专题：全等三角形解答题专练（含解析）

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全等三角形解答题（含解析）
一、解答题
1．如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF.求证： AC∥DF.
2．已知：B、C、E、F在同一条直线上，AC∥DF，∠A=∠D，BF = EC．求证：AB = DE．
3．如图，△ABC中，点E，F分别在边CB及其延长线上，且CE＝BF，DF∥AC，且DF＝AC，连接DE，求证：∠A＝∠D．
4．如图， ， ，求证： .
5．如图，有一池塘 要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使 连接BC并延长到E，使 连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离 请说明DE的长就是A、B的距离的理由.
6．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．
7．如图， ， ， ，求证： .
8．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．求证：△ABE≌△DCE.
9．已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE＝CD．
10．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．
求证：BC=ED．
11．已知：如图，点C和点D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F．
求证：BC=DE．
12．如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ， ．求证: ．
13．如图，AC、BD 相交于点 O，∠A=∠D,
AB=CD．求证：△AOB≌△DOC．
14．如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的四个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED； ②∠A=∠D=90°；
③∠ACB=∠DFE；④∠A=∠D．
15．我们知道，“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题时的一种重要的添加辅助线的策略．请参考这种思想，解决本题：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且BD是∠ABC的角平分线．
求证：AE＝ BD．
16．如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外)，并选择其中的一对加以说明．
17．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF．
18．如图，在 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．求证：BD＝2CE．
19．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
20．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α。
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE ▲ CF； EF ▲ |BE-AF|（填“>”，“<”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）。
21．（问题背景）
在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的点，且 ，试探究图1中线段 、 、 之间的数量关系．
（初步探索）
小晨同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，则可得到 、 、 之间的数量关系是　 　．
（探索延伸）
在四边形 中如图2， ， ， 、 分别是 、 上的点， ，上述结论是否仍然成立？说明理由．
（结论运用）
如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西30°的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角（ ）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】证明： ∵AD=BE
∴AD+DB=BE+DB，
即AB="DE"
在⊿ABC和⊿DEF中
AB=DE
BC=EF，
AC=DF
∴⊿ABC≌⊿DEF（SSS）
∴∠BAC=∠EDF
∴AC//DF.
【解析】【分析】本题要证AC∥DF ，那么我们根据直线平行的判定定理来看，我们在本题中只能通过“同位角相等，两直线平行”来证明 AC∥DF。根据题意我们可以直接得出⊿ABC≌⊿DEF（SSS），进而得到∠BAC=∠EDF，AC∥DF。
2．【答案】证明：∵AC∥DF（已知），∴∠ACB=∠DFE（（两直线平行，内错角相等），
∵BF=EC（已知），
∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE（全等三角形对应边相等）．
【解析】【分析】根据二直线平行，内错角相等得出 ∠ACB=∠DFE ，根据等式的性质，由 BF=EC 得出 BC=EF， 然后根据AAS判断出 △ABC≌△DEF根据全等三角形的对应边相等得出AB=DE 。
3．【答案】证明：如图，∵CE＝BF， ∴CE+BE＝BF+BE，即BC＝EF． ∵DF∥AC， ∴∠C＝∠F． 在△ABC与△DEF中 ． ∴△ABC≌△DEF（SAS）． ∴∠A＝∠D．
【解析】【分析】通过证明△ABC≌△DEF（SAS）得到结论：∠A＝∠D．
4．【答案】证明：在 和 中
，
≌ ，
.
【解析】【分析】欲证明 ，只要证明 ≌ 即可.
5．【答案】解：在 与 中，
，
≌ ，
，
即DE的长就是A、B的距离
【解析】【分析】利用SAS判断出 ≌ ，根据全等三角形的对应边相等得出AB=ED，从而即可得出答案。
6．【答案】证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，
即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC=DC．
【解析】【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
7．【答案】解：∵ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】由平行得 ，再结合已知条件，利用边角边判定全等，可得 .
8．【答案】证明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（AAS）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理证明得到答案即可。
9．【答案】证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．∴AD＝AE，
在△ABE与△ACD中， ，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD
【解析】【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点。得到AD=AE，∠A为公用，利用边角边定理可证△ABE全等△ACD，即可得到BE=CD。
10．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD，
∵在△BAC和△ECD中，
AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，
∴△BAC≌△ECD（SAS）.
∴CB=ED.
【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.
