1.4全等三角形-提升练习　2022—2023学年浙教版数学八年级上册（含答案）

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》
1.4全等三角形
【知识点-部分】
要点一、全等图形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等。
要点二、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点三、对应顶点，对应边，对应角
1、对应顶点，对应边，对应角定义:两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
1、在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
2、找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边
（或角），等等。
要点四、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应边相等； 2、全等三角形的对应角相等。
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。
【典型例题-精选部分】
1、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为　 　；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，① 求∠DBC的度数；② 求∠AFD的度数．
2、如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
（1）DE的长； （2）∠BAC的度数．
3、如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线．AD上方的点，连接AE、CE、BF、DF，
若△ACE≌△FDB，FD＝3，AD＝8．
（1）判断直线CE与DF是否平行？并说明理由； （2）求CD的长；
（3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数．
4、如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD＝DC＝2.4，BC＝4.1．
（1）若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数； （2）求△DCP与△BPE的周长和．
5、如图，已知△ABF≌△ACF≌△DBF，∠FAB：∠ABF：∠AFB＝4：7：25．
（1）求△ABF各内角的度数； （2）延长AF交BD于点G，求证：AG是△ABC的高；
（3）求∠CFD的度数； （4）求∠AED的度数．
6、如图，△ABE≌△EDC，E在BD上，AB⊥BD，B为垂足．
（1）试问：AE和CE垂直吗？AE和EC相等吗？
（2）分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角．① 使AE与CE重合；② 使AE与CE垂直；③ 使AE与EC在同一直线上．
7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．
8、我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称；
（2）已知，如图，完美等邻边四边形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，连接对角线AC，BD，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；
（3）在四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是完美等邻边四边形．
9、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
（1）如图（1），当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
10、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
【参考答案】
1、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，
（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为　 　；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，① 求∠DBC的度数；② 求∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3；
（2）① ∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；
② ∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，
∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．
2、如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
（1）DE的长； （2）∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm；
（2）∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．
3、如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线．AD上方的点，连接AE、CE、BF、DF，
若△ACE≌△FDB，FD＝3，AD＝8．
（1）判断直线CE与DF是否平行？并说明理由； （2）求CD的长；
（3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数．
【解答】解：（1）CE∥DF， 理由：∵△ACE≌△FDB，∴∠ACE＝∠D，∴CE∥DF；
（2）∵△ACE≌△FDB，∴AC＝DF＝3，∵AD＝8，∴CD＝AD﹣AC＝8﹣3＝5；
（3）∵△ACE≌△FDB，∴∠DBF＝∠E＝26°，∵CE∥DF，∴∠1＝∠F＝53°，∴∠ACE＝180°﹣26°﹣53°＝101°
4、如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD＝DC＝2.4，BC＝4.1．
（1）若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度数； （2）求△DCP与△BPE的周长和．
【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AD+DC＝4.8，BE＝BC＝4.1，
△DCP和△BPE的周长和＝DC+DP+CP+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝15.4．
5、如图，已知△ABF≌△ACF≌△DBF，∠FAB：∠ABF：∠AFB＝4：7：25．
（1）求△ABF各内角的度数； （2）延长AF交BD于点G，求证：AG是△ABC的高；
（3）求∠CFD的度数； （4）求∠AED的度数．
【解答】解：（1）∵∠FAB：∠ABF：∠AFB＝4：7：25，
∴∠FAB＝180°×＝20°，∠ABF＝180°×＝35°，∠AFB＝180°×＝125°；
（2）证明：∵△ABF≌△ACF，∴AB＝AC，∠BAF＝∠CAF，∴AG是等腰△ABC顶角的平分线，
∴AG是△ABC的高（等腰三角形三线合一）；
（3）解：∵△ABF≌△ACF≌△DBF，∴∠AFC＝∠BFD＝∠AFB＝125°，
∴∠AFE＝360°﹣∠AFB﹣∠BFD＝360°﹣125°﹣125°＝110°，∴∠CFD＝∠AFC﹣∠AFE＝125°﹣110°＝15°；
（4）解：∵△ABF≌△ACF，∴∠FAC＝∠FAB＝20°，
由三角形的外角性质得，∠AED＝∠FAC+∠AFE＝20°+110°＝130°．
6、如图，△ABE≌△EDC，E在BD上，AB⊥BD，B为垂足．
（1）试问：AE和CE垂直吗？AE和EC相等吗？
（2）分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角．① 使AE与CE重合；② 使AE与CE垂直；③ 使AE与EC在同一直线上．
【解答】解：（1）∵△ABE≌△EDC，∴AE＝EC，∠A＝∠CED，∵AB⊥BD，∴∠A+∠AEB＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AEC＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥CE；
（2）如图所示，相等的边有AB＝ED，AE＝EC，BE＝DC，
相等的角有∠BAE＝∠DEC，∠ABE＝∠EDC，∠AEB＝∠ECD．
7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．
【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP＝CQ，
有四种情况：① P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；
② P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；
③ P在BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；
④ 当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，∴t﹣6＝6
∴t＝12∵t＜14∴t＝12符合题意。答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．
8、我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形．把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称；
（2）已知，如图，完美等邻边四边形ABCD，AD＝CD，∠B+∠D＝180°，连接对角线AC，BD，请你结合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；
（3）在四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，且BD平分∠ABC时，求证：四边形ABCD是完美等邻边四边形．
【解答】解：（1）菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形
（2）性质是∠BAD+∠BCD＝180°；
（3）证明：作DM⊥BC，DN⊥AB，垂足分别为M，N，∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，∴DM＝DN，
∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∴∠ABC+∠MDN＝180°，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠MDN，∴∠ADN＝∠MDC，
∵∠DNA＝∠DMC，∴△DMC≌△DNA，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等邻边四边形；
又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴等邻边四边形ABCD是完美等邻边四边形．
9、如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
（1）如图（1），当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
【解答】解：（1）① 当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，移动的时间为：÷3＝秒，
② 当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，移动的时间为：÷3＝秒，故答案为：或；
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
① 当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，
② 当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，
点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为cm/s或cm/s．
10、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB的中点，如果点P在线段BC上以5cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等．
理由如下：∵点E为AB的中点，AB＝20cm，∴BE＝AB＝×20＝10cm，∵点P、Q的速度都是5cm/秒，
∴经过1秒后，BP＝5cm，PC＝BC﹣BP＝15﹣5＝10cm，CQ＝5cm，∴BE＝PC，BP＝CQ，
在△BPE与△CQP中，，∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）∵△BPE与△CQP全等，∴CQ＝BE＝10，则PC＝BP＝7.5，点Q的运动速度为10÷（7.5÷5）＝cm/秒；
或CP＝BE＝10，即BP＝5，CQ＝5，点Q的运动速度为5÷（5÷5）＝5cm/秒；
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴x＝5舍去，∴点Q的运动速度为cm/秒时，△BPE与△CQP全等．