专题：等腰三角形性质及应用 填空题专练（含解析）

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等腰三角形性质及应用（填空题）
一、填空题
1．已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则第三边的长是　 　．
2．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为　 　cm．
3．若等腰三角形的一个角为70゜，则其顶角的度数为　 　 ．
4．在 中， ，过点 作 交射线 于点 ，若 是等腰三角形，则 的大小为　 　度.
5．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x＞5，则该等腰三角形的周长为　 　（用含x的式子表示）
6．有一三角形纸片ABC，∠A＝70°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两个纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　 　．
7．量角器的中心记为点O，测角度时摆放的位置如图所示，点A、B在以O为圆心的半圆上，OA、OB、OC分别与0°、140°、60°刻度线重合.射线OC交AB于点D，则∠ADC＝　 　°.
8．如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B＝65°，则∠EAC＝　 　°.
9．如图，在 中， 垂直平分 ，若 的周长是12， ，则 的长　 　.
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=3，则DF=　 　．
11．已知一张三角形纸片 如图甲 ，其中 将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为 如图乙 再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好点D重合，折痕为 如图丙 原三角形纸片ABC中， 的大小为　 　
12．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是　 　三角形．
13．如图，线段 的垂直平分线 交于点 .若 ，则 　 　
14．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆 OA=OB=20cm.若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图 2，则此时 AB=　 　cm.
15．如图， 中， ， ， 于点 ，且 ， 于点 ，点 是 上一动点，连接 ，则 的最小值是　 　
16．如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是　 　.
17．如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为　 　°．
18．如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=　 　．
19．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　 　.
20．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　.
21．如图，BE和CE分别为 的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°＋ ∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为　 　；
答案解析部分
1．【答案】7
【解析】【解答】解：①7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，
所以，第三边为7；
②7是底边时，三角形的三边分别为3、3、7，
∵3+3=6＜7，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为7．
故答案为7．
【分析】分7是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
2．【答案】35
【解析】【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
3．【答案】70°或40°
【解析】【解答】当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
当70°为底角时,顶角=180°-2×70°=40°.
答案为: 70°或40°.
【分析】由题意可分两种情况：①当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
②当70°为底角时,由三角形内角和定理可求解。
4．【答案】 或
【解析】【解答】如图所示，若顶角∠BAC为锐角，则：
AB=BD，∠D=∠DAB
∵AB=AC∴∠ABC=∠C，
∴∠C=∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D，
∵ ，
∴∠DAC=90 ，
∴∠C+∠D=3∠D=90 ，
∴∠D=30 ，
∴∠C=2∠D =60 ；
如图所示，若顶角∠BAC 为钝角，则：
AD=BD，∠B=∠DAB ，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B，
∵AB=AC∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠DAC=90 ，
∴∠ADC+∠C=3∠C =90 ，
∴∠C =30 .
故答案为30或60.
【分析】分两种情况考虑，∠BAC为锐角时，由AB=BD得∠D=∠DAB，由AB=AC得∠ABC=∠C，根据三角形外角性质可推出∠C=2∠D，根据直角三角形的两锐角互余可得∠C=60 ；同理，∠BAC为钝角时，可推出∠ADC=2∠C，根据直角三角形的两锐角互余可得∠C=30 .
5．【答案】5x2﹣4x﹣19
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当等腰三角形的腰为（x+2）（2x﹣5）时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：
（x+2）（2x﹣5）+（x+2）（2x﹣5）+（x﹣1）2
＝2x2﹣x﹣10+2x2﹣x﹣10+x2﹣2x+1
＝5x2﹣4x﹣19；
②当等腰三角形的腰为（x﹣1）2时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，
∵（x﹣1）2+（x﹣1）2＝2x2﹣4x+2，（x+2）（2x﹣5）＝2x2﹣x﹣10，x＞5，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2﹣（x+2）（2x﹣5）＝（2x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣x﹣10）＝﹣3x+12＜0，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＜（x+2）（2x﹣5），
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形．
故答案为：5x2﹣4x﹣19．
【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2时，②当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
6．【答案】20°或35°或27.5°
【解析】【解答】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣70°＝110°，
∠C＝ （180°﹣110°）＝35°，
②AB＝AD，此时∠ADB＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°，
∠C＝ （180°﹣125°）＝27.5°，
③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣40°＝140°，
∠C＝ （180°﹣140°）＝20°，
综上所述，∠C度数可以为20°或35°或27.5°．
故答案为：20°或35°或27.5°
【分析】分三种情况：①AB＝BD，②AB＝AD，③AD＝BD，根据等腰三角形的性质及三角形内角和分别求解即可.
7．【答案】80
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=140°，
∴，
∵∠AOC=60°，
∴∠ADC=∠A+∠AOC=20°+60°=80°，
故答案为：80.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠A=∠B=20°，根据三角形外角的性质可得∠ADC=∠A+∠AOC，从而求解.
8．【答案】50
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠EAD=∠CAB，
∴∠ADB=∠B=65°，∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD，
∴∠EAC=∠BAD，
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠B=50°
∴∠EAC=50°
故答案为50.
【分析】根据全等三角形的性质得到AB=AD，∠EAD=∠CAB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案.
9．【答案】8
【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD.
∵△BCD的周长是12，BC=4，
∴AB=BD+CD=12-4=8，
故答案为：8.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据等腰三角形的性质可得出结论.
