2022-2023学年浙教版八年级数学上册 第1章 三角形的初步认识 同步练习题（含解析）

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第1章三角形的初步认识》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的角平分线是射线
B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C．锐角三角形的三条高交于一点
D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
2．在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
3．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
5．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（　　）
A．30° B．45° C．55° D．60°
6．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|0，则c的值可以为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（　　）
A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8≤x＜13
8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
9．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
10．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
11．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）
A．50 B．62 C．65 D．68
二．填空题
12．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2．
13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝　 　．
14．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于　 　．
16．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的大小为　 　（度）．
17．一个三角形的两边长分别是2和7，另一边长a为偶数，且2＜a＜8，则这个三角形的周长为　 　．
三．解答题
18．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
19．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
20．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED．
21．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动　 　秒时，AEDC；
（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）．
24．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　 　．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
25．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC＝AB．
参考答案
一．选择题
1．解：A．三角形的角平分线是线段，故A不符合题意；
B．三角形的中线是线段，故B不符合题意；
C．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故C符合题意；
D．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故D不符合题意；
故选：C．
2．解：与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，
故选：B．
3．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．故①正确；
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴AN＝AM．
∵AC＝AB，
∴CM＝BN．
故③正确；
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
4．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，
故选：A．
5．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE∠ABN，∠BAC∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC（∠AOB+∠BAO）∠BAO∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C90°＝45°．
故选：B．
6．解：∵|a﹣4|0，
∴a﹣4＝0，a＝4；b﹣2＝0，b＝2；
则4﹣2＜c＜4+2，
2＜c＜6，5符合条件；
故选：A．
7．解：∵5+8＝13，8﹣5＝3，
∴3＜x＜13，
又∵x是三角形中最长的边，
∴8≤x＜13．
故选：D．
8．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
9．解：180°
＝75°
即∠C等于75°．
故选：C．
10．解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
11．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，
∴△EFA≌△AGB，
∴AF＝BG，AG＝EF．
同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16
故S（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
故选：A．
二．填空题
12．解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）．
故答案为1．
13．解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBD＝∠ABD∠ABC，∠BCD＝∠ACD∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
14．解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BDC和△AEC中，
，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝42°，
∴∠EAC+∠EBC＝42°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣42°＝48°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣48°＝132°．
15．解：∵△ABC中，∠C＝40°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，
故答案为：220°．
16．解：如图，∵∠C＝60°，
∴Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
又∵∠BAD＝45°，
∴∠1＝∠ABC+∠BAD＝30°+45°＝75°，
故答案为：75．
17．解：∵7﹣2＝5，7+2＝9，
∴5＜a＜9．
又∵2＜a＜8，
∴5＜a＜8．
∵a为偶数，
∴a＝6．
∴周长为9+6＝15．
故答案是：15．
三．解答题
18．解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，
∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，
所以AC＝48，AB＝28．
19．证明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF，
在△AOC和△DOF中，
，
∴△AOC≌△DOF（AAS）
∴AO＝DO，FO＝CO，
∵BF＝CE，
∴BO＝EO，
∴AD与BE互相平分．
20．证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
21．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
22．证明：（1）①∵∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°．
∴∠CAD＝∠BCE．
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
解：（2）∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE．
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE＝AD，CD＝BE．
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE﹣AD（或AD＝BE﹣DE，BE＝AD+DE等）．
∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
23．解：（1）由题可得，BD＝CE＝2t，
∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，
∴当AEDC，时，8﹣2t（12﹣2t），
解得t＝3，
故答案为：3；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB＝CD＝8，
∴12﹣2t＝8，
解得t＝2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE＝∠BAD，
又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠ADE＝∠B（180°﹣α）＝90°α．
故答案为：90°α．
24．解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；
（2）2∠A＝∠2，如图
∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，
故答案为：2∠A＝∠2；
（3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，
即2∠A＝∠2﹣∠1．
25．证明：如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE＝∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC＝BF，
∴AD+BC＝AF+BF＝AB．
证法二：如图，延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC
∴∠1＝∠M＝∠2，∠1+∠2+∠3+∠4＝180°
∴BM＝BA，∠3+∠2＝90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，
，
∴△ABE≌△MBE（ASA），
∴AE＝ME，
在△ADE和△MCE中，
，
∴△ADE≌△MCE（ASA），
∴AD＝CM，
∴AB＝BM＝BC+AD．