2022-2023学年浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步认识 综合练习题（含答案）

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第1章三角形的初步认识》综合练习题（附答案）
一．选择题
1．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．30° B．120° C．60° D．90°
2．如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，BC＝BD，则能说明△ABC≌△ABD的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
3．如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF的长是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（　　）
A．70° B．110° C．120° D．130°
5．如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（　　）
A．DE B．BE C．BF D．DF
6．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　）
A．45° B．60° C．90° D．100°
7．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．105° B．120° C．115° D．135°
8．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（　　）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
9．下列说法：
①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
其中真命题有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①无限小数都是无理数
②无理数都是无限小数
③实数与数轴上的点是一一对应的
④对于数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则∠DAE的度数是　 　．
12．如图，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝32°，∠C＝78°，则∠DAF＝　 　．
13．三角形三条角平分线的交点叫　 　，三角形三条中线的交点叫　 　，三角形三条垂线的交点叫　 　．
14．如图所示：在△AEC中，EF⊥BC，AB⊥BC，AD⊥DC，AE边上的高是　 　．
15．如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　．
16．如图，已知直线AD∥BC，如果△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC边上的高是　 　厘米．
17．如图，三角形ABC的面积为1，分别延长AB、BC、CA至M、N、P，使得BM＝2AB，CN＝3BC，AP＝4CA，则三角形MNP面积是　 　．
18．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2；使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…．按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过　 　次操作．
三．解答题
19．如图，已知AB∥CD，∠1+∠3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明AB∥EF的理由．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（ 　 　）．
∵∠1+∠3＝90°（已知），
∴∠2+∠3＝90°（ 　 　）．
即∠BCF＝90°．
∵　 　＝180°（三角形内角和等于180°），
∴　 　＝90°（等式性质）．
∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），
∴　 　（ 　 　）．
∴∠ABF+∠BFE＝180°（ 　 　）．
∴AB∥FE（ 　 　）．
20．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
21．如图，网格中的每个小正方形的边长都是2，线段交点称做格点．
（1）画出△ABC的高CD；
（2）连接格点，用一条线段将图中△ABC分成面积相等的两部分；
（3）直接写出△ABC的面积是　 　．
22．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；
（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、CE，使△BCE是△ABC面积的．
（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．
23．我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出AC边上的高BH，再作出BC边上的高AK．（不写作法，保留作图痕迹）
24．如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝　 　；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
25．如图1，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上运动（均不与点O重合），连接CD，∠ACD的角平分线CE的反向延长线与∠CDO的角平分线DF相交于点F．
（1）若∠OCD＝60°，则∠F＝　 　°；
（2）如图1，若∠OCD＝50°时，求∠F的度数；
（3）如图2，设∠OCD的度数是2m°，则
①∠FCO＝　 　°，∠FDC＝　 　°（用含m的代数式表示）；
②∠F＝　 　°．
26．直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．
27．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝42°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　°；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝α°，∠B＝β°，直接写出∠BPC的度数．（用含α、β的代数式表示）
参考答案
一．选择题
1．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，
∴∠D＝∠E＝∠A＝∠B＝30°，
则∠E的度数是30°．
故选：A．
2．解：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS）．
故选：C．
3．解：∵△ABC≌△DEF，BC＝7，
∴EF＝BC＝7，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
故选：B．
4．解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
5．解：∵DE∥AC，
∴∠A＝∠EDB，
∵△ABC与△BDE全等，
∴BC＝BE，AC＝DB，AB＝DE，
∴AC+AD＝DB+AD＝AB＝DE，
故选：A．
6．解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
7．解：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．
8．解：∵1号杯左侧出口比右侧低，
∴水先从左边流出，进入3号杯，
∵3号杯左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯的出口端封闭，
∴水最终会先灌满3号杯，
故选：A．
9．解：①相等的角是对顶角；是假命题．
②同位角相等；是假命题．
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；是假命题．
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．是真命题．
故选：A．
10．解：①无限小数都是无理数，错误，是假命题；
②无理数都是无限小数，正确，是真命题；
③实数与数轴上的点是一一对应的，正确，是真命题；
④对于数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，正确，是真命题，真命题有3个，故选：C．
二．填空题
