有理数的运算综合测试卷（浙教版）
一、单选题
1．已知 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（a－1）2＋｜b＋2｜＝0，
∴a－1＝0，b＋2＝0，
∴a＝1，b＝－2，
∴（1－2）2022＝1，
故答案为：B.
【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0可得a-1＝0，b+2＝0，求出a、b的值，然后根据有理数的加法以及乘方法则进行计算.
2． 的倒数除以4的相反数的商是( )
A．5 B．-5 C． D．
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】 的倒数是 ，4的相反数是 4，
÷( 4)= × =
故答案为：C
【分析】利用倒数和相反数的定义及除法的计算方法列出算式 ÷( 4)求解即可。
3．下列计算：①（﹣ ）2＝ ； ②﹣32＝9； ③（ ）2＝ ；④﹣（﹣ ）2＝ ；⑤（﹣2）2＝﹣4，其中错误的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】∵（﹣ ）2＝ ；﹣32＝﹣9； （ ）2＝ ；﹣（﹣ ）2＝﹣ ；（﹣2）2＝4，
∴②③④⑤不符合题意，共4个，
故答案为：B．
【分析】先利用有理数的乘方化简，再判断即可。
4．若ac<0，,则有（ ）
A． B．b>0 C． D．b<0
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；有理数的除法
【解析】【解答】因为ac<0即a与c异号，又因为即所以与b同号，即且ab可能为0．故答案选：C
【分析】要对有理数乘除法符号法则一致性有充分的认识．
5．给出以下几个判断，其中正确的是（ ）
①两个有理数之和大于其中任意一个加数；②减去一个负数，差一定大于被减数；③一个数的绝对值一定是正数；④若 ，则 .
A．①③ B．②④ C．①② D．②③④
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法
【解析】【解答】解：∵ ，∴①错误；
∵减去一个负数，等于加上这个负数的相反数，肯定比被减数大，∴②正确；
∵ ，而0不是正数，∴③错误；
∵ ，∴ ， ，即 ，∴④正确.
故答案为：B.
【分析】利用举特例的方法及有理数的加法法则即可判断①；根据有理数的加法法则即可判断②；利用举特例即可判断③；根据有理数的乘法法则及减法法则即可判断④.
6．丁丁做了4道计算题：①(-1)2022=2022；② ；③ ；④ ；请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）道
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【答案】A
【知识点】有理数的减法；有理数的加减混合运算；有理数的乘方；有理数的除法
【解析】【解答】解：∵(-1)2022＝1，故①错误；
∵0 （ 1）＝0＋1＝1，故②错误；
∵ ，故③错误；
∵ ，故④正确.
故丁丁一共做对了1道.
故答案为：A.
【分析】根据有理数的乘方法则可得(-1)2022=1，根据有理数的减法法则可得0-(-1)=1，根据有理数的加减法法则可得，根据有理数的除法法则可得，据此判断.
7．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（ ）
A．- B． C．2020 D．2021
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据已知式子进行拆项，再进行加减运算即可.
8．求 的值，可令 ①，①式两边都乘以3，则 ②，②-①得 ，则 仿照以上推理，计算出 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】解：令 ①，
①式两边同时乘以5，得 ②，
②-①得 ，即 .
故答案为：C.
【分析】仿照材料，设出S，再求出5S的值，两式相减求出4S的值，从而求出S即可.
9．为了求 的值，可令 ，则 ，因此 ，所以 .
请仿照以上推理计算出 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方
【解析】【解答】解：令
∴
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】仔细阅读题目中示例，找出其中规律，利用错位相减法求解.
10．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…，那么3+32+33+…+32018+32019的个位数字是( )
A．9 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，
∴3n值的个位数，每4个一个循环，
∴3+32+33+…+32018+32019 的个位数相当于：
3+9+7+1+…+3+7+9=(3+9+7+1)×504+19=10080+19=10099，
∴末位数为9.
故答案为：A.
【分析】根据31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，推出3n值的个位数，每4个一个循环，进而3+32+33+…+302018+32019 的末位数相当于3+9+7+1+…+3+7+9的末位数，据此求值即可得出结果.
二、填空题
11．计算：（﹣1）2021＝ ．
【答案】-1
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：，
故答案为：-1．
【分析】利用有理数的乘方计算求解即可。
12．计算： ．
【答案】-2012
【知识点】有理数的加减混合运算
【解析】【解答】∵ ，
，
，
即每四项结果为 ，
∵2012÷4=503，
∴
．
故答案为：-2012．
【分析】观察算式可知共2012个数，从第一个数开始4个数结合，且结果为-4，共得503个-4的和，利用乘法计算即得.
