2022-2023学年浙教版八年级数学上册2.7探索勾股定理 同步练习题 （含答案）

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《2.7探索勾股定理》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB＝（　　）
A．5 B．7 C． D．
2．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（　　）
A．14 B．13 C．14 D．14
4．一个直角三角形的两直角边长分别为3，4，则第三边长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．5或
5．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
6．如图，正方形ABCD的边长为2．面积标记为S1．以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2022的值为（　　）
A．（）2019 B．（）2020 C．（）2021 D．（）2022
7．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　）
A．121 B．144 C．169 D．196
8．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二．填空题
11．如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝　 　．
12．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2+BC2+CA2＝　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB于点D，BC＝5，AC＝10，则AE的值是　 　．
14．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　．
15．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为　 　．
16．如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 　 　．
三．解答题
17．如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．
（1）填空：正方形EFGH的面积为 　 　，四个直角三角形的面积和为 　 　．
（2）求a+b的值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？
19．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
20．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝20，点D为AB上一点，且CD＝16，BD＝12，求AC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，
∴BC＝4，AC＝3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得，AB＝，
故选：A．
2．解：∵＝，
∴是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，
如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于；
故选：C．
3．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝＝14．
故选：D．
4．解：已知直角三角形的两直角边为3、4，
则第三边长为＝5，
故选：C．
5．解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m
∴AB＝＝＝4m，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．
故选：C．
6．解：如图所示，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，∠CED＝90°，
∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2，
∴DE＝CD，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∴S1＝22＝4＝4×（）0，
S2＝（2×）2＝2＝4×（）1，
S3＝（×）2＝1＝4×（）2，
S4＝（1×）2＝＝4×（）3，
…，
∴Sn＝4×（）n﹣1，
∴S2022＝4×（）2021＝（）2019．
故选：A．
7．解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，
∴直角三角形斜边长＝13，
∴大正方形的边长是13，
∴大正方形的面积是13×13＝169．
故选：C．
8．解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴S△ABD＝BD AD＝AB ED，
∴ED＝，
故选：C．
9．解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝3.5，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
10．解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022×1＝2022．
故选：D．
二．填空题
11．解：设面积为S1的半圆的直径为a，面积为S2的半圆的直径为b，面积为S3的半圆的直径为c，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
由题意得：×π×（）2＝9π，×π×（）2＝16π，
则a2＝72，b2＝128，
∴c2＝200，
∴S3＝×π×（）2＝25π，
故答案为：25π．
12．解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝5，
∴AB2＝BC2+CA2＝25，
∴AB2+BC2+CA2＝25+25＝50．
故答案为：50．
13．解：∵ED垂直平分AB于点D，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，
故在Rt△ECB中，
EC2+BC2＝EB2，
（10﹣x）2+52＝x2，
解得：x＝．
故答案为：．
14．解：作CP⊥AB于P，
由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB＝＝＝5，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，
解得，PC＝，
故答案为：．
15．解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，AB＝＝，
∴点C到AB边的距离＝＝．
故答案为：．
16．解：连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，
∴DM＝BC＝4，
∴AD＝＝＝2，
∵CF＝1，BC＝AB＝4，
∴BF＝3，
∴AF＝＝＝5，
∵DC＝2，
∴DF＝＝，
设EF＝x，则AE＝5﹣x，
∵AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，
∴，
∴x＝1，
∴EF＝1，
∴AE＝4，
∴AE＝AB，
在Rt△AEG和Rt△ABG中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），
∴EG＝BG，
设BG＝y，则EG＝3﹣y，
∵EF2+EG2＝FG2，
∴12+y2＝（3﹣y）2，
∴y＝，
∴BG＝，
故答案为：；
三．解答题
17．解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，
∴S正方形EFGH＝HE2＝16，
∵AD＝c＝20，
∴S正方形ABCD＝AD2＝400，
∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，
故答案为：16；384；
（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，
∴4×ab＝384，解得2ab＝384，
∵a2+b2＝c2＝400，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．
∴a+b＝28（负值舍去）．
18．解：设运动x秒时，它们相距15cm，则CP＝xcm，CQ＝（21﹣x）cm，依题意有
x2+（21﹣x）2＝152，
解得x1＝9，x2＝12．
故运动9秒或12秒时，它们相距15cm．
19．解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5．
所以CF＝4，
设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝x+4．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2．
解得x＝6，故BC＝10．
所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）．
20．解：∵BC＝20，CD＝16，BD＝12，
∴BD2+CD2＝122+162＝400＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ACD中，AD＝AB﹣BD＝20﹣12＝8，
∴AC＝＝＝8．