11．【答案】证明：∵AB∥DE
∴∠B=∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC=DE．
【解析】【分析】先由平行线得出∠B=∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可．
12．【答案】证明： ，
，
即 ，
，
，
在 和 中，
，
，
【解析】【分析】利用AAS可证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推知该结论即可．
13．【答案】证明：在△AOB和△DOC中, ，
所以,△AOB≌△DOC(AAS).
【解析】【分析】根据对顶角相等可得∠AOB=∠DOC，然后利用“角角边”证明即可．
14．【答案】解：不能；选择条件①AE=BE．∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B=∠E，∴AB∥ED．
【解析】【分析】只有FB=CE，AC=DF．不能证明AB∥ED；可添加：AB=ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF．
15．【答案】证明：如图，延长AE、BC交于点F
∵AE⊥BE，∠ACB=90°
∴∠BEF=∠BEA=90°,∠ACF=∠ACB=90°
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°
∴∠DBC=∠FAC
在△ACF和△BCD中
∴△ACF≌△BCD (ASA)
∴AF=BD．
∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABE=∠FBE-
在△ABE和△FBE 中，
∴△ABE≌△FBE (ASA)
∴
∴
【解析】【分析】 延长AE、BC交于点F ，利用“ASA”证明 △ACF≌△BCD ，得到AF=BD，再结合BD是∠ABC的角平分线，即∠ABE=∠FBE ，再利用“ASA”证明 △ABE≌△FBE，最后利用全等三角形的性质求解即可。
16．【答案】解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM.(任写其中两对即可)
选择△AEM≌△ACN，
∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD.
∴∠EAM＝∠CAN.
在△AEM和△ACN中，
∴△AEM≌△ACN(ASA)．
选择△ABN≌△ADM，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
选择△BMF≌△DNF，
∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠BAN＝∠DAM，∴△ABN≌△ADM(ASA)．
∴AN＝AM.∴BM＝DN.又∵∠B＝∠D，∠BFM＝∠DFN，∴△BMF≌△DNF(AAS)．
(任选一对进行说明即可)
【解析】【分析】 △AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM；△AEM≌△ACN 的理由如下：根据全等三角形的性质得 AC＝AE，∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD ，由全等三角形的判定ASA即可得△AEM≌△ACN.
17．【答案】证明：连接BD、CD，
∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF．
【解析】【分析】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再根据两个三角形是直角三角形即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而可得出结果．
18．【答案】证明： 的平分线交 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又∵ ，
．
【解析】【分析】由角平分线的概念得∠FBE=∠CBE，由垂直的概念得∠BEF=∠BEC=90°，证明△BFE≌△BCE，得到CE=EF，则CF=2CE，根据同角的余角相等可得∠F=∠ADB，证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，然后结合CF=2CE进行证明.
19．【答案】解：
图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
图3中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，
∵AC=BC，
可得∠AEC=∠CGB，
∠ACE=∠BCG，
∴△CBG≌△CAE，
∴AE=BG，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF，
∴AF-BF=2CE．
【解析】【分析】（1）做出辅助线， 过B作BH⊥CE于点H ，可证得△ACE≌△CBH ，根据全等三角形的性质，可判断AF+BF＝2CE。
（2）做出辅助线， 过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G ，可证得 △CBG≌△CAE ，根据全等三角形的性质，可得出AF-BF=2CE。
20．【答案】（1）①如图1中，
E点在F点的左侧，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
∠EBC＝∠ACF，∠BEC＝∠AFC，BC＝AC，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
故答案为=；=．
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；
证明：如图2中，
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
∠EBC＝∠ACF，∠BEC＝∠AFC，BC＝AC，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
故答案为∠α+∠ACB=180°．
（2）解：EF=BE+CF，
证明如下：
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
∠EBC＝∠FCA，∠BEC＝∠CFA，BC＝CA，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF.
【解析】【分析】（1）分两种情况利用垂直可得两个角相等，利用AAS证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）根据三角形的内角和定理利用角的等量关系可得∠EBC=∠ACF，然后根据AAS即可确定线段之间的关系.
21．【答案】 ；解：[探索延伸]：结论仍然成立 证明：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； [结论运用]：解：如图3，连接 ，延长 、 交于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 成立，即 海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里．
【解析】【解答】解：[初步探索]：
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
故答案为： ；
【分析】根据图形及全等三角形的判定方法和性质进行求解即可。
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