13．观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、25＝32、26＝64、27＝128、28＝256…，用你所发现的规律写出 的末位数字是 ．
【答案】6
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方
【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ，
且2020÷4=505，
的末位数字是6．
故答案为：6．
【分析】个位数字的变化规律是2，4，8，6，四个一组依次循环，用2020除以4，余数为0，故 的末位数字与 的末尾数字相同，从而即可得出答案．
14．某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
，则6的所有正约数之和为 ；
，则12的所有正约数之和为
，则36的所有正约数之和为
参照上述方法，那么144的所有正约数之和为 .
【答案】403
【知识点】有理数的加法；有理数的乘方
【解析】【解答】 ,则144的所有正约数之和为
【分析】参照上述方法可得， ，然后类比后续方法求出正约数之和.
15．计算： = ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】原式= = =
= .
【分析】根据式子特点先提取因数，再根据分数的特点变为两个分数的差，求出式子的值.
16．观察下列等式： ， ， ，以上三个等式两边分别相加得： ，通过观察，用你发现的规律计算 = ．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】原式=
= = ，
故答案为： .
【分析】先把原式提出，即可转化为,利用题中的结论即可求出答案。
三、计算题
17．观察下列计算： , , , ,……，从计算结果中找规律，利用规律计算
（1）
（2）
【答案】解：
=
=
=
= ；
②
解：
=
=
=
=
=
=
= .
（1）解：
=
=
=
= ；
（2）
=
=
=
=
=
=
= .
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法
【解析】【分析】（1）先将式子中的各分母化为相邻两个数相乘的形式，利用题述中的规律变形后，依次抵消相加即可；
（2）先将式子中的各分母化为相隔两个数相乘的形式，仿照题述中的规律变形后，逆用乘法分配律后依次抵消相加即可.
四、解答题
18．已知 互为相反数，且 ，互为倒数， 的绝对值为6.求 的值.
【答案】解：∵ 互为相反数，且 ，互为倒数，
∴
∵ 的绝对值为6
∴
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；代数式求值
【解析】【分析】根据题目可得出 ， ，代入计算即可.
19．将2018减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，直至减去余下的 ，最后的得数是多少？
【答案】解：根据题意，得2018×(1－ )×(1－ )×…×(1－ )
=2018× × ×…× =1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【分析】先求出“2018减去它的 ”后所得的数为：2018×(1－ )，求出“再减去余下的 ”后所得的数为：2018×(1－ )×(1－ )，求出“再减去余下的 “后所得的数为：2018×(1－ )×(1－ )(1－ )……，据此规律可得“减去余下的 ”的数为：2018×(1－ )×(1－ )×…×(1－ ) ，然后计算求值即可.
20．已知a，b，c为不等于0的有理数，求 的值．
【答案】解：分四种情况：①当a，b，c都为正数时， ＝ ＝1＋1＋1＝3；②当a，b，c中有两正一负时，不妨设a，b为正，c为负， ＝ ＝1＋1＋(－1)＝1；③当a，b，c中有一正两负时，不妨设a为正，b，c为负， ＝ ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1；④当a，b，c都为负数时， ＝ ＝(－1)＋(－1)＋(－1)＝－3.综上所述， 的可能取值为±1或±3.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；代数式求值；有理数的除法
【解析】【分析】此题分类讨论：①当a，b，c都为正数时，根据正数的绝对值等于它本身，然后再根据有理数除法法则，相同两数相除商为1，最后根据有理数的加法法则算出答案；②当a，b，c中有两正一负时，不妨设a，b为正，c为负，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，然后再根据有理数除法法则，相同两数相除商为1，互为相反数的两个数相除等于-1，最后根据有理数的加法法则算出答案；③当a，b，c中有一正两负时，不妨设a为正，b，c为负，根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，然后再根据有理数除法法则，相同两数相除商为1，互为相反数的两个数相除等于-1，最后根据有理数的加法法则算出答案；④当a，b，c都为负数时，根据负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，然后再根据有理数除法法则，互为相反数的两个数相除等于-1，最后根据有理数的加法法则算出答案，综上所述即可得出答案。
21．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作a ，读作“a的圈 n次方”．
（1）【初步探究】
Ⅰ.直接写出计算结果：2③= ▲ ，（﹣ ）⑤= ▲ ；
Ⅱ.关于除方，下列说法错误的是 ▲
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1 =1；
C.3④=4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④= ▲ ； 5⑥= ▲ ；（﹣ ）⑩= ▲ ．
Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
Ⅲ.算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
【答案】（1）Ⅰ. ，-8；Ⅱ.C
（2）Ⅰ. （﹣3）× ，5× ，（﹣ ）×
Ⅱ. a =a×
Ⅲ.解：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33，
=144÷[（﹣ ）×（﹣3）3]×[（﹣2）×（﹣ ）4]﹣[（﹣ ）×（﹣3）5]÷33，
=144÷9× ﹣（﹣3）4÷33，
=16×（﹣ ）﹣3，
=﹣2﹣3，
=﹣5
【知识点】有理数的乘方
【解析】【解答】解：（1）【初步探究】Ⅰ.2③=2÷2÷2= ，
（﹣ ）⑤=（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=1÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=（﹣2）÷（﹣ ）÷（﹣ ）=﹣8
故答案为： ，﹣8；
Ⅱ.A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1；所以选项B正确；
C、3④=3÷3÷3÷3= ，4③=4÷4÷4= ，则 3④≠4③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，
