初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形（2）同步练习
一、单选题
1．（2018八上·武邑月考）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C= ∠A
C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90°
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C=180°,解得∠C=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵∠B=∠C= ∠A，
∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°,解得x=45°，
∴∠A=2x=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵∠A=90° ∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A-∠B=90°，
∴∠A=∠B+90°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意.
故答案为D.
【分析】根据直角三角形的性质结合三角形内角和为180°可得出结论
2．（2018八上·汉滨期中）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得
x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，
∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，
即这个三角形是直角三角形，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的度数之比可求出三个内角的度数，再根据度数判定出三角形的形状即可。
3．（2018八上·裕安期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝2∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝2∠C
【答案】B
【知识点】三角形相关概念；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A：∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，故A是直角三角形；
B：∠A=∠B=2∠C，即5∠C=180°，则∠C=36°，∠A=∠B=72°，故B不是直角三角形；
C：∠A：∠B：∠C=1：2：3即∠C= ，故C是直角三角形；
D：∠A=2∠B=2∠C，即∠B+∠C=∠A，2∠A=180°，则∠A=90° ，故D是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】结合直角三角形的判定定理，进行判断即可得到答案。
4．（2019八上·保山月考）在△ABC中， ，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C,
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
【分析】根据三角形内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，并结合已知可求出∠A度数，据此判断即可.
5．（2019八上·潮安期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°-20°-70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理可知，第三个角的度数为90°，即可判断三角形为直角三角形。
6．（2019八上·绿园期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答即可．
7．（2018八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，BD=CD， AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若AB=5，则DE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ BD=CD， AD⊥BC
∴AD垂直平分BC，∠ADC=90°
∴AB=AC=5
在Rt△ADC中，点E是AC的中点
∴DE=AC=×5=2.5
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线上点到线段两端点的距离相等，可证得AB=AC，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出DE的长。
8．（2018八上·龙湖期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三条高的交点恰好为三角形的顶点
∴该三角形为直角三角形
故答案为：C。
【分析】根据直角三角形的性质即可进行判断：如果一个三角形的三条高的交点在三角形的一个顶点处，则此三角形为直角三角形，即可得出正确答案。
9．（2019八下·慈溪期末）△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】A、设∠C=x, 则∠A=3x, ∠B=x, 则x+3x+x=180°， 解得x=，最大角∠A=≠90°，不符合题意；
B、当∠C=72°，∠B=36°，则∠A=72°，不是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A=3k, ∠B=4k, ∠C=5k, 则3k+4k+5k=12k=180°，k=15°，∴最大角∠C=5×15°=75°，不符合题意；
D、 ∠A+∠B＝∠C ，则∠C为最大角，∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，则∠C=90°；
故答案为：D.
【分析】根据选项的条件，结合三角形内角和定理分别求出最大角，即可判断是否是直角三角形；也可列举反例而否定选项。
二、填空题
10．（2019八上·富阳月考）如图，AE是 的角平分线， 于点D，若 ， ， 度
【答案】10°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，
所以∠EAC=128°÷2=64°，
因为∠C=36°，AD⊥BC于点D，
所以∠ADC=90°，
所以∠DAC=90°-36°=54°，
所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=64°-54°=10°.
故答案为：10°.
【分析】根据角平分线的定义得出∠EAC=64°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠DAC=54°，进而根据角的和差，由∠DAE=∠EAC-∠DAC即可算出答案.
11．（2019八上·天台月考）如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=15°，AB=2，作AC的垂直平分线交AC，BC于点E，D，则BD的长度为 ．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD，
∵DE为AC的垂直平分线，
∴∠DAC=∠DCA=15°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-15°=90°，
∠BDA=2∠C=30°，
∴BD=2AB=4.
【分析】由垂直平分线的性质求出∠DAC的度数，进而求出∠BAD的度数，再由三角形的外角的性质求出∠BDA的度数，最后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长.
12．（2019八下·北京期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°.CD为AB边上的中线，若∠A=α，则∠BCD的度数为 (用含α的代数式表示).
【答案】90° α
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∠B＝90° ∠A＝90° α，
∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CD＝ AB＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝90° α，
故答案为：90° α．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝ AB＝BD，根据等腰三角形的性质解答即可．
三、解答题
13．（2020八上·襄城期末）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
【答案】解：如图：已知： 平分 ，且 ，
求证： 是直角三角形.
证明：∵ ，
∴ .
同理 .
∵ ，
即 ，
∴ ，
即： ，
∴ 是直角三角形.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先画出图形，写出已知和求证，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠1，∠2=∠B，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠B+∠A+∠1=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可证得△ABC是直角三角形.
