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专题3.9 圆的基本性质 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江初三月考）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦 B．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
【答案】B
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、圆的旋转不变性对各项进行逐一分析即可.
【解析】解：A选项，应注明该弦不能是直径，故错误；
B选项，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故正确；
C选项，只有在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D选项，等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故A错误；故选择B.
【点睛】本题考查了圆的相关定理和性质.
2．（2021·广西中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．(2022.江苏省初三期末)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
【答案】D
【解析】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，
∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.
【点睛】考查了垂径定理，翻折变换，以及含30度角的直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
4．（2022·河北九年级二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：
已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计的面积，则的面积约是（ ）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．
【答案】A
【分析】根据圆的面积公式得O的面积S，先求得得圆的内接正十二边形的面积S△ABO ，最后可求解本题
【详解】如图，构造，，作于点．
∵，∴，
∴，∴正十二边形的面积为，故选A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
5．（2022·深圳市九年级月考）如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
【详解】解：由题意可得，三段弧是等弧，，∠BCA＝60°，
∴π＝，解得CB＝3，
∵△ABC是等边三角形；∴；
∴一个曲边三角形的面积是：[]×3+ ＝，故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.（2022 贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【思路点拨】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，根据圆内接四边形的性质得∠DAE＝80°，根据对称以及圆周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由点C是的中点可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
【答案】解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，∴CE＝2．故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质，求出∠COE＝120°是解题的关键．
7．（2022·河北保定市·九年级期末）如图，扇形可以绕着正六边形的中心旋转，若，等于正六边形的边心距的2倍，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正六边形的性质得，连接OE，OC，可得OC=OE=DE=CD，得，从而得，根据ASA证明得，结合即可求解．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形∴
连接OE，OC，则
∴ ∴四边形OCDE是菱形，∴
∵∴
在和中 ∴∴
∵AB=2∴CD=DE=2过点C作CD⊥ED的延长线于点H
∴ ∴ ∴DH=1∴ ∴扇形半径长为
∴∴
∴故选：B
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正六边形的性质，根据正六边形的性质得出对应角相等是解题关键．
8．（2022·四川九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，∴AH36，
∵⊙O的半径为26，∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×24＝48．故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
9．（2021·山东中考真题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是（ ）．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
【答案】D
【分析】证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．
【详解】解：如图，在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，∴GA=GE，∵FG=2AG，∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，∴EF=AF，故D错误，故答案为：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
10．（2022·江苏苏州市振华中学校九年级二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，从而可得，先根据直角三角形的性质可得，从而得出在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，再利用圆周角定理、勾股定理可得，然后根据圆的性质得出当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，则，
，，则在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，
是圆的直径，，
在中，，在中，，
由圆的性质得：当点共线时，取得最小值，最小值为，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏九年级一模）如图，四边形是的内接四边形，若半径为4，且，则的长为________．（结果保留π）
【答案】
【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接OB，OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，
∴∠C+∠A=3∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，
∴弧BD=，故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、圆周角定理及弧长计算公式是解题关键．
12.（2022 天宁区初三期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为 ．
【分析】由四边形ABCD，EFGC是正方形，得到∠ABC＝∠FGC＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OF，∵四边形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．（2022·黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
【答案】1cm或7cm．
【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4 3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故填1cm或7cm．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
14．（2022·江苏扬州市·九年级期末）如图，是的直径，是的弦，，则________°．
【答案】50
【分析】连接BC，则由圆周角定理可以得到∠ADC=∠ABC，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB=90°，再根据∠BAC=40°即可求解.
【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC=∠ABC
∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=40°∴∠ABC=180°-90°-40°=50° ∴∠ADC=∠ABC=50°故答案为：50.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．（2022·浙江九年级期末）如图1是棒球，图2是其示意图．是直径上一点，点和点关于弦对称，若，则⊙O的半径长为_______．
【答案】
【分析】连接OA构成直角三角形，先利用轴对称性质及垂径定理求出，，即可利用勾股定理求出OA．
【详解】解：如图，连接OA，
∵点和点关于弦对称，∴，．
∵是⊙O的直径，，∴，．
设⊙O的半径为r，即，则．
在Rt△AOF中，由勾股定理得：．
即，解得．∴⊙O的半径长为．故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理的运用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
16．（2022·黑龙江初三期中）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．
【答案】2
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
【解析】解：连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴
∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=，即PA+PB的最小值.
【点睛】本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键.
