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3.3垂径定理参考答案
一、知识回顾：
1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的弧。
垂径定理的逆定理：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
2、垂径定理的实际应用：(1)求弦长；(2)求弦心距；(3)求半径或直径；(4)求弓高。计算的主要思路是在由半径、弦心距和半弦组成的直角三角形中运用勾股定理。即:半弦2+弦心距2=半径2
3、利用垂径定理及逆定理的方法：(1)平分弦；(2）垂直弦；(3)直径；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的优弧；五个条件中只要满足其中任意两个，另外三个即成立。（知二推三）
4、应用垂径定理和逆定理的常用辅助线作法:(1)作直径或半径.(2)作弦心距.(3)连结圆心与弧或弦的中点。
二、典型例题
A组 基础训练
例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
变式1、如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【解答】解：如图，
连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12cm，
∴OD＝OA＝OC＝6，
∵OE：OC＝1：3，
∴OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，
在Rt△OAE中，AE＝＝＝4，
∴AB＝2AE＝8cm．
故选：D．
变式2、如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（ ）
A．5米 B．7米 C．米 D．米
【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，
由垂径定理得AD＝5米，
设圆的半径为r，
由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，
即（7﹣r）2+52＝r2，
解得r＝米．
故选：D．
例2、如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝，那么BC＝（ ）
A．3 B． C． D．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，OM过O，ON过O，
∴AN＝CN，AM＝BM，
∴BC＝2MN，
∵MN＝，
∴BC＝2，
故选：C．
变式、如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵OC⊥AP，
∴AC＝CP，
∵OD⊥PB，
∴BD＝DP，
∴CD＝AB＝5，
故选：C．
例3、某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BDAB16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
变式、在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．求油的最大深度；
【解答】解：过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA，
∴AFAB＝300mm，
∵直径MN＝1000mm
∴OA＝500mm
由勾股定理得，OF400mm，
则GF＝OG﹣OF＝100mm；
B组 提升训练
例1、已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
变式、如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．6 C．8 D．8
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝16，
∴BM＝DN＝8，
∴OM＝ON＝＝6，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝＝6．
故选：B．
例2、在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，EF＝1dm，AB＝6dm，CD＝8dm，设圆的半径为r，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴CE＝DE＝4dm，AF＝BF＝3dm，
在Rt△OCE和△OAF中，
根据勾股定理得：OE＝＝，OF＝＝，
∴OE﹣OF＝1，即﹣＝1，
＝+1，
两边平方得，r2﹣9＝r2﹣16+2+1，
＝3，
两边平方得，r2﹣16＝9，
r2＝25，
解得：r＝5，
则圆柱形油槽直径MN为10dm．
故选：C．
变式、在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？（10mm）
例3、如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．3
【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：
∵O为圆心，
∴AE＝BE，
∴OE＝BC，
∵OE≤OP，
∴BC≤2OP，
∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，
最大值为2OP＝2．
故选：A．
变式、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【解答】解：连接OB，如图所示：
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝3，
由勾股定理得，OC＝＝＝4，
当OD⊥AB时，点D到AB的距离的最小，
由勾股定理得，OD＝＝，
∴点D到AB的距离的最小值为：4﹣，
故答案为：4﹣．
例4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
B．2 C．2 D．8
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝＝，
∴CD＝2CH＝2．
故选：C．
变式、如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
例5、已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为 ．
【解答】解：有两种情况．如图．过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E．
∴EF就是AB、CD间的距离．
∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm，
∵OD＝OB＝26cm，
∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中，
∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理），
∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm．
故答案为：34或14cm．
变式、如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：由垂径定理得，该弦应该是以OA为中垂线的弦BC．
连接OB．
已知OB＝5，OA＝3，由勾股定理得AB＝4．
所以弦BC＝8．
故选：C．
例6、如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD
（1）求证：点E是OB的中点；
（2）若AB＝12，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接AC．
∵AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，
在△ACE和△ADE中，
，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴AC＝AD，
同理：CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC
而OB＝OC，
∴OE＝OB．
故E是OB的中点．
（2）解：∵AB＝12，
∴OC＝6，
∴OE＝OC＝3，
在Rt△OCE中，
CE＝＝＝3，
∴CD＝2CE＝6．
变式、已知，如图等边三角形ABC和正方形BDEC的边长均为2，⊙O经过点A，D，E三点．
求：⊙O的半径．
【解答】解：如图，作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF＝30°，
∴AF＝AB cos30°＝2×．
∴OH＝AF+FH﹣OA＝+2﹣r．
在Rt△ODH中，OH2+DH2＝OD2．
∴（2+﹣r）2+12＝r2．
解得r＝2．
∴该圆的半径长为2．
例7、如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．
（1）求这座拱桥所在圆的半径．
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
【解答】解：（1）连接OA，
根据题意得：CD＝4米，AB＝12米，
则AD＝AB＝6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，
则OA＝OC＝x米，OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）米，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
则x2＝（x﹣4）2+62，
解得：x＝6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5米．
（2）货船不能顺利通过这座拱桥．理由：
连接OM，
设MN＝5米，
∵OC⊥MN，
∴MH＝MN＝2.5（米），
在Rt△OMH中，OH＝＝6（米），
∵OD＝OC﹣CD＝6.5﹣4＝2.5（米）
∵OH﹣OD＝6﹣2.5＝3.5（米）＜3.6米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
变式、某工厂准备翻建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱型曲线．已知厂门的最大宽度AB＝12m，最大高度OC＝4m，工厂的特种运输卡车的高度是3m，宽度是5.8m．现设计了两种方案：方案一：建成抛物线形状；方案二：建成圆弧形状（如图）．为确保工厂的特种卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由．
【解答】（1）第一方案：设抛物线的表达式是y＝a（x+6）（x﹣6）
因C（0，4）在抛物线的图象上，代入表达式，
得a＝﹣．
故抛物线的表达式是y＝﹣x2+4．
把第一象限的点（t，3）代入函数
得3＝﹣t2+4
∴t＝3
∴当高度是3m时，最大宽度是6m．
（2）第二方案：由垂径定理得：圆心O′在y轴上（原点的下方）
设圆的半径是R，那么在RT△OAO′中，由的勾股定理得：62+（R﹣4）2＝R2
解得R＝6.5
当高度是3m时，最大宽度＝2＝4≈6.9m
根据上面的计算得：为了工厂的特种卡车通过厂门更安全，所以采用第二种方案更合理．
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3.3垂径定理
一、知识回顾：
1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的弧。
垂径定理的逆定理：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
2、垂径定理的实际应用：(1)求弦长；(2)求弦心距；(3)求半径或直径；(4)求弓高。计算的主要思路是在由半径、弦心距和半弦组成的直角三角形中运用勾股定理。即:半弦2+弦心距2=半径2
3、利用垂径定理及逆定理的方法：(1)平分弦；(2）垂直弦；(3)直径；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的优弧；五个条件中只要满足其中任意两个，另外三个即成立。（知二推三）
4、应用垂径定理和逆定理的常用辅助线作法:(1)作直径或半径.(2)作弦心距.(3)连结圆心与弧或弦的中点。
二、典型例题
A组 基础训练
例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．6
变式1、如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
变式2、如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（ ）
A．5米 B．7米 C．米 D．米
例2、如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝，那么BC＝（ ）
A．3 B． C． D．
变式、如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3、某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
变式、在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．求油的最大深度；
B组 提升训练
例1、已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
变式、如图，在半径为10的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）
A．6 B．6 C．8 D．8
例2、在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6dm，如果再注入一些油后，油面AB上升ldm，油面宽为8dm，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．6dm B．8dm C．10dm D．12dm
变式、在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米．如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？（10mm）
例3、如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．3
变式、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
例4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
B．2 C．2 D．8
变式、如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
例5、已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为 ．
变式、如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
例6、如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD
（1）求证：点E是OB的中点；
（2）若AB＝12，求CD的长．
变式、已知，如图等边三角形ABC和正方形BDEC的边长均为2，⊙O经过点A，D，E三点．求：⊙O的半径．
例7、如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．
（1）求这座拱桥所在圆的半径．
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
变式、某工厂准备翻建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱型曲线．已知厂门的最大宽度AB＝12m，最大高度OC＝4m，工厂的特种运输卡车的高度是3m，宽度是5.8m．现设计了两种方案：方案一：建成抛物线形状；方案二：建成圆弧形状（如图）．为确保工厂的特种卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由．
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