有理数的运算综合测试卷(浙教版)
一、单选题
1.已知 ,则 的值是( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【知识点】有理数的加法;有理数的乘方;非负数之和为0
【解析】【解答】解:∵(a-1)2+|b+2|=0,
∴a-1=0,b+2=0,
∴a=1,b=-2,
∴(1-2)2022=1,
故答案为:B.
【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性,由两个非负数的和为0,则每一个数都为0可得a-1=0,b+2=0,求出a、b的值,然后根据有理数的加法以及乘方法则进行计算.
2. 的倒数除以4的相反数的商是( )
A.5 B.-5 C. D.
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数;有理数的倒数
【解析】【解答】 的倒数是 ,4的相反数是 4,
÷( 4)= × =
故答案为:C
【分析】利用倒数和相反数的定义及除法的计算方法列出算式 ÷( 4)求解即可。
3.下列计算:①(﹣ )2= ; ②﹣32=9; ③( )2= ;④﹣(﹣ )2= ;⑤(﹣2)2=﹣4,其中错误的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】∵(﹣ )2= ;﹣32=﹣9; ( )2= ;﹣(﹣ )2=﹣ ;(﹣2)2=4,
∴②③④⑤不符合题意,共4个,
故答案为:B.
【分析】先利用有理数的乘方化简,再判断即可。
4.若ac<0,,则有( )
A. B.b>0 C. D.b<0
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算;有理数的除法
【解析】【解答】因为ac<0即a与c异号,又因为即所以与b同号,即且ab可能为0.故答案选:C
【分析】要对有理数乘除法符号法则一致性有充分的认识.
5.给出以下几个判断,其中正确的是( )
①两个有理数之和大于其中任意一个加数;②减去一个负数,差一定大于被减数;③一个数的绝对值一定是正数;④若 ,则 .
A.①③ B.②④ C.①② D.②③④
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;有理数的加法;有理数的减法;有理数的乘法
【解析】【解答】解:∵ ,∴①错误;
∵减去一个负数,等于加上这个负数的相反数,肯定比被减数大,∴②正确;
∵ ,而0不是正数,∴③错误;
∵ ,∴ , ,即 ,∴④正确.
故答案为:B.
【分析】利用举特例的方法及有理数的加法法则即可判断①;根据有理数的加法法则即可判断②;利用举特例即可判断③;根据有理数的乘法法则及减法法则即可判断④.
6.丁丁做了4道计算题:①(-1)2022=2022;② ;③ ;④ ;请你帮他检查一下,他一共做对了( )道
A.1道 B.2道 C.3道 D.4道
【答案】A
【知识点】有理数的减法;有理数的加减混合运算;有理数的乘方;有理数的除法
【解析】【解答】解:∵(-1)2022=1,故①错误;
∵0 ( 1)=0+1=1,故②错误;
∵ ,故③错误;
∵ ,故④正确.
故丁丁一共做对了1道.
故答案为:A.
【分析】根据有理数的乘方法则可得(-1)2022=1,根据有理数的减法法则可得0-(-1)=1,根据有理数的加减法法则可得,根据有理数的除法法则可得,据此判断.
7.观察下列各式:-=-1+,-=-+-=- +,-=- +,按照上面的规律,计算式子- - - - … - 的值为( )
A.- B. C.2020 D.2021
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算;探索数与式的规律
【解析】【解答】解:原式,
,
,
,
,
故答案为:A.
【分析】根据已知式子进行拆项,再进行加减运算即可.
8.求 的值,可令 ①,①式两边都乘以3,则 ②,②-①得 ,则 仿照以上推理,计算出 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律;含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】解:令 ①,
①式两边同时乘以5,得 ②,
②-①得 ,即 .
故答案为:C.
【分析】仿照材料,设出S,再求出5S的值,两式相减求出4S的值,从而求出S即可.
9.为了求 的值,可令 ,则 ,因此 ,所以 .
请仿照以上推理计算出 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律;有理数的乘方
【解析】【解答】解:令
∴
∴
∴
∴
故答案为:D
【分析】仔细阅读题目中示例,找出其中规律,利用错位相减法求解.
10.观察下列各式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729…,那么3+32+33+…+32018+32019的个位数字是( )
A.9 B.3 C.2 D.0
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律;有理数的乘方
【解析】【解答】解:∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,…,
∴3n值的个位数,每4个一个循环,
∴3+32+33+…+32018+32019 的个位数相当于:
3+9+7+1+…+3+7+9=(3+9+7+1)×504+19=10080+19=10099,
∴末位数为9.
故答案为:A.
【分析】根据31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,推出3n值的个位数,每4个一个循环,进而3+32+33+…+302018+32019 的末位数相当于3+9+7+1+…+3+7+9的末位数,据此求值即可得出结果.