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形（2）同步练习
一、单选题
1．（2018八上·武邑月考）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C= ∠A
C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90°
2．（2018八上·汉滨期中）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
3．（2018八上·裕安期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝2∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝2∠C
4．（2019八上·保山月考）在△ABC中， ，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定
5．（2019八上·潮安期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
6．（2019八上·绿园期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
7．（2018八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，BD=CD， AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若AB=5，则DE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．（2018八上·龙湖期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
9．（2019八下·慈溪期末）△ABC的内角分别为∠A，∠B，∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠C＝2∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C
二、填空题
10．（2019八上·富阳月考）如图，AE是 的角平分线， 于点D，若 ， ， 度
11．（2019八上·天台月考）如图，在△ABC中，∠A=105°，∠C=15°，AB=2，作AC的垂直平分线交AC，BC于点E，D，则BD的长度为 ．
12．（2019八下·北京期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°.CD为AB边上的中线，若∠A=α，则∠BCD的度数为 (用含α的代数式表示).
三、解答题
13．（2020八上·襄城期末）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C=180°,解得∠C=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵∠B=∠C= ∠A，
∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+x+2x=180°,解得x=45°，
∴∠A=2x=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵∠A=90° ∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A-∠B=90°，
∴∠A=∠B+90°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意.
故答案为D.
【分析】根据直角三角形的性质结合三角形内角和为180°可得出结论
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得
x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，
∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，
即这个三角形是直角三角形，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的度数之比可求出三个内角的度数，再根据度数判定出三角形的形状即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形相关概念；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A：∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，故A是直角三角形；
B：∠A=∠B=2∠C，即5∠C=180°，则∠C=36°，∠A=∠B=72°，故B不是直角三角形；
C：∠A：∠B：∠C=1：2：3即∠C= ，故C是直角三角形；
D：∠A=2∠B=2∠C，即∠B+∠C=∠A，2∠A=180°，则∠A=90° ，故D是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】结合直角三角形的判定定理，进行判断即可得到答案。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C,
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
【分析】根据三角形内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，并结合已知可求出∠A度数，据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°-20°-70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理可知，第三个角的度数为90°，即可判断三角形为直角三角形。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答即可．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ BD=CD， AD⊥BC
∴AD垂直平分BC，∠ADC=90°
∴AB=AC=5
在Rt△ADC中，点E是AC的中点
∴DE=AC=×5=2.5
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线上点到线段两端点的距离相等，可证得AB=AC，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出DE的长。
8．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形三条高的交点恰好为三角形的顶点
∴该三角形为直角三角形
故答案为：C。
【分析】根据直角三角形的性质即可进行判断：如果一个三角形的三条高的交点在三角形的一个顶点处，则此三角形为直角三角形，即可得出正确答案。
9．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】A、设∠C=x, 则∠A=3x, ∠B=x, 则x+3x+x=180°， 解得x=，最大角∠A=≠90°，不符合题意；
B、当∠C=72°，∠B=36°，则∠A=72°，不是直角三角形，不符合题意；
C、设∠A=3k, ∠B=4k, ∠C=5k, 则3k+4k+5k=12k=180°，k=15°，∴最大角∠C=5×15°=75°，不符合题意；
D、 ∠A+∠B＝∠C ，则∠C为最大角，∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，则∠C=90°；
故答案为：D.
【分析】根据选项的条件，结合三角形内角和定理分别求出最大角，即可判断是否是直角三角形；也可列举反例而否定选项。
10．【答案】10°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AE是△ABC的角平分线，∠BAC=128°，
所以∠EAC=128°÷2=64°，
因为∠C=36°，AD⊥BC于点D，
所以∠ADC=90°，
所以∠DAC=90°-36°=54°，
所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=64°-54°=10°.
故答案为：10°.
【分析】根据角平分线的定义得出∠EAC=64°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠DAC=54°，进而根据角的和差，由∠DAE=∠EAC-∠DAC即可算出答案.
11．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD，
∵DE为AC的垂直平分线，
∴∠DAC=∠DCA=15°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-15°=90°，
∠BDA=2∠C=30°，
∴BD=2AB=4.
【分析】由垂直平分线的性质求出∠DAC的度数，进而求出∠BAD的度数，再由三角形的外角的性质求出∠BDA的度数，最后根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长.
12．【答案】90° α
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∠B＝90° ∠A＝90° α，
∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CD＝ AB＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝90° α，
故答案为：90° α．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝ AB＝BD，根据等腰三角形的性质解答即可．
13．【答案】解：如图：已知： 平分 ，且 ，
求证： 是直角三角形.
证明：∵ ，
∴ .
同理 .
∵ ，
即 ，
∴ ，
即： ，
∴ 是直角三角形.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先画出图形，写出已知和求证，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠1，∠2=∠B，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠B+∠A+∠1=180°，代入即可求出∠1+∠2=90°，即可证得△ABC是直角三角形.
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