故答案为：C；
（2）【深入思考】Ⅰ.（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=（﹣3）× ；
5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5× ；
（﹣ ）⑩=（﹣ ）× ；
故答案为：（﹣3）× ；5× ；（﹣ ）× ；
【分析】（1）根据所规定的a的圈n次方的定义，计算结果，进行判断即可。
（2）根据有理数乘方运算的法则，原来的底数作底数，指数的和或差作指数，将其应用到有理数的除方运算中即可。
22．阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算， ．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
【答案】（1）同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值
（2）解：原式=（﹣5） 12=﹣17
（3）解：加法的交换律仍然适用，
例如：（﹣3） （﹣5）=8，（﹣5） （﹣3）=8，
所以（﹣3） （﹣5）=（﹣5） （﹣3），
故加法的交换律仍然适用
【知识点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解：（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算，都得这个数的绝对值，
故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．
【分析】（1）观察按照新运算法则进行计算的式子，即可得出新的运算法则的内容。
（2）根据有理数运算法则中，先计算括号内的数值，随后根据运算法则求值即可。
（3）根据加法的交换律，交换加数的位置，最终的和不变，将新公式中前后两项调换位置，计算调整后的数值，即可得出加法交换律是否适用。有理数的运算综合测试卷（浙教版）
一、单选题
1．已知 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
2． 的倒数除以4的相反数的商是( )
A．5 B．-5 C． D．
3．下列计算：①（﹣ ）2＝ ； ②﹣32＝9； ③（ ）2＝ ；④﹣（﹣ ）2＝ ；⑤（﹣2）2＝﹣4，其中错误的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．若ac<0，,则有（ ）
A． B．b>0 C． D．b<0
5．给出以下几个判断，其中正确的是（ ）
①两个有理数之和大于其中任意一个加数；②减去一个负数，差一定大于被减数；③一个数的绝对值一定是正数；④若 ，则 .
A．①③ B．②④ C．①② D．②③④
6．丁丁做了4道计算题：①(-1)2022=2022；② ；③ ；④ ；请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）道
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
7．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（ ）
A．- B． C．2020 D．2021
8．求 的值，可令 ①，①式两边都乘以3，则 ②，②-①得 ，则 仿照以上推理，计算出 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．为了求 的值，可令 ，则 ，因此 ，所以 .
请仿照以上推理计算出 的值是（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729…，那么3+32+33+…+32018+32019的个位数字是( )
A．9 B．3 C．2 D．0
二、填空题
11．计算：（﹣1）2021＝ ．
12．计算： ．
13．观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、25＝32、26＝64、27＝128、28＝256…，用你所发现的规律写出 的末位数字是 ．
14．某些整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
，则6的所有正约数之和为 ；
，则12的所有正约数之和为
，则36的所有正约数之和为
参照上述方法，那么144的所有正约数之和为 .
15．计算： = ．
16．观察下列等式： ， ， ，以上三个等式两边分别相加得： ，通过观察，用你发现的规律计算 = ．
三、计算题
17．观察下列计算： , , , ,……，从计算结果中找规律，利用规律计算
（1）
（2）
四、解答题
18．已知 互为相反数，且 ，互为倒数， 的绝对值为6.求 的值.
19．将2018减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……以此类推，直至减去余下的 ，最后的得数是多少？
20．已知a，b，c为不等于0的有理数，求 的值．
21．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作a ，读作“a的圈 n次方”．
（1）【初步探究】
Ⅰ.直接写出计算结果：2③= ▲ ，（﹣ ）⑤= ▲ ；
Ⅱ.关于除方，下列说法错误的是 ▲
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1 =1；
C.3④=4③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（2）【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）④= ▲ ； 5⑥= ▲ ；（﹣ ）⑩= ▲ ．
Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
Ⅲ.算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣ ）⑥÷33．
22．阅读下列内容，并完成相关问题：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 （加乘）运算．”然后他写出了一些按照 （加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+4） （+2）=+6；（﹣4） （﹣3）=+7；
（﹣5） （+3）=﹣8；（+6） （﹣7）=﹣13；
（+8） 0=8；0 （﹣9）=9．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 （加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）归纳 （加乘）运算的运算法则：
两数进行 （加乘）运算时， ．
特别地，0和任何数进行 （加乘）运算，或任何数和0进行 （加乘）运算， ．
（2）计算：[（﹣2） （+3）] [（﹣12） 0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）
（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 （加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在 （加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”