二、填空题
11.计算:(﹣1)2021= .
【答案】-1
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解:,
故答案为:-1.
【分析】利用有理数的乘方计算求解即可。
12.计算: .
【答案】-2012
【知识点】有理数的加减混合运算
【解析】【解答】∵ ,
,
,
即每四项结果为 ,
∵2012÷4=503,
∴
.
故答案为:-2012.
【分析】观察算式可知共2012个数,从第一个数开始4个数结合,且结果为-4,共得503个-4的和,利用乘法计算即得.
13.观察下列算式:21=2、22=4、23=8、24=16、25=32、26=64、27=128、28=256…,用你所发现的规律写出 的末位数字是 .
【答案】6
【知识点】探索数与式的规律;有理数的乘方
【解析】【解答】解: , , , , , , , ,
且2020÷4=505,
的末位数字是6.
故答案为:6.
【分析】个位数字的变化规律是2,4,8,6,四个一组依次循环,用2020除以4,余数为0,故 的末位数字与 的末尾数字相同,从而即可得出答案.
14.某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得,如:
,则6的所有正约数之和为 ;
,则12的所有正约数之和为
,则36的所有正约数之和为
参照上述方法,那么144的所有正约数之和为 .
【答案】403
【知识点】有理数的加法;有理数的乘方
【解析】【解答】 ,则144的所有正约数之和为
【分析】参照上述方法可得, ,然后类比后续方法求出正约数之和.
15.计算: = .
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算;有理数的巧算(奥数类)
【解析】【解答】原式= = =
= .
【分析】根据式子特点先提取因数,再根据分数的特点变为两个分数的差,求出式子的值.
16.观察下列等式: , , ,以上三个等式两边分别相加得: ,通过观察,用你发现的规律计算 = .
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】原式=
= = ,
故答案为: .
【分析】先把原式提出,即可转化为,利用题中的结论即可求出答案。
三、计算题
17.观察下列计算: , , , ,……,从计算结果中找规律,利用规律计算
(1)
(2)
【答案】解:
=
=
=
= ;
②
解:
=
=
=
=
=
=
= .
(1)解:
=
=
=
= ;
(2)
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】探索数与式的规律;有理数的加法
【解析】【分析】(1)先将式子中的各分母化为相邻两个数相乘的形式,利用题述中的规律变形后,依次抵消相加即可;
(2)先将式子中的各分母化为相隔两个数相乘的形式,仿照题述中的规律变形后,逆用乘法分配律后依次抵消相加即可.
四、解答题
18.已知 互为相反数,且 ,互为倒数, 的绝对值为6.求 的值.
【答案】解:∵ 互为相反数,且 ,互为倒数,
∴
∵ 的绝对值为6
∴
当 时,原式 ;
当 时,原式 ;
【知识点】相反数及有理数的相反数;绝对值及有理数的绝对值;有理数的倒数;代数式求值
【解析】【分析】根据题目可得出 , ,代入计算即可.
19.将2018减去它的 ,再减去余下的 ,再减去余下的 ……以此类推,直至减去余下的 ,最后的得数是多少?
【答案】解:根据题意,得2018×(1- )×(1- )×…×(1- )
=2018× × ×…× =1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【分析】先求出“2018减去它的 ”后所得的数为:2018×(1- ),求出“再减去余下的 ”后所得的数为:2018×(1- )×(1- ),求出“再减去余下的 “后所得的数为:2018×(1- )×(1- )(1- )……,据此规律可得“减去余下的 ”的数为:2018×(1- )×(1- )×…×(1- ) ,然后计算求值即可.
20.已知a,b,c为不等于0的有理数,求 的值.
【答案】解:分四种情况:①当a,b,c都为正数时, = =1+1+1=3;②当a,b,c中有两正一负时,不妨设a,b为正,c为负, = =1+1+(-1)=1;③当a,b,c中有一正两负时,不妨设a为正,b,c为负, = =1+(-1)+(-1)=-1;④当a,b,c都为负数时, = =(-1)+(-1)+(-1)=-3.综上所述, 的可能取值为±1或±3.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;代数式求值;有理数的除法
【解析】【分析】此题分类讨论:①当a,b,c都为正数时,根据正数的绝对值等于它本身,然后再根据有理数除法法则,相同两数相除商为1,最后根据有理数的加法法则算出答案;②当a,b,c中有两正一负时,不妨设a,b为正,c为负,根据正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值是它的相反数,去掉绝对值符号,然后再根据有理数除法法则,相同两数相除商为1,互为相反数的两个数相除等于-1,最后根据有理数的加法法则算出答案;③当a,b,c中有一正两负时,不妨设a为正,b,c为负,根据正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值是它的相反数,去掉绝对值符号,然后再根据有理数除法法则,相同两数相除商为1,互为相反数的两个数相除等于-1,最后根据有理数的加法法则算出答案;④当a,b,c都为负数时,根据负数的绝对值是它的相反数,去掉绝对值符号,然后再根据有理数除法法则,互为相反数的两个数相除等于-1,最后根据有理数的加法法则算出答案,综上所述即可得出答案。
21.【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把 (a≠0)记作a ,读作“a的圈 n次方”.
