2.1有理数的加法（1、2）-提升练习 2022-2023学年浙教版七年级数学上册（含答案）

浙教版-7年级-上册-数学-第2章《有理数的运算》
2.1 有理数的加法
【知识点-部分】
一、有理数的加法
1、定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2、法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
（1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
（2）确定和的符号(是“+”还是“－”)．
（3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
二、有理数的加法运算律：
有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言 a+b＝b+a
加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c)
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
【典型例题-精选部分】
1、有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．
原质量 27 24 23 28 21 26 22 27
与基准数的差距
（1）你认为选取的一个恰当的基准数为　 　；
（2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表；
（3）这8筐水果的总质量是多少？
2、出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12
（1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？
（2）该出租车师傅下午离家最远有多少千米？
（3）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？
（4）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？
3、用“＞”或“＜”填空：
（1）如果a＞0，b＞0，那么a+b　 　0； （2）如果a＜0，b＜0，那么a+b　 　0；
（3）如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b　 　0； （4）如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a+b　 　0．
4、已知|a|＝8，|b|＝2；
（1）当a、b同号时，求a+b的值； （2）当a、b异号时，求a+b的值．
5、已知|x|＝4，|y|＝，且x+y＜0，求x+y的值．
6、如果|a﹣b|＝1，|b+c|＝1，|a+c|＝2，求|a+b+2c|的值．
7、阅读下面文字：对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999）
8、把数字1﹣8分别填入下图的圆圈内，使两个五边形上5个数的和都等于21．
9、《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说：“你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三个字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意，法以灵鬼，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．…”，英姑按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”（如图1）中．上面的“宫”就是我们所说的三阶魔方．在魔方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都等于同一个数，这个数我们称为“魔方和”如图1中的“魔方和”是15．请你回答下列问题：
（1）如图2中的“魔方和”是24，请你将图中的空缺补全．
（2）如图3中的“魔方和”是36，请你先求出图中x的值，再把结果填写在图4中．
10、计算：++++++++++＝　 　．
11、观察下列各式：1+3＝22、1+3+5＝32、1+3+5+7＝42、1+3+5+7+9＝52、…
（1）1+3+5+7+9+11＝（　 　）2；
（2）求1+3+5+7+…+99的值；
（3）求1+3+5+7+…+（2n﹣1）的值；（n为自然数）
12、例：1+2+3+…+100＝？如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，发现运用加法的运算规律可大大简化计算，提高计算的速度．
因为：1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×　 　＝　 　。
（1）补全例题解答过程；
（2）计算a+（a+d）+（a+2d）+…+（a+99d）．
13、分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如：；
（1）仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和．
＝ ；＝ 。
（2）在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？
14、（1）比较下列各式的大小：
|5|+|3|　 　|5+3|， |﹣5|+|﹣3|　 　|（﹣5）+（﹣3）|，
|﹣5|+|3|　 　|（﹣5）+3|， |0|+|﹣5|　 　|0+（﹣5）|…
（2）通过（1）的比较、观察，请你猜想归纳：
当a、b为有理数时，|a|+|b|　 　|a+b|．（填入“≥”、“≤”、“＞”或“＜”）
（3）根据（2）中你得出的结论，求当|x|+|﹣2|＝|x﹣2|时，直接写出x的取值范围．
