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专题2.9 特殊三角形 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
2．（2022·四川石室初中八年级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
3．（2022·四川八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
5．（2022·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
7．（2022·广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2022·重庆八年级期末）9．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏西附初中八年级月考）8．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①和都是等腰三角形；②；
③的周长等于与的和；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
10．（2022·湖南八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·杭州初二期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
12．（2022·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
13．（2022·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
14．（2022·浙江初二期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
15．（2022·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
16．（2022·四川龙泉驿初二期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．
17．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
18．（2022·陕西交大附中分校九年级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·湖北）作图计算题．如图，在正方形网格上有一个（三个顶点均在格点上，网格上的最小正方形的边长为1）．(1)作关于直线的轴对称图形（不写作法）；
(2)画出中边上的高；(3)画一个锐角（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积．(4)在HG上画出点，使最小．
20．（2022 浙江八年级月考）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究．(1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明．
(2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由．
21.（2022 西湖区校级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
22．（2022江西八年级期中）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．
23．（2022·浙江八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
24．（2022·江苏八年级期末）(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
25．（2022·福建八年级期末）在中，，，于点．
(1)如图所示，点，分别在线段，上，且，当，时，求线段的长；(2)如图所示，点，分别在，上，且，求证：是等腰直角三角形；
(3)如图所示，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
26．（2022·浙江八年级期末）已知在中，，点 在的外部，且．
（1）如图 1，若，设，求；
（2）如图 2，取 中点，证明：三边的垂直平分线交于点；
（3）如图 3，点 在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点 ． 当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形．
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专题2.9 特殊三角形 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏九年级二模）如图的四个图案中，具有一个共有的性质，那么在下列各数中也满足上述性质的是（ ）
A．212 B．444 C．535 D．808
【答案】D
【分析】先确定每个图形的性质，然后找出他们的共同性质，再判断四个选项中是轴对称的即可．
【详解】解：∵五角星是轴对称和旋转对称图形，三圆两辆相切图形是轴对称图形和旋转对称图形，
心形是轴对称图形，箭头是轴对称图形，∴他们的共有性质是轴对称性质，
在四个选项中只有D是轴对称图形．故选择D．
【点睛】本题考查图形的性质，共同性质，掌握轴对称性质是解题关键．
2．（2022·四川石室初中八年级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中错误的是（ ）
A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
【答案】D
【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称性质的理解和应用，准确分析判断是解题的关键．
3．（2022·四川八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S7的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长的平方为，则，
面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长的平方为，
则，…..则S7的值为：，故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质等．能通过计算找出一般性规律是解题关键．
4．（2021·辽宁九年级一模）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】由是等边三角形，可得∠B=60°，由是边上的中线，可得BD=CD=，AD⊥BC，由，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】解：∵是等边三角形，∴∠B=60°，AB=AC，
∵是边上的中线，∴BD=CD=，AD⊥BC，
∵，∴ED=CD，∠EDC=90°，∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．故选择：B．
【点睛】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．
5．（2022·广西钦州市·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．
【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
6．（2022·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）
A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B
【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.
【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.