17．（2022·江苏初三月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为_________．
【答案】3或
【解析】解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，∴CB⊥PB，∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，∴PB∥AC，而PB=AC=4，∴四边形ACBP为矩形，∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，∴P′A=，∴PA的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．
18．（2022·湖南九年级期末）如图，六边形ABCDEF为的内接正六边形，点M为劣弧上的一个动点，连接OM，以点O为旋转中心，将线段OM逆时针旋转60°得到线段ON，连接MN，得到△OMN，点H为△MON的外心．（1）连接MH，NH，则∠MHN=_______．
（2）若正六边形ABCDEF的周长为，当点M从点A运动到点C时，外心H所经过的路径长为_______．
【答案】120°
【分析】（1）根据半径相等及旋转60°，得为等边三角形，再根据等边三角形三线合一，找到角的关系进行求解；（2）注意当与重合时，需求出与所成的角，当与重合时，需求出与所成的角，从而确定所旋转的角度，再利用垂心定理求出的长，即可求解该问．
【详解】解：（1），为等边三角形，，
为外心，同时为内心，，，
（2）为正六边形周长为，边长为，，
在等边中，为外心，同时为重心，由重心定理可得：，
所经过的路径长为：，故答案是：．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的综合题、涉及外心、内心、垂心定理、等边三角形判定及性质，解题的关见是利用等边三角形的三线合一找出角之间的关系及掌握垂心定理．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
【思路点拨】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB+∠DEB＝180°，而CBED+∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．
【答案】（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质．
20．（2022 临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．
【思路点拨】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据得到BC＝CD，从而证明菱形．
【答案】证明：（1）连接BD，
∵，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；
（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠CBF，
∵，∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF（ASA），∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF＝DF．
21．（2022 安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【思路点拨】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【答案】解：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
【点睛】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．
22．（2022 萧山区月考）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
【思路点拨】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据圆周角定理得BC⊥AC，然后由平行线的判定可得结论；
（2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得DE＝4，设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，然后根据勾股定理和中位线性质可得答案．
【答案】解：（1）∵＝，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝10，
∴，
∵DE＝4，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52，
∴，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE＝，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝．
【点睛】此题考查的是圆的性质，掌握圆周角定理、垂径定理是解决此题关键．
23．（2022 海陵区一模）已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD＝60°，给出下列信息：①∠ADC＝50°；②AB是⊙O的直径；③∠CEB＝100°．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若AD＝2，求的长度．
【思路点拨】（1）选择条件为①②，结论为③，根据圆周角定理的推论：直径所得的圆周角为直角，直角三角形的性质以及三角形的内角和定理可求出答案；
（2）求出弧AD所在圆的半径和相应的圆心角度数，利用弧长公式进行计算即可．
【答案】解：（1）条件为①②，结论为③，结论正确，理由如下：
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝50°＝∠ABC，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝40°+60°＝100°；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）连接OC，BD、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABD＝∠ACD＝60°，AD＝2，
∴AB＝＝＝4，
∴OA＝AB＝2，
又∵∠AOD＝2∠ACD＝2×60°＝120°，
∴的长度为＝．
【点睛】本题考查弧长的计算，圆周角定理及其推论，掌握弧长公式、圆周角定理以及直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
24．（2022 信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【思路点拨】（1）根据遥望角的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）延长BC到点T，根据圆内接四边形的性质得到∠FDC+∠FBC＝180°，得到∠ABF＝∠FBC，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠BFD，进而得到∠ACD＝∠DCT，根据遥望角的定义证明结论．
【答案】解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠E＝α；
（2）如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
25．（2022 江干区三模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB＝α，∠BAC＝mα．（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；（2）若∠ADB＝nα+90°，求证m+n＝1；（3）若弧AB长是⊙O周长的，2∠ADB＝5∠CBD，求．
【思路点拨】（1）连接OA，由∠ACB＝α＝30°，得∠AOB＝2∠ACB＝60°，根据OA＝OB，即得△AOB是等边三角形，故∠ABD＝60°；
（2）延长BD交⊙O于E，连接CE，用两种方法表示∠ACE，列方程变形即可得证明；
（3）过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，由弧AB长是⊙O周长的，可得∠AOB＝90°，从而可证△AOB、△DCM、△BDN是等腰直角三角形，根据2∠ADB＝5∠CBD，可得∠CBD＝30°，∠BAC＝60°，设MD＝MC＝t，在Rt△DCM中，CD＝MD＝t，在Rt△BDM中，BD＝2DM＝2t，在Rt△BDN中，DN＝＝t，在Rt△ADN中，AD＝t，即可得＝＝．
【答案】解：（1）连接OA，如图：
∵∠ACB＝α＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
（2）延长BD交⊙O于E，连接CE，如图：