15、先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】（1）如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动3个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为　 　和　 　，B，C两点间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为　 　；如果|AB|＝3，那么x为　 　；
（3）要使代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，则整数x的值为　 　．
（4）当x为　 　时，|x+4|+|x﹣2|＝12．
【参考答案】
1、有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．
原质量 27 24 23 28 21 26 22 27
与基准数的差距
（1）你认为选取的一个恰当的基准数为　 　；
（2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表；
（3）这8筐水果的总质量是多少？
【解答】解：（1）25；
（2）+2，﹣1，﹣2，+3，﹣4，+1，﹣3，+2；
（3）总质量为：25×8+[（+2）+（﹣1）+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+1）+（﹣3）+（+2）]
＝200+（﹣2）＝198（kg）．
2、出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12
（1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？
（2）该出租车师傅下午离家最远有多少千米？
（3）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？
（4）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？
【解答】解答：（1）（+8）+（﹣9）+（﹣7）+（+6）+（﹣3）+（+5）+（﹣14）+（+12）
＝8﹣9﹣7+6﹣3+5﹣14+12＝（8+6+5+12）+（﹣9﹣7﹣3﹣14）＝31﹣33＝﹣2，
答：该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车在家的西方，离家有2km；
（2）第一次8千米，第二次8﹣9＝﹣1千米，第三次﹣1+（﹣7）＝﹣8千米，第四次﹣8+6＝﹣2千米，
第五次﹣2﹣3＝﹣5千米，第六次﹣5﹣14＝﹣19千米，第七次﹣19+5＝﹣14千米，第八次﹣14+12＝﹣2千米，
答：该出租车师傅下午离家最远有19km；
（3）8+|﹣9|+|﹣7|+6+|﹣3|+5+|﹣14|+12＝8+9+7+6+3+5+14+12＝64（km），0.2×64＝12.8（升）
答：这天下午出租车共耗油12.8升；
（4）10×8+（64﹣3×8）×1.2＝80+48＝128（元），答：这天下午该出租车师傅的营业额是128元．
3、用“＞”或“＜”填空：
（1）如果a＞0，b＞0，那么a+b　 　0； （2）如果a＜0，b＜0，那么a+b　 　0；
（3）如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b　 　0； （4）如果a＞0，b＜0，|a|＜|b|，那么a+b　 　0．
【解答】解：同号两数相加，取相同的符号，所以（1）中两数的和为正；
（2）中两数的和为负；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，所以（3）中两数的符号为正；
（4）中两数的符号为负． 故答案为：（1）＞，（2）＜，（3）＞，（4）＜．
4、已知|a|＝8，|b|＝2；
（1）当a、b同号时，求a+b的值； （2）当a、b异号时，求a+b的值．
【解答】解：（1）∵|a|＝8，|b|＝2，且a，b同号，∴a＝8，b＝2；a＝﹣8，b＝﹣2，则a+b＝10或﹣10；
（2）∵|a|＝8，|b|＝2，且a，b异号，∴a＝8，b＝﹣2；a＝﹣8，b＝2，则a+b＝6或﹣6．
5、已知|x|＝4，|y|＝，且x+y＜0，求x+y的值．
【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝，∴x＝±4，y＝±，∵x+y＜0，∴x＝﹣4，y＝±，
∴x+y＝﹣4+＝﹣或x+y＝﹣4﹣＝﹣．
6、如果|a﹣b|＝1，|b+c|＝1，|a+c|＝2，求|a+b+2c|的值．
【解答】解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝2，∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝1，∴a﹣b＝b+c＝1或a﹣b＝b+c＝﹣1，
① a﹣b＝b+c＝1时，a+c＝2，所以，|a+b+2c|＝|a+c+b+c|＝|1+2|＝3，
② a﹣b＝b+c＝﹣1时，a+c＝﹣2，所以，|a+b+2c|＝|a+c+b+c|＝|﹣1﹣2|＝3，故|a+b+2c|＝3．
7、阅读下面文字：对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999）
【解答】解：原式＝[（﹣1）+（﹣）]+[（﹣2000）+（﹣）]+（4000+）+[（﹣1999）+（﹣）]
＝[（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣）＝﹣．
8、把数字1﹣8分别填入下图的圆圈内，使两个五边形上5个数的和都等于21．
【解答】解：观察数：1、2、3、4、5、6、7、8，从小到大，由题意使两个五边形上5个数的和都等于21，7和8不能在一起，假设8在右边的五边形，根据大数和小数结合的原则，8和1在一边，所以1在右边，右边还差12；由数4和5在中间必有一个或两个在两个五边形公共部分的两个圆圈．经过代入知4在其中一个圆圈，则右边还需两个圆圈相加和为8，由6+2＝5+3＝8，验证知2，6在右边． 故如图：