11．解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE∠BAC130°＝65°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝65°﹣60°＝5°．
故答案为：5°．
12．解：∵∠B＝32°，∠C＝78°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣32°﹣78°＝70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD70°＝35°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝32°+35°＝67°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF＝180°﹣∠ADC﹣∠AFD＝180°﹣67°﹣90°＝23°．
故答案为：23°．
13．解：三角形三条角平分线的交点叫内心，
三角形三条中线的交点叫重心，
三角形三条垂线的交点叫垂心．
故答案为：内心，重心，垂心．
14．解：在△AEC中，AE边上的高是CD．
故答案为CD．
15．解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180°．
16．解：因为△BCD的面积是6平方厘米，BC＝4厘米，
所以BC边上的高是：2×6÷4＝3（厘米）．
故答案为：3．
17．解：连接MC，AN
∵2AB＝BM，
∴S△BCM＝2S△ABC，
∴S△BCM＝2×1＝2，
∵3BC＝CN，
∴S△MNC＝3S△BCM，S△ACN＝3S△ABC，
∴S△MNC＝3×2＝6，S△ACN＝3×1＝3，
∵4CA＝AP，
∴S△ANP＝4S△ACN，S△AMP＝4S△AMC，
∴S△ANP＝4×3＝12，S△AMP＝4×（2+1）＝12，
∵S△MNP＝S△ABC+S△BCM+S△MNC+S△ACN+S△ANP+S△AMP，
∴S△MNP＝1+2+6+3+12+12＝36．
故答案为：36．
18．解：连接A1C，
∵AB＝A1B，
∴△ABC与△A1BC的面积相等，
∵△ABC面积为1，
∴S△A1BC＝1．
∵BB1＝2BC，
∴S△A1B1B＝2S△A1BC＝2，
同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C＝2，
∴S△A1B1C1＝S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC＝2+2+2+1＝7；
同理可证△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过4次操作．故答案为：4．
三．解答题
19．解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠3＝90°（已知），
∴∠2+∠3＝90°（等量代换）．
即∠BCF＝90°．
∵∠BCF+∠4+∠5＝180°（三角形内角和等于180°），
∴∠4+∠5＝90°（等式性质）．
∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知），
∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）．
∴∠ABF+∠BFE＝180°（等式的性质）．
∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．
20．证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠A＝∠D．
21．解：（1）如图，线段CD即为所求作．
（2）如图，线段CE即为所求作．
（3）S△ABC AB CD8×10＝40．
故答案为：40．
22．解：（1）如图①，点D即为所求；
（2）如图②，点E即为所求；
∵△ABC面积为5×4＝10，
△BCE的面积为5×1，
∴△BCE是△ABC面积的；
（3）如图③，直线l即为所求．
∵直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积为5，
而10．
∴直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．
23．解：如图，线段BH，AK即为所求作．
24．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD∠BAC（180°﹣∠B﹣∠ACB），
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B（180°﹣∠B﹣∠BCA）（∠ACB﹣∠B）βα，
故答案为：βα；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC∠BAC＝90°αβ，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°αβ，
∴∠BCF＝β+90°αβ＝90°αβ，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°αβ，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECFβα．
25．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝60°，
∴∠CDO＝30°．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝60°，∠CDF＝15°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝45°．
故答案为：45；
（2）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝45°．
（3）①∵∠OCD的度数是2m°，
∴∠ACD＝180°﹣2m°，
又∵CE平分∠ACD，
∴∠FCO＝∠ACE∠ACD＝（90﹣m）°；
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°﹣2m°，
又∵DF平分∠ODC，
∴∠CDF∠CDO＝（45﹣m）°；
故答案为：（90﹣m）；（45﹣m）；
②△CDF中，∠F＝180°﹣（90﹣m）°﹣2m°﹣（45﹣m）°＝45°．
故答案为：45°．
26．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图，
分三种情况：在BA延长线上取点P，连接EP、DP，
如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．
27．解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A＝73°，∠B＝42°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝73°°＝87°；
当BD′是“邻BC三分线”时，
∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝73°42°＝101°；
故答案为：87°或101；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠ABC∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°；
（3）分为四种情况：
情况一：如图1，
当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可得：∠PCD∠ACD（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC（α+β）βα；
情况二：如图2，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
由外角可知：∠PCD∠ACD（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC（α+β）；
情况三、
当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
当α＞β时，如图3，
由外角可得：∠PCDACD（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC（α+β）β；
当α＜β时，如图4，
由外角及对顶角可得：∠DCE＝∠PCBACD（α+β），
∴∠BPC＝∠FBC﹣∠PCBβ（α+β）；
情况四、如图5，
当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
由外角可得：∠PCDACD（α+β），
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC（α+β）；
综合上述：∠BPC的度数是α°或（）°或（）°或（）°或．