2022-2023学年浙教版八年级数学上册2.7探索勾股定理 同步达标测试题 （含解析）

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《2.7探索勾股定理》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
3．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人．这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（　　）
A．3米 B．5米 C．7米 D．9米
4．下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，6，9
5．已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝90°，则（　　）
A．b2＝a2+c2 B．c2＝a2+b2 C．a2＝b2+c2 D．a+b＝c
6．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
8．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（　　）
A．90 B．100 C．110 D．121
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是 　 　．
10．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是　 　．
11．在Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2+BC2+AC2的值为 　 　．
12．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　 　cm2．
13．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为　 　m．
14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　 　步路．（假设2步为1米）
15．如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，AD＝4，BC＝6，点E、F分别是AD、AB上的任意一点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为　 　．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．
19．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
20．已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2＝10a+24b+26c﹣338．
（1）试判断三角形的形状；
（2）求三角形最长边上的高．
21．如图，一架长2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米．
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑0.4米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？
22．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CE＝x
（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式+的最小值．
24．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　 　；
②b与c的关系为　 　，a与d的关系为　 　．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
2．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
3．解：在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO＝＝＝12（m），
在Rt△COD中，∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC＝＝＝9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为3m，
故选：A．
4．解：A、32+42＝52，是勾股数；
B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；
D、52+62≠92，不是勾股数．
故选：D．
5．解：∵∠B＝90°，
∴∠B的对边b是斜边，
∴b2＝a2+c2．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．
故选：B．
7．解：（1）
△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5
∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84；
（2）
△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5
∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24．
故选：C．
8．解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC＝AB，
∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：作DE⊥AB于点E，如图所示，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∵CD＝2，
∴DE＝2，
∵AB＝6，
∴S△ABD＝＝＝6，
故答案为：6．
10．解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为＝10，
故斜边的中线长为×10＝5，
故答案为5．
11．解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝3，
∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，
∴AB2+BC2+AC2＝2BC2＝2×9＝18，
故答案为：18．
12．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
13．解：在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．
故答案为：2.2．
14．解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB＝＝10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
15．解：如图，
将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，
AC＝＝（cm）．
答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm．
故答案为：．
16．解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
∵AD＝4，
∴AB＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BN，
∴BN＝＝＝4.8，
∵F关于AD的对称点M，
∴EF＝EM，
∴BE+EF＝BE+EM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即BF+EF的最小值是4.8，故答案为：4.8．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：连接BD．
∵∠A＝90°，AB＝2，AD＝，
∴根据勾股定理可得BD＝3，
又∵CD＝5，BC＝4，
∴CD2＝BC2+BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB AD+BC BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．
18．（1）解：EF⊥AC．
理由：连接AE，CE．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
又∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC．
（2）∵BD＝26，
∴CE＝BD＝13，
∴CF＝＝＝12，
∴AC＝2CF＝24．
19．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，
∴BC＝CA．
设AC为x，则OC＝9﹣x，
由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，
又∵OA＝9，OB＝3，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解方程得出x＝5．
∴机器人行走的路程BC是5cm．
20．解：（1）∵a2+b2+c2＝10a+24b+26c﹣338
∴a2﹣10a+b2﹣24b+c2﹣26c+338＝0
a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169＝0
（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2＝0（2分）
∴（a﹣5）2＝0，（b﹣12）2＝0，（c﹣13）2＝0
∴a＝5，b＝12，c＝13（3分）
∴a2+b2＝c2＝169
∴△ABC是直角三角形；（4分）
（2）△ABC最长边为c，
设c上的高为h．
S△ABC＝
＝×5×12
＝30，
又∵S△ABC＝＝30＝30，
∴h＝．（7分）
21．解：（1）∵AB＝2.5米，BO＝0.7米，
梯子距离地面的高度AO＝＝2.4（米）．
答：此时梯子顶端离地面2.4米；
（2）∵梯子下滑了0.4米，即梯子距离地面的高度CO＝（2.4﹣0.4）＝2米，
∴BD+BO＝DO＝＝1.5（米），
∴DB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），即下端滑行了0.8米．
答：梯子底端将向左滑动了0.8米．
22．解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，
∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，
由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝4，
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CE＝3；
（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P，
此时，PA+PE最小，最小值为AE'，
∵CD＝8，
∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，
在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'＝＝．
23．解：连接AE交BD于C，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
∵四边形BDEF是矩形，
BF＝DE＝1，EF＝BD＝8，
AF＝AB+BF＝5+1＝6，
AE＝＝10，
∴AC+CE的最小值是10；
（2）∵+＝+，
如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即+的最小值为13．
故代数式+的最小值为13．
24．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2＝ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+ab×4，
化简得：a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
化简得：a2+b2＝c2．
（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
故答案为3；
②结论：S1+S2＝S3．
∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，
∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，
∴a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．
（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；
②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．
故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．