7．（2022·广西八年级期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过作交于，，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，，，，
，，，
在和中，，，
，，，
，，故选：C．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
8．（2022·重庆八年级期末）9．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．
【解析】解：∵
∴ ∴
又∵ ∴ ∴
∵在等腰直角三角形中
∴
∴ ∴
∵ ∴ 故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．（2022·江苏西附初中八年级月考）8．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①和都是等腰三角形；②；
③的周长等于与的和；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【答案】A
【分析】根据角平分线与平行线易得∠DBF=∠DFB，从而可得BD=DF，同理可得EF=CE，由此可判断①②③正确，无法判断BF与CF的大小关系．
【解析】①∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线
∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF
∴，都是等腰三角形∴①正确；
②∵，都是等腰三角形∴DF=DB，FE=EC
∴∴②正确；
③的周长 ∴③正确；
④∵不是等腰三角形
∴∠ABC≠∠ACB∴∠FBC≠∠FCB
∴BF=CF是错误的，故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，掌握角平分线加平行线，得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
10．（2022·湖南八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上下列结论：其中正确的有（ ）
①≌；②；③；④
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由证出≌，正确；证出是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案．
【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，，，，
，，故正确；
，，
在和中，，
≌，故正确；，，
，是直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，，
，故正确；
在上截取，连接，如图所示：
在和中，，
≌，，
当时，是等边三角形，
则，此时，故不正确；故选：．
【点睛】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·杭州初二期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
【答案】673
【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【解析】解：如图，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，
经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹，
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
12．（2022·江苏九年级二模）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】
【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形个数有6个．故答案：6．
【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
13．（2022·浙江省开化县第三初级中学八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得的值．
【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则，
观察图形可得：，
即，
∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
14．（2022·浙江初二期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF，将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC=_________°．
【答案】100
【分析】如图：连接BO，CO，根据角平分线性质和中垂线性质可得∠OAB=∠OBA；然后结合三角形内角和定理以及等边对等角可得∠ABC的度数；再证△ABO≌△ACO，进而求得∠OCB的度数；最后根据折叠变换的性质得出EO=EC，由等边对等角以及三角形内角和定理的知识即可求出∠OEC的度数．
【解析】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠OAC=25°，
∵OD是AB的垂直平分线，∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=25°，∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=40°，∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×40°=100°．故答案是100．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质以及翻折变换的性质，正确作出辅助线、构造出等腰三角形是解答本题的关键．
15．（2022·四川）如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．
【答案】22019
【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∵、是等边三角形，
同理可得：∴，∴，，
，…，则的边长为．故答案为：22019．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．（2022·四川龙泉驿初二期末）如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数_____度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是_____度．
【答案】150 135
【分析】根据长方形纸条的对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2＝∠EFG，继而求出图b中∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得图c中∠CFE的度数．
【解析】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，∴EH∥GF，∴∠1＝∠EFG，
根据翻折不变性得∠1＝∠2＝15°，∴∠2＝∠EFG，∠AEG＝180°﹣2×15°＝150°，
又∵∠DEF＝15°，∴∠2＝∠EFG＝15°，∠FGD＝15°+15°＝30°．
在梯形FCDG中，∠GFC＝180°﹣30°＝150°，
根据翻折不变性，∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝150°﹣15°＝135°．故答案为：150；135．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质和图形的折叠，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，折叠前后角的度数不变．
17．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．
【答案】45°
【分析】由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，得到∠EAC=∠ABD，由∠BGE为三角形ABG的外角，利用外角性质得到∠BGE=60°，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x+14x+8x=180°，得出x的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，
在△ACE和△BAD中，∴△ACE≌△BAD（SAS），
∴∠CAE=∠ABD；∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，
∵∠DBC：∠BEN=8：7，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，
∵MN=ME，∴∠MNE=∠BEN=7x，∴∠BMN=14x，
∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM =14x，在△BMN中，14x+14x+8x=180°，∴x=5°
∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；故答案为：45°
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠BEG=60°和利用方程的数学思想．
18．（2022·陕西交大附中分校九年级模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为_____．
【答案】9
【分析】将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，证明是等边三角形，得，再根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】解：将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，
连接，如图，
由翻折知，，， ，，
∵∠CED＝120°，∴ ∴
∴ ∴
∴是等边三角形，∴ 由两点之间线段最短得，
当在同一条直线时，取最大值为：3+3+3=9，故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明是等边三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·湖北）作图计算题．如图，在正方形网格上有一个（三个顶点均在格点上，网格上的最小正方形的边长为1）．
(1)作关于直线的轴对称图形（不写作法）；
(2)画出中边上的高；
(3)画一个锐角（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积．
(4)在HG上画出点，使最小．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析（答案不唯一）(4)见解析
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）延长CB，然后过点A利用三角板的两条直角边作图即可；
（3）作一个面积等于3的三角形即可（答案不唯一）；
（4）连接BB1，交HG于点P，点P即为所求．
【解析】(1)解：如图，即为所求；
(2)解：如图，线段AD即为所求；
(3)解：如图，即为所求；
(4)解：如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，三角形的高，以及三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（2022 浙江八年级月考）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究．
(1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明．
(2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析
【分析】（1）利用平分可得，根据得到，进而得到，即可证得；（2）延长到，使，连接，即可证明，于是得到， ，根据平分可得，等量代换即得 ，即可证明.