(1)【初步探究】
Ⅰ.直接写出计算结果:2③= ▲ ,(﹣ )⑤= ▲ ;
Ⅱ.关于除方,下列说法错误的是 ▲
A.任何非零数的圈2次方都等于1;
B.对于任何正整数n,1 =1;
C.3④=4③;
D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数.
(2)【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
Ⅰ.试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
(﹣3)④= ▲ ; 5⑥= ▲ ;(﹣ )⑩= ▲ .
Ⅱ.想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ;
Ⅲ.算一算:122÷(﹣ )④×(﹣2)⑤﹣(﹣ )⑥÷33.
【答案】(1)Ⅰ. ,-8;Ⅱ.C
(2)Ⅰ. (﹣3)× ,5× ,(﹣ )×
Ⅱ. a =a×
Ⅲ.解:122÷(﹣ )④×(﹣2)⑤﹣(﹣ )⑥÷33,
=144÷[(﹣ )×(﹣3)3]×[(﹣2)×(﹣ )4]﹣[(﹣ )×(﹣3)5]÷33,
=144÷9× ﹣(﹣3)4÷33,
=16×(﹣ )﹣3,
=﹣2﹣3,
=﹣5
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解:(1)【初步探究】Ⅰ.2③=2÷2÷2= ,
(﹣ )⑤=(﹣ )÷(﹣ )÷(﹣ )÷(﹣ )÷(﹣ )=1÷(﹣ )÷(﹣ )÷(﹣ )=(﹣2)÷(﹣ )÷(﹣ )=﹣8
故答案为: ,﹣8;
Ⅱ.A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除,所以都等于1;所以选项A正确;
B、因为多少个1相除都是1,所以对于任何正整数n,1 都等于1;所以选项B正确;
C、3④=3÷3÷3÷3= ,4③=4÷4÷4= ,则 3④≠4③; 所以选项C错误;
D、负数的圈奇数次方,相当于奇数个负数相除,则结果是负数,负数的圈偶数次方,相当于偶数个负数相除,则结果是正数.所以选项D正确;
本题选择说法错误的,
故答案为:C;
(2)【深入思考】Ⅰ.(﹣3)④=(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)=(﹣3)× ;
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5× ;
(﹣ )⑩=(﹣ )× ;
故答案为:(﹣3)× ;5× ;(﹣ )× ;
【分析】(1)根据所规定的a的圈n次方的定义,计算结果,进行判断即可。
(2)根据有理数乘方运算的法则,原来的底数作底数,指数的和或差作指数,将其应用到有理数的除方运算中即可。
22.阅读下列内容,并完成相关问题:
小明说:“我定义了一种新的运算,叫 (加乘)运算.”然后他写出了一些按照 (加乘)运算的运算法则进行运算的算式:
(+4) (+2)=+6;(﹣4) (﹣3)=+7;
(﹣5) (+3)=﹣8;(+6) (﹣7)=﹣13;
(+8) 0=8;0 (﹣9)=9.
小亮看了这些算式后说:“我知道你定义的 (加乘)运算的运算法则了.”
聪明的你也明白了吗?
(1)归纳 (加乘)运算的运算法则:
两数进行 (加乘)运算时, .
特别地,0和任何数进行 (加乘)运算,或任何数和0进行 (加乘)运算, .
(2)计算:[(﹣2) (+3)] [(﹣12) 0](括号的作用与它在有理数运算中的作用一致)
(3)我们知道加法有交换律和结合律,这两种运算律在有理数的 (加乘)运算中还适用吗?请你任选一个运算律,判断它在 (加乘)运算中是否适用,并举例验证.(举一个例子即可)”
【答案】(1)同号得正、异号得负,并把绝对值相加;都得这个数的绝对值
(2)解:原式=(﹣5) 12=﹣17
(3)解:加法的交换律仍然适用,
例如:(﹣3) (﹣5)=8,(﹣5) (﹣3)=8,
所以(﹣3) (﹣5)=(﹣5) (﹣3),
故加法的交换律仍然适用
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解:(1)归纳 (加乘)运算的运算法则:
两数进行 (加乘)运算时,同号得正、异号得负,并把绝对值相加.
特别地,0和任何数进行 (加乘)运算,或任何数和0进行 (加乘)运算,都得这个数的绝对值,
故答案为:同号得正、异号得负,并把绝对值相加;都得这个数的绝对值.