9、《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说：“你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三个字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意，法以灵鬼，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．…”，英姑按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”（如图1）中．上面的“宫”就是我们所说的三阶魔方．在魔方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都等于同一个数，这个数我们称为“魔方和”如图1中的“魔方和”是15．请你回答下列问题：
（1）如图2中的“魔方和”是24，请你将图中的空缺补全．
（2）如图3中的“魔方和”是36，请你先求出图中x的值，再把结果填写在图4中．
【解答】解：（1）先设正中间的数是x，则有15+x+1＝24，解得x＝8，再设右下角的数是y，则3+8+y＝24，
解得y＝13，左下角的数＝24﹣3﹣15＝6，右上角的数＝24﹣13﹣1＝10，
最后可求第三行第二列的数＝24﹣6﹣13＝5，从而可得图（2），
（2）通过图（2）可知规律，即2x＝13﹣x+23，解得x＝12，利用图（2）的计算方法可得图（4）．
10、计算：++++++++++＝　 　．
【解答】解：原式＝×（+++…+）＝×（1﹣﹣…+﹣）
＝×（1﹣）＝×＝． 故答案为：．
11、观察下列各式：1+3＝22、1+3+5＝32、1+3+5+7＝42、1+3+5+7+9＝52、…
（1）1+3+5+7+9+11＝（　 　）2；
（2）求1+3+5+7+…+99的值；
（3）求1+3+5+7+…+（2n﹣1）的值；（n为自然数）
【解答】解：观察可得：1+3＝＝22；1+3+5＝（）2＝32；…
（1）1+3+5+7+9+11＝（）2＝62； （2）1+3+5+7+…+99＝502＝2500；
（3）1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝．
12、例：1+2+3+…+100＝？如果一个一个顺次相加显然太繁杂，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，发现运用加法的运算规律可大大简化计算，提高计算的速度．
因为：1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×　 　＝　 　。
（1）补全例题解答过程；
（2）计算a+（a+d）+（a+2d）+…+（a+99d）．
【解答】解：（1）1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×50＝5050；
（2）a+（a+d）+（a+2d）+…+（a+99d）＝a++…+a+（1+2+3+…+99）d＝100a+（1+99）×99÷2×d＝100a+4950d
13、分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如：；
（1）仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和．
＝ ；＝ 。
（2）在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？
【解答】解：（1），；
（2），，．
14、（1）比较下列各式的大小：
|5|+|3|　 　|5+3|， |﹣5|+|﹣3|　 　|（﹣5）+（﹣3）|，
|﹣5|+|3|　 　|（﹣5）+3|， |0|+|﹣5|　 　|0+（﹣5）|…
（2）通过（1）的比较、观察，请你猜想归纳：
当a、b为有理数时，|a|+|b|　 　|a+b|．（填入“≥”、“≤”、“＞”或“＜”）
（3）根据（2）中你得出的结论，求当|x|+|﹣2|＝|x﹣2|时，直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1））比较下列各式的大小：|5|+|3|＝|5+3|，|﹣5|+|﹣3|＝|（﹣5）+（﹣3）|，
|﹣5|+|3|＞|（﹣5）+3|，|0|+|﹣5|＝|0+（﹣5）|…
（2）通过（1）的比较、观察，请你猜想归纳：当a、b为有理数时，|a|+|b|≥|a+b|．
（3）根据（2）中你得出的结论，当|x|+|﹣2|＝|x﹣2|时，x的取值范围x≤0．
故答案为：（1）＝；＝；＞；＝（2）≥。
15、先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】（1）如图，先在数轴上找出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动3个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为　 　和　 　，B，C两点间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为　 　；如果|AB|＝3，那么x为　 　；
（3）要使代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，则整数x的值为　 　．
（4）当x为　 　时，|x+4|+|x﹣2|＝12．
【解答】解：（1）∴点B所表示的数与2.5互为相反数，∴点B所表示的数为﹣2.5，
又∵点A向左移动3个单位，得到点C，点A所表示的数是2.5，∴点C所表示的数为2.5﹣3＝﹣0.5，
∴BC＝|﹣2.5+0.5|＝2， 故答案为：﹣2.5，﹣0.5，2；
（2）由题意可知，数轴上表示x和﹣2的两点A和B之间的距离表示为|x+2|，
当AB＝3，即|x+2|＝3，解答x1＝1，x2＝﹣5， 故答案为：|x+2|，1或﹣5；
（3）∵|x+2|+|x﹣3|取最小值，即数轴上表示数x的点到表示﹣2，3的距离之和最小，
∴当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|的值最小，其最小值为|﹣2﹣3|＝5，
又∵x为整数，∴整数x为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
故答案为：﹣2，﹣1，0，1，2，3；
（4）由（3）可知|x+4|+|x﹣2|的最小值为|﹣4﹣2|＝6，要使|x+4|+|x﹣2|＝12，
因此．x＜﹣4或x＞2，故有﹣x﹣4+2﹣x＝12或x+4+x﹣2＝12，解得x＝﹣7或x＝5，
故答案为：﹣7或5．