第1章《二次函数》单元测试卷（含解析）

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浙教版2022年九年级第1章《二次函数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝﹣3x B．xy＝2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+5
2．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣5） D．（﹣1，﹣5）
3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣5，3） B．（5，3） C．（3，5） D．（5，﹣3）
4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：
根据图象分析，a的值等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）
A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（　　）
A．4 B．5 C．2 D．1
9．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．±1
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0； ③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2； ④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是　 　．
12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　 　．
13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是　 　．
14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝　 　，n＝　 　．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
则当x＝2时对应的函数值y＝　 　．
16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为 　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（5分）用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．
19．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．
20．（6分）已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．
（1）求这个函数的解析式；
（2）函数的开口方向、对称轴；
（3）当y＞0时，x的取值范围．
21．（7分）已知函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；
（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：
①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；
②它一定经过哪个点？请说明理由．
22．（7分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．
23．（9分）如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．
24．（10分）已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．
（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；
（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；
（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．
25．（12分）在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．
（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．
（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）
（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．
（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．
浙教版2022年九年级第1章《二次函数》单元测试卷
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；
当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；
∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．
故选：B．
3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．
故选：B．
4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．
故选：C．
5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；
第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；
故第四个图正确．
由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：
a2﹣1＝0，
解得a＝±1，
由于开口向下，
a＝﹣1．
故选：B．
6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．
故选：C．
7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是直线x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．
8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：
观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，
∴y的最大值为4．
故选：A．
9．解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，
则k的值为±1．
故选：D．
10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，
因此①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
因此②不正确；
∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，
∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，故④正确；
∴正确的有：①③④，
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，
∴a+3＜0，
∴a＜﹣3．
故答案为：a＜﹣3．
12．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
令a＝﹣1，
设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∵对称轴为直线x＝2，
∴h＝2，
把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，
解得，k＝7，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．
13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，
∴，
当x＝2时，y＝×2+2＝3，
∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，
解得，n＝﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1．
15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，
根据二次函数图象的对称性，
（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，
对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），
根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．
16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，
∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），
∴OC＝2，
∵S△ABC＝AB OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB |2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，
∴AB：AB |2﹣|＝3：5，
解得：m＝﹣．
故答案是：﹣．
17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE+EF＝C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
直线AB的解析式为y＝x+3，
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，
联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，
代入解得y＝，
∴F（，），
∴C′F＝＝，
即CE+EF的最小值为．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：y＝x2﹣4x+5
＝（x2﹣8x）+5
＝（x2﹣8x+16）+5﹣8
＝（x﹣4）2﹣3，
∴顶点（4，﹣3）．
19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝2，
∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，
∴（5，n），（m，n）是对称点，
∴＝2，
解得m＝﹣1．
20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，
则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，
把点A坐标代入上式，解得：a＝，
则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣
（2）a＝＞0，函数开口向上，
对称轴为：x＝1；
（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．
21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，
∵当y＝0时，（n+1）xm+mx+1﹣n＝0，∴x＝，
∴函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；
②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，
当y＝0时，y＝（n+1）xm+mx+1﹣n＝0，
即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，
△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；
∴函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；
③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，
∴函数y＝（n+1）xm+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；
（2）①假命题，若它是一个二次函数，
则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，
∵n＞﹣1，∴n+1＞0，
抛物线开口向上，
对称轴：﹣＝＝﹣＜0，
∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，
②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．
当x＝﹣1时，y＝0．
∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．
22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣6x+5．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，
将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，
解得，
∴y＝﹣x+5，
设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），
∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，
∴MN最大值为．
23．解：（1）∵＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，
∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，
∴绳子最低点离地面的距离为m；
（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，
令x＝0得y＝3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，
解得：a＝0.3，
∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，
当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，
∴MN的长度为2.1米；
（3）∵MN＝3，点M（3，3），
∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，
∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，
抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，
把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1 和y＝a（x﹣）2+k2，
得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，
∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，
解得：a＝．
∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．
24．解：（1）由，
得 ，
即顶点M坐标为（m，m）；
（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），
∴3＝（0﹣m）2+m
得m1＝﹣3，m2＝，
∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；
（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），
∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，
∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，
∴，
解得1≤t≤5．
25．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，
当m＝2时，C（2，6），
设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），
将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，
解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣2）2+6．
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，
∴点C坐标为（m，m+4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，
把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．
（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），
m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．
②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），
﹣+8﹣（﹣）＝8，
∴m＞2符合题意，
∴m≥2．
（4）作CD⊥PQ于点D，
∵点R将线段PQ分成1：3两部分，
∴PQ＝4PR＝2PD，
∴PR＝RD，
∴CD＝RD，
∴PQ＝4CD，
设CD＝t，则PQ＝4t，
∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），
∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．
解得t＝m．
∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，
∵△APQ的面积为，
∴m（m+4﹣4）＝，
解得m＝或m＝﹣（舍）．
∴m＝．