10．【答案】3
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=3，
∴DF=3．
故答案为：3．
【分析】根据三角形的三线合一的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质即可求解．
11．【答案】72
【解析】【解答】设∠A为x，则由翻折对应角相等可得∠EDA=∠A=x，
由∠BED是△AED的外角可得∠BED=∠EDA+∠A=2x，
则由翻折对应角相等可得∠C=∠BED=2x，
因为AB=AC，所以∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=2x+2x+x=180°，
所以x=36°，
则∠ABC=2x=72°.
故本题正确答案为72°.
【分析】根据题意设∠A为x,再根据翻折的相关定义得到∠A的大小，随之即可解答.
12．【答案】等边
【解析】【解答】解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，
∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，
∴∠HJI=60°，
∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，
∴阴影部分是等边三角形，
故答案为：等边．
【分析】根据折叠的性质得到需要判定的三角形的两个角为60°，从而利用三角形内角和定理得到第三个角也为60°，利用三个角都相等的三角形是等边三角形判定即可．
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接BO并延长，如图：
线段 的垂直平分线 交于点
∴AO=OB=OC
∴A=∠ABO，∠C=∠CBO
∴∠A+∠C=∠ABC=35°
∴ ∠AOC=∠AOD+∠COD=∠A+∠ABO+∠C+∠CBO=∠A+∠C+∠ABC=70°
故答案为：70.
【分析】连接BO并延长，由线段垂直平分线性质和等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，得出∠A+∠C=∠ABC=35°，利用三角形外角性质得出∠AOC=∠A+∠C+∠ABC，代入进行计算，即可得出答案.
14．【答案】20
【解析】【解答】∵OA=OB=20cm，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=20cm
故答案为：20
【分析】根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△AOB是等边三角形，进而求得AB的长.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，
∴ BC AD= AB CE，
∵BC=6，AD=4，AB=5，
∴CE= .
连接PC.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分线段BC，
∴PB=PC.
∴PB+PE=PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为 .
【分析】先利用面积法求出CE的长，再连接PC，把问题转化为两点之间线段最短求解即可.
16．【答案】18°≤α＜22.5°
【解析】【解答】解：如图
，OE=EF=FG=GH，
，
最多能添加这样的钢管4根，
，即 ，
故答案为 .
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角和的性质可直接进行求解.
17．【答案】15
【解析】【解答】
设∠A=x°，
∵AE=ED，
∴∠ADE=∠A=x°，
∴∠BED=∠A+∠ADE=2x°，
∵ED=DB，
∴∠ABD=∠BED=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，
∵DB=BC，
∴∠C=∠BDC=3x°，
∵∠ABC+∠A+∠C=180°，∠ABC=120°，
∴120+x+3x=180，
解得：x=15，
∴∠A=15°．
故答案为：15
【分析】设最小角∠A的度数为x°，由题可得∠DEB=∠DBE=2x°，根据三角形外角定理，∠C=∠BDC=3x°，所以∠A＋∠C+120°=180°，得出∠A=x°=15°。
18．【答案】12.5o
【解析】【解答】解：∵∠O=x，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴∠BAC=2x，
∴∠CBD=3x；
∴∠DCE=4x，
∴∠FDE=5x，
∴∠FEG=6x，
∵EF=FG，
∴∠FEG=∠FGE，
∵∠EFG=30°，
∴∠FEG=6x=75°，
∴x=12.5o，
∴∠O=12.5°．
故答案为：12.5°．
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，即可得到结论．
19．【答案】
【解析】【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中
，
∴△PFM≌△QCM，
∴FM=CM，
∵AE=EF，
∴EF+FM=AE+CM，
∴AE+CM=ME= AC，
∵AC=3，
∴DE= .
故答案为： .
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，证△APF是等边三角形，由等边三角形的性质证得AP=PF=AF，利用等边三角形的性质可证得AE=EF；再证明PF=CQ，利用AAS证明△PFM≌△QCM，利用全等三角形的性质可证得FM=CM，由此可推出EF+FM=AE+CM= AC，代入计算可求出DE的长.
20．【答案】10
【解析】【解答】解：连接 ，
是等腰三角形，点 是 边的中点，
，
，解得 ，
是线段 的垂直平分线，
点 关于直线 的对称点为点 ，
的长为 的最小值，
的周长最短 .
故答案为：10.
【分析】连接AD ，由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，根据△ABC的面积等于6求出AD长，根据对称的性质，结合两点之间线段最短的性质得出AD的长为 CM+MD的最小值，从而求出△CDM周长的最小值.
21．【答案】①②③④⑤
【解析】【解答】 CE平分 ，CF平分
，
即 ，则结论①符合题意
BE平分 ，
是等腰三角形
是AC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
垂直平分AC
，则结论②符合题意
是等腰三角形
，则结论③符合题意
又
，即 ，则结论④符合题意
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
，即
又 CF平分
，则结论⑤符合题意
综上，结论正确的是①②③④⑤
故答案为：①②③④⑤．
【分析】①先根据角平分线的定义可得 ， ，再根据角的和差即可得；②先根据等腰三角形的判定与性质可得 垂直平分AC，再根据垂直平分线的性质即可得；③先根据三角形的外角性质、角平分线的定义可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，由此即可得；④先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质、角平分线的定义即可得；⑤先根据等腰三角形的判定与性质可得 ，从而可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，由此即可得．
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