∵BE为⊙O直径，
∴∠BCE＝90°，即∠ACE＝90°﹣α，
△CDE中，∠E＝∠A＝mα，∠EDC＝∠ADB＝nα+90°，
∴∠DCE＝180°﹣∠E﹣∠EDC＝90°﹣mα﹣nα，即∠ACE＝90°﹣mα﹣nα，
∴90°﹣α＝90°﹣mα﹣nα，
∴m+n＝1；
（3）过D作DM⊥BC于M，作DN⊥AB于N，如图：
∵弧AB长是⊙O周长的，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∠ACB＝∠AOB＝45°，
∴△DCM、△BDN是等腰直角三角形，
∵2∠ADB＝5∠CBD，
∴2（∠CBD+∠ACB）＝5∠CBD，
∴2∠ACB＝3∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBD﹣∠ABO＝60°，
设MD＝MC＝t，
在Rt△DCM中，CD＝MD＝t，
在Rt△BDM中，BD＝2DM＝2t，
在Rt△BDN中，DN＝＝t，
在Rt△ADN中，AD＝＝＝t，
∴＝＝．
【点睛】本题考查圆的性质及综合应用，涉及等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是用含t的代数式表示CD和AD的长度
25．（2021·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F， AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，交⊙O于G（1）求证：∠BAF=∠DAE；（2）若AB=4，DE=2，∠B=45°，求AG的长
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接BF，得到∠BAF=90°-∠ABF，由圆内角四边形对角互补得到∠AEF=180°-∠ABF，再由∠DAE=∠AEF-90°即可证明；(2)由∠ABE=45°得到△ABE为等腰直角三角形，进而求出AE的长，利用勾股定理求出AD的长；再连接GE，由圆内接四边形对角互补得到∠AGE=135°，进而得到∠DGE=45°，△GDE为等腰直角三角形，最后AG=AD-GD即可求解．
【详解】解：(1) 如图，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°-∠ABF，
∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠ABF=180°，∴∠AEF=180°-∠ABF，
又∠AEF是△DAE的一个外角，∴∠DAE=∠AEF-∠90°=180°-∠ABF-90°=90°-∠ABF，∴∠BAF=∠DAE；
(2)∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=45°时，△AEB为等腰直角三角形，∴AE=BE=，
在Rt△ADE中，AD=，连接GE，如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠AGE=180°-∠B=135°，∴∠DGE=180°-135°=45°，
又AD⊥DE，∴△GDE为等腰直角三角形，∴GD=DE=2，∴AG=AD-GD=，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形对角互补，勾股定理求线段长等知识点，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
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专题3.9 圆的基本性质 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江初三月考）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦 B．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
2．（2021·广西中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
3．(2022.江苏省初三期末)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
4．（2022·河北九年级二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：
已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计的面积，则的面积约是（ ）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．
5．（2022·深圳市九年级月考）如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022 贵港）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）
A．2 B．2 C． D．1
7．（2022·河北保定市·九年级期末）如图，扇形可以绕着正六边形的中心旋转，若，等于正六边形的边心距的2倍，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
9．（2021·山东中考真题）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是（ ）．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
10．（2022·江苏苏州市振华中学校九年级二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏九年级一模）如图，四边形是的内接四边形，若半径为4，且，则的长为________．（结果保留π）
12.（2022 天宁区初三期中）如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为 ．
13．（2022·黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______．
14．（2022·江苏扬州市·九年级期末）如图，是的直径，是的弦，，则________°．
15．（2022·浙江九年级期末）如图1是棒球，图2是其示意图．是直径上一点，点和点关于弦对称，若，则⊙O的半径长为_______．
16．（2022·黑龙江初三期中）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____．
17．（2022·江苏初三月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为_________．
18．（2022·湖南九年级期末）如图，六边形ABCDEF为的内接正六边形，点M为劣弧上的一个动点，连接OM，以点O为旋转中心，将线段OM逆时针旋转60°得到线段ON，连接MN，得到△OMN，点H为△MON的外心．（1）连接MH，NH，则∠MHN=_______．
（2）若正六边形ABCDEF的周长为，当点M从点A运动到点C时，外心H所经过的路径长为_______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
20．（2022 临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．
21．（2022 安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
22．（2022 萧山区月考）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
23．（2022 海陵区一模）已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD＝60°，给出下列信息：①∠ADC＝50°；②AB是⊙O的直径；③∠CEB＝100°．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若AD＝2，求的长度．
24．（2022 信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
25．（2022 江干区三模）如图，△ABC是圆O的内接三角形，连结BO并延长交AC于点D，设∠ACB＝α，∠BAC＝mα．（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；（2）若∠ADB＝nα+90°，求证m+n＝1；（3）若弧AB长是⊙O周长的，2∠ADB＝5∠CBD，求．
25．（2021·浙江省温岭市第四中学九年级期中）如图，已知直线l与⊙O相交于点E、F， AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D，交⊙O于G（1）求证：∠BAF=∠DAE；（2）若AB=4，DE=2，∠B=45°，求AG的长
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