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专题3.7 正多边形
模块一：知识清单
1、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
注意：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.
2、正多边形的重要元素
1）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2）正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3）正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角的度数是；
(2)正n边形每个中心角的度数是；
(3)正n边形每个外角的度数是.
3、正多边形的性质
1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
4、正多边形的画法：1）用量角器等分圆；2）用尺规等分圆
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 上城区月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠DAE的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°
【思路点拨】求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【答案】解：如图，连接AD，
∵正五边形ABCDE
∴∠DEA＝＝108°，EA＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣108°）＝36°，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．
2．（2022 浦东新区模拟）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
【思路点拨】利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．
【答案】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故选项不符合题意；
B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项符合题意；
C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故选项不符合题意误；
D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故选项不符合题意误．故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．
3．（2022 双流区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
【思路点拨】连接OC，OD．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论．
【答案】解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．（2022 厦门模拟）如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【分析】如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．
【解析】解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，
为等边三角形，
正六边形ABCDEF的周长为故选：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2022 温州校级期末）若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
【思路点拨】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用360°除以外角度数即可求出这个正多边形的边数．
【答案】解：∵正多边形的每个内角都相等，且为108°，
∴其一个外角度数为180°﹣108°＝72°，
则这个正多边形的边数为360°÷72°＝5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，多边形的内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360°知识求解更简单．
6．（2022 方城县期末）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．83° B．84° C．85° D．94°
【思路点拨】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题；
【答案】解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【解析】如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；故选：C．
【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
8.如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，根据六边形是正六边形，得到，，求得.再利用六边形是正六边形得到，求出，证得，得到，再利用勾股定理求得答案即可.
如解图，连接.
∵六边形是正六边形，
∴，，，CF平分∠AFE，
∴.
∴.
∵六边形是正六边形，
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴.
∴.
∵，
∴.故选：C.
【点睛】此题考查正六边形的性质，三角形全等的判定及性质，此题的连线是解题的关键，由此证得，将求线段转化为求全等的对应线段CE.
错因分析 较难题.失分的原因是：没有掌握正六边形的基本性质.
9.用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接AO并延长交于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段EF的三等分点 D．
【答案】D
【分析】证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可得结论．
【解析】解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段F的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
10．（2021 桂林模拟）如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（ ）
A．36° B．45° C．54° D．60°
【思路点拨】如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．证明当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，求出∠P′BC可得结论．
【答案】解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PB，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣36°＝54°．故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 杭州模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
【思路点拨】连接OA、OC、OD，证△OCD是等边三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再证∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【答案】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质，证明△OCD为等边三角形是解题的关键．
12．（2022 碑林区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ °．
【思路点拨】连接BE，BD，求出∠DEC＝36°，∠BFE＝90°可得结论．
【答案】解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠CFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
【点睛】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是利用三角形外角的性质解决问题．
13．（2022 江北区期末）两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形，且其各边长都为，每个内角均为135°，则正方形的边长为 ．
【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝BC，求得AB＝1，于是得到DE＝2+，即可得到结论．
【答案】解：如图，由题意得，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵BC＝，
∴AB＝1，
∴BD＝AB＝AC＝CE＝1，
∴DE＝2+，
∴正方形的边长为2+，
故答案为：2+．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，求得BD＝AB＝AC＝CE＝1．
14．（2022 厦门二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
【思路点拨】分别求出∠EAB，∠GAB可得结论．
【答案】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵四边形ABFG是矩形，
∴∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2022 浙江模拟）如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度数为 ．
【思路点拨】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【答案】解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：＝9，
∴∠AOB＝＝40°，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．故答案为：120°
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
16．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
【答案】4
【分析】解：如图，连接CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．
【解析】解：如图，连接CE，
，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