【解析】(1)证明：∵平分，∴
∵∴
∴，
∴，∴．
(2)证明：如图，延长到，使，连接，
，，，
，，，
平分，，
，．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等边对等角，解答本题的关键是添加辅助线证明．
21.（2022 西湖区校级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
22．（2022江西八年级期中）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．
【答案】（1）30cm；（2）木杆长100cm，AB=40 cm．
【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足于点，由，利用勾股定理
在中，即可；
（2）如图②，延长交墙面于点，可得，利用勾股定理在中，构造方程求解即可．
【详解】解：（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足于点，
根据题意可得：，
在中，，即凳子的高度为；
（2）如图②，延长交墙面于点，可得，
设，则，，，
在中，，，，
．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解题关键．
23．（2022·浙江八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
【答案】(1)见解析(2)∠EDF=60°．
【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，推出△ABC是等边三角形，即可得到结论．
【解析】(1)解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
，∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，∴∠EDF=60°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（2022·江苏八年级期末）(1)问题发现：如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE；
求：①∠AEB的度数；②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)60°(2)①90°；②AE＝BE+2CM，理由见解析
【分析】（1）先判断出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACD＝∠BCE，进而用SAS判断出△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）得出AD＝BE，再判断出DM＝CM，即可得出结论．
【解析】(1)解：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△CD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
(2)①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，
∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°，∴DM＝CM，
∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE时解本题的关键
25．（2022·福建八年级期末）在中，，，于点．
(1)如图所示，点，分别在线段，上，且，当，时，求线段的长；(2)如图所示，点，分别在，上，且，求证：是等腰直角三角形；
(3)如图所示，点在的延长线上，点在上，且，求证：．
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【分析】由等腰直角三角形的性质得到，再求出，则，然后由勾股定理计算即可；
证≌，得，，再证，即可得出结论；
先证≌，得，再由等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论．
【解析】(1)解：，，，
，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，，即，
解得：，∴；
(2)证明：如图4，连接EF，
由得：，，
∵，∴≌，
∴，，
∴，∴，
即，∴，即，
∵，∴是等腰直角三角形；
(3)证明：过点作，交的延长线于点，如图5所示：
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
又∵，，
∴≌， ∴，
∴，
在中，，，
∴，∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（2022·浙江八年级期末）已知在中，，点 在的外部，且．
（1）如图 1，若，设，求；
（2）如图 2，取 中点，证明：三边的垂直平分线交于点；
（3）如图 3，点 在线段上，线段的垂直平分线交的延长线于点 ． 当线段与线段互相平分（两条线段交于一点，两条线段都被交点平分）时，证明：为直角三角形．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）由题意可知：，则，进而求得，由等腰三角形的性质可得，最后求得；
（2）过点作，，由题意可知和都为等腰直角三角形，又因为，,可得到点和点分别是和的中点，进而得出结论；
（3）过点作，，由中心对称可知，，可证≌，可得,，由证得≌，得到，由证得≌，可得，即可求得结论．
【解析】解：（1），，
，，，
，，，
，，
，，
．
答：的大小为．
（2）如图所示，连接，过点作，，
，且为的中点，
，且和都为等腰直角三角形，
又，，
点和点分别是和的中点，
和分别是和的中垂线，
故三边的垂直平分线交于点．
（3）如图所示，过点作，，
线段的垂直平分线交的延长线于点，，
点正好和点关于线段的中点对称，
，，且，
≌，，，
，，，且，
，且，，
≌，，且，
≌，，
，，，
，，
，即，为直角三角形．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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