则（ ）
A． B． C． D．
9.如图所示，在中，，过，两点的⊙O交于点，交于点，连接并延长交⊙O于点，连接，，若，，则的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．（2022 雁塔区校级四模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝67.5°，连接BD．若∠ADB＝90°﹣∠BDC，⊙O的半径为4，则BC的长为（ ）
A． B．8 C．8 D．7
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 寻乌县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，则∠BOD的度数是 ．
12．（2022 崂山区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连结OC，BD，OC⊥BD，若∠A等于69°，则∠ADB的度数为 °．
13．（2022 吉林三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是 度．
14.如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．
15．如图，内接于⊙O，，外角的平分线交⊙O于点D，若，则的度数为______．
16．（2022 巨野县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度．
17．如图，在四边形中，，，过、、三点的分别交、于点、下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是______．
18．（2022 越秀区校级月考）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是 （填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等边三角形，③PC＝PA+PB，④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 秦淮区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点 E．求证：EC＝AC．
20．（2022 延边州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
21．（2022 南宁期中）如图，四边形ABDC是圆O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．（1）求证：∠ABE＝∠ACD．（2）连接BC，若BC为圆O的直径，求证：△ABE≌△ACD．
22．（2022 温州校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
23．（2022 兰陵县期中）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为等对角四边形．
(1)如图1，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°，延长BP到Q，使PQ＝AP，连接AQ．求证：四边形AQBC是等对角四边形；
(2)如图2，等对角四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，
①请判断四边形ABCD中哪一组对角相等，并说明理由；②若圆O的半径为5，AB＝6，求AD，BC的长；③请直接写出AC的长．
24．（2022 信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
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