【分析】(1)观察按照新运算法则进行计算的式子,即可得出新的运算法则的内容。
(2)根据有理数运算法则中,先计算括号内的数值,随后根据运算法则求值即可。
(3)根据加法的交换律,交换加数的位置,最终的和不变,将新公式中前后两项调换位置,计算调整后的数值,即可得出加法交换律是否适用。有理数的运算综合测试卷(浙教版)
一、单选题
1.已知 ,则 的值是( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
2. 的倒数除以4的相反数的商是( )
A.5 B.-5 C. D.
3.下列计算:①(﹣ )2= ; ②﹣32=9; ③( )2= ;④﹣(﹣ )2= ;⑤(﹣2)2=﹣4,其中错误的有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4.若ac<0,,则有( )
A. B.b>0 C. D.b<0
5.给出以下几个判断,其中正确的是( )
①两个有理数之和大于其中任意一个加数;②减去一个负数,差一定大于被减数;③一个数的绝对值一定是正数;④若 ,则 .
A.①③ B.②④ C.①② D.②③④
6.丁丁做了4道计算题:①(-1)2022=2022;② ;③ ;④ ;请你帮他检查一下,他一共做对了( )道
A.1道 B.2道 C.3道 D.4道
7.观察下列各式:-=-1+,-=-+-=- +,-=- +,按照上面的规律,计算式子- - - - … - 的值为( )
A.- B. C.2020 D.2021
8.求 的值,可令 ①,①式两边都乘以3,则 ②,②-①得 ,则 仿照以上推理,计算出 的值为( )
A. B. C. D.
9.为了求 的值,可令 ,则 ,因此 ,所以 .
请仿照以上推理计算出 的值是( )
A. B. C. D.
10.观察下列各式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729…,那么3+32+33+…+32018+32019的个位数字是( )
A.9 B.3 C.2 D.0
二、填空题
11.计算:(﹣1)2021= .
12.计算: .
13.观察下列算式:21=2、22=4、23=8、24=16、25=32、26=64、27=128、28=256…,用你所发现的规律写出 的末位数字是 .
14.某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得,如:
,则6的所有正约数之和为 ;
,则12的所有正约数之和为
,则36的所有正约数之和为
参照上述方法,那么144的所有正约数之和为 .
15.计算: = .
16.观察下列等式: , , ,以上三个等式两边分别相加得: ,通过观察,用你发现的规律计算 = .
三、计算题
17.观察下列计算: , , , ,……,从计算结果中找规律,利用规律计算
(1)
(2)
四、解答题
18.已知 互为相反数,且 ,互为倒数, 的绝对值为6.求 的值.
19.将2018减去它的 ,再减去余下的 ,再减去余下的 ……以此类推,直至减去余下的 ,最后的得数是多少?
20.已知a,b,c为不等于0的有理数,求 的值.
21.【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作2③,读作“2的圈3次方”,(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)÷(﹣3)记作(﹣3)④,读作“﹣3的圈4次方”,一般地,把 (a≠0)记作a ,读作“a的圈 n次方”.
(1)【初步探究】
Ⅰ.直接写出计算结果:2③= ▲ ,(﹣ )⑤= ▲ ;
Ⅱ.关于除方,下列说法错误的是 ▲
A.任何非零数的圈2次方都等于1;
B.对于任何正整数n,1 =1;
C.3④=4③;
D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数.
(2)【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
Ⅰ.试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
(﹣3)④= ▲ ; 5⑥= ▲ ;(﹣ )⑩= ▲ .
Ⅱ.想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ;
Ⅲ.算一算:122÷(﹣ )④×(﹣2)⑤﹣(﹣ )⑥÷33.
22.阅读下列内容,并完成相关问题:
小明说:“我定义了一种新的运算,叫 (加乘)运算.”然后他写出了一些按照 (加乘)运算的运算法则进行运算的算式:
(+4) (+2)=+6;(﹣4) (﹣3)=+7;
(﹣5) (+3)=﹣8;(+6) (﹣7)=﹣13;
(+8) 0=8;0 (﹣9)=9.
小亮看了这些算式后说:“我知道你定义的 (加乘)运算的运算法则了.”
聪明的你也明白了吗?
(1)归纳 (加乘)运算的运算法则:
两数进行 (加乘)运算时, .
特别地,0和任何数进行 (加乘)运算,或任何数和0进行 (加乘)运算, .
(2)计算:[(﹣2) (+3)] [(﹣12) 0](括号的作用与它在有理数运算中的作用一致)
(3)我们知道加法有交换律和结合律,这两种运算律在有理数的 (加乘)运算中还适用吗?请你任选一个运算律,判断它在 (加乘)运算中是否适用,并举例验证.(举一个例子即可)”