第1章《三角形的初步认识》单元测试卷（含解析）

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浙教版2022年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．以上都有可能
2．如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
3．木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为12cm和5cm，则不能作为第三根木条的长度为（　　）
A．6cm B．9cm C．13cm D．16cm
4．下列说法中正确的是（　　）
A．三角形的三条中线必交于一点
B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部
D．三角形的高线都在三角形的内部
5．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为（　　）度．
A．45 B．60 C．75 D．105
6．下列尺规作图的语句正确的是（　　）
A．延长射线AB到D
B．以点D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3cm
D．延长线段AB至C，使AC＝BC
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．直角三角形的两角互余
8．如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，则添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
9．如图所示，△ABC≌△AEF，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．∠EAB＝∠FAC B．BC＝EF
C．∠BAC＝∠CAF D．CA 平分∠BCF
10．有下列说法，其中正确的有（　　）
①只有两个三角形才能完全重合；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个正方形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 　 　．
12．如图，△ABD≌△ACE，且点E在BD上，∠CAB＝40°，则∠DEC＝　 　．
13．如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为 　 　．
14．如图所示，在△ABC中，∠A＝70°，内角∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点E，则∠E＝　 　．
15．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．（7分）已知a，b，c分别是三角形的三条边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|．
17．（7分）如图，CD交BF于点E，以点D为顶点，射线DC为一边，利用尺规作图法在DC的右侧作∠CDG，使∠CDG＝∠B．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（8分）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，△ADF≌△BCE，∠B＝33°，∠F＝27°，BC＝5cm，CD＝2cm．求：
（1）∠1的度数．
（2）AC的长．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝20，AF＝8，求BE的长．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
求证：（1）CF＝EB；
（2）AF+EB＝AE．
22．（10分）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息：
①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD＝∠DAC．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（只要填写序号），并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
23．（12分）（1）如图（1）所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC＝90°+∠A；
（2）如图（2）所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC＝A；
（3）如閔（3）所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：已知一内角为36°的三角形，由于36°＜90°，所以该三角形的另一内角可以为大于等于90°的角，也可以是小于90°的角，则该三角形既可以为钝角三角形、直角三角形也可以为锐角三角形．
故选：D．
2．【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：D．
3．【解答】解：由三角形的三边关系得：12﹣5＜x＜12+5，
即7＜x＜17，
∴只有6cm不适合．
故选：A．
4．【解答】解：A、三角形的三条中线必交于一点，本选项说法正确，符合题意；
B、直角三角形有三条高，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故本选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的高线不一定都在三角形的内部，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
5．【解答】解：∵∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
故选：C．
6．【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的；
B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的；
D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的；
故选：B．
7．【解答】解：A．三角形的外角大于与它不相邻的内角，故A错误；
B．三角形的任意两边之和大于第三边，故B正确；
C．两直线平行，内错角相等，故C错误；
D．直角三角形的两锐角互余，故D错误；
故选：B．
8．【解答】解：A、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
B、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
C、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴BC＝EF，AC＝AF，∠B＝∠E，∠BAC＝∠EAF，∠BCA＝∠F，故B正确，不符合题意；C错误，符合题意；
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠EAB＝∠FAC，故A正确，不符合题意；
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠F，
∴∠BCA＝∠ACF，
∴CA平分∠BCF，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
10．【解答】解：①只有两个三角形才能完全重合，错误，不是三角形的图形也能全等；
②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；
③两个正方形一定是全等图形，错误，边长不同的正方形不全等；
④错误，面积相等的两个图形不一定是全等图形．
综上可得①③④错误．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD．
∵AB＝5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．
解得BD+AD＝7．
∴BD+CD＝7．
则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．
故答案为：10．
12．【解答】解：如图，AB交CE于点F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠C＝∠B，
∵∠BFE＝∠CFA，∠CAF＝180°﹣∠C﹣∠CFA，∠BEF＝180°﹣∠B﹣∠BFE，∠CAB＝40°，
∴∠BEF＝∠CAB＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣∠BEF＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
13．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
∴∠A′＝30°，
∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．
故答案为：60°．
14．【解答】解：∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠ECD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠EBC，
∵∠ECD是△BEC的一外角，
∴∠BEC＝∠ECE﹣∠EBC＝∠A+∠EBC﹣∠EBC＝∠A＝35°，
故答案为：35°．
15．【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，
∵AC＝3cm，
∴BP＝3cm，
∴CP＝9﹣3＝6cm，
∴点P的运动时间为6÷1＝6（秒）；
②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等，
这时BC＝PB＝9cm，CP＝0，因此时间为0秒；
③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等，
∵AC＝3cm，
∴BP＝3cm，
∴CP＝3+9＝12cm，
∴点P的运动时间为12÷1＝12（秒）；
④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等，
∵BC＝9cm，
∴BP＝9cm，
∴CP＝9+9＝18，
点P的运动时间为18÷1＝18（秒），
故答案为：0或6或12或18．
三．解答题（共8小题，满分70分）
16．【解答】解：∵a，b，c分别是三角形的三条边长，
∴b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c，
∴b+c﹣a＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
则|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|
＝b+c﹣a﹣（b﹣c﹣a）﹣（c﹣a﹣b）
＝b+c﹣a﹣b+c+a﹣c+a+b
＝a+b+c．
17．【解答】解：如图所示，∠CDG即为所求．
18．【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝27°，
∴∠E＝∠F＝27°，
∵∠1＝∠B+∠E，∠B＝33°，
∴∠1＝60°；
（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝5cm，
∴AD＝BC＝5cm，
∵CD＝2cm，
∴AC＝AD+CD＝7cm．
19．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴．
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝50°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°；
（2）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝45°．
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°．
20．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，
∴DC＝DE，
又∵DF＝BD，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在Rt△ADC与Rt△ADE中，
∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
AB＝AE+BE＝AC+BE，
AC＝AF+CF，
由（1）知，CF＝BE，
∴AB＝AF+BE+BE，
即20＝8+2BE，
∴BE＝6．
21．【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB；
（2）在Rt△DCA和Rt△DEA中，
，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
22．【解答】解：（1）选择的条件是②③，结论是①，理由如下：
∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠DAC，
∴∠ACG＝∠ACD，
∵BC平分∠DCH，
∴∠DCB＝∠BCH，
∴∠ACG+∠BCH＝∠ACD+∠DCB＝×180°＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）设∠BCH＝x°，则∠ACG＝（2x﹣3）°，
∵∠ACG+∠BCH＝90°，
∴x°+（2x﹣3）°＝90°，
解得x＝31，
∴∠ACG＝（2x﹣3）°＝59°，
∴∠DAC＝∠ACG＝59°．
23．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝×（180°﹣x°）
＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）∵∠OCD是△BCO的外角，
∴∠O＝∠2﹣∠1，
又∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，
∴∠O＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠O＝∠BAC；
（3）∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线，
∴∠2＝∠BCE，∠1＝∠DBC，
∵∠BCE＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠2＝（∠A+∠ABC）、∠1＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，
∠BDC＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣∠A．