17．如图，正五边形和正方形内接于圆，连结交于点，则的度数为________．
【答案】126°##126度
【分析】先根据正方形AFGH和正五边形ABCDE内接于求出，，再根据三角形的内角和求出的度数即可．
【解析】解：连接OA，OE，OF，OH，如图所示：
∵正方形AFGH内接于，
，
∵，
∴，
，
，
∵正五边形ABCDE内接于，
，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：126°．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和，根据已知条件求出，，是解题的关键．
18.如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是___．
①的长为；②；③为等边三角形；④．
【答案】①②④
【分析】先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长①正确错误；由勾股定理求得可得②正确；由，可得③错误；由于，可得，于是得到④正确．
【解析】解：，
，
弧的长为，
①正确；
，，
，
，
即，
②正确；
，
③错误；
，
，
，
，
④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 新华区期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
（1）若a＝6，求b的值；（2）若b＝30，求a的值．
【思路点拨】（1）根据正多边形的周长为60，边长为6，求得边数为＝10，于是得到b＝＝36；
（2）根据多边形的外角和等于360°求得边数为＝12，根据正多边形的周长为60，边长为a，于是得到结论．
【答案】解：（1）∵正多边形的周长为60，边长为6，
∴边数为＝10，
∵一个外角为b°，
∴b＝＝36；
（2）∵一个外角为b°，b＝30，
∴＝12，
∵正多边形的周长为60，边长为a，
∴a＝＝5．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，利用多边形的外角和得出多边形的边数是解题关键．
20．（2022 金寨县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．
【思路点拨】连接OC，OD，先由正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求出∠CPD的度数，即可解决问题．
【答案】解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∴∠CPD的余角的度数为90°﹣36°＝54°．
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理，属于中考常考题型．
21．（2022 云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【思路点拨】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【答案】解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键．
22．（2022 通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
【思路点拨】（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP＝EQ，同理PE＝BQ，由此即可证明；
（2）求出t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．
【答案】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
23．（2022 庐阳区期末）已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
【思路点拨】（1）连接DE，由是正方形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝OC，由等腰直角三角形的性质得到EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，∠EBD＝∠EDB，
由圆周角的性质得到∠POD＝∠ABD＝22.5°，进而得到∠EDC＝67.5°，∠CED＝67.5°，根据等腰三角形的判定即可得到CE＝CD；
（2）根据正方形的性质和圆周角定理及角平分线的性质证得∠1＝∠2＝∠PDE，由三角形内角和定理求出∠2＝30°，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理得到DE＝2OE，OD＝OE，进而得到OD＝OA＝OE，AE＝（﹣1）OE，EC＝（+1）OE，代入即可得到结果．
【答案】（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正方形和圆，圆周角定理，角平分线的判定，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线，证得EA＝ED，是解决问题的关键
24．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【分析】（1）由题意可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，在利用三角形外角的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【解析】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB=．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形外角的性质是解题关键．
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专题3.7 正多边形
模块一：知识清单
1、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
注意：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.
2、正多边形的重要元素
1）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2）正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3）正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角的度数是；
(2)正n边形每个中心角的度数是；
(3)正n边形每个外角的度数是.
3、正多边形的性质
1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
4、正多边形的画法：1）用量角器等分圆；2）用尺规等分圆
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 上城区月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠DAE的度数是（ ）
A．36° B．26° C．30° D．45°
2．（2022 浦东新区模拟）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
3．（2022 双流区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
4．（2022 厦门模拟）如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．12 D．24
5．（2022 温州校级期末）若一个圆内接正多边形的内角是108°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
6．（2022 方城县期末）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．83° B．84° C．85° D．94°
7.设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8.如图，以正六边形的对角线为边，再作一个正六边形，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9.用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在上任取一点A，连接AO并延长交于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，EF，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A．的内心与外心都是点G B．
C．点G是线段EF的三等分点 D．
10．（2021 桂林模拟）如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（ ）
A．36° B．45° C．54° D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 杭州模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
12．（2022 碑林区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ °．
13．（2022 江北区期末）两个全等的正方形如图放置，重叠部分为正八边形，且其各边长都为，每个内角均为135°，则正方形的边长为 ．
14．（2022 厦门二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
15．（2022 浙江模拟）如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度数为 ．
16．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.
17．如图，正五边形和正方形内接于圆，连结交于点，则的度数为________．
18.如图，是正八边形的外接圆，的半径是1，则下列四个结论中正确的是___．
①的长为；②；③为等边三角形；④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 新华区期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．
（1）若a＝6，求b的值；（2）若b＝30，求a的值．
20．（2022 金寨县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．
21．（2022 云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
22．（2022 通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
23．（2022 庐阳区期末）已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
24．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
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