第1章 二次函数最值 培优训练（含解析）
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二次次函数最值培优（含解析）
一、单选题
1．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
2．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
3．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（ ）
A． B．-1 C．-2 D．
6．已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2
二、填空题
8．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 ．
9．已知二次函数，当时有最小值5，则a的值为 ．
10．若二次函数 在 时的最小值为6，那么m的值是 .
11．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为 .
12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝ ．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
三、解答题
13．求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值．
14．已知二次函数 的图像经过点 和点 ，求该函数的表达式，并求出当 时， 的最值.
15．已知二次函数 与x轴的交点（-1，0）和（3，0），求其函数解析式并通过配方法求出函数的最大值．
16．y=﹣2x2+4x+1，且2≤x≤4，求y的最大值，如有最小值，再求出最小值．
17．当-2≤x≤1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
18．已知点 在以y轴为对称轴的抛物线 上，求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：y＝x2﹣2x+3=（x-1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，
∴ 当1≤x≤2 时，
x=2时y的值最大为y=（2-1）2+2=3，当x=1时最小值为2；
当-2≤x≤1时，
当x=-2时y的值最大为y=（-2-1）2+2=11；
∴有最大值11，有最小值2.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性可知当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，同时可得到当x=1时函数的最小值为2；再分别求出当-2≤x≤1时和 当1≤x≤2 时函数的最大值，综上所述可得到函数的最大值.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵a=1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-3），确定出函数的增减性，得到当x=a时，y=15，代入解析式中计算可得a的值.
4．【答案】C
【解析】【解答】 解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴b=ak+3，c=4k+3，
∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+）2-，
∴当k＜0时，ab取最大值为-，
∵ab的最大值为9，
∴-=9，解得k=-，
∴c=4×（-）+3，
∴c=2.
故答案为：C.
【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+）2-，当k＜0时，ab取最大值为-，又ab的最大值为9，即-=9，求得k=-，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4，
∴且.
解得.
故答案为：B.
【分析】将（2，3）代入函数解析式中可得3=4a+2b+3，根据函数的最大值为4可得=4且a<0，联立求解可得a的值.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴该抛物线的对称轴为，且，
∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c.
∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，且方向向下，判断出函数的增减性，然后求出最大值与最小值，再作差即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴这个二次函数的开口向上，对称轴
∴在的取值范围内，当时，有最小值-2；
当时，有最大值14.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得其图象开口向上，对称轴为直线x=2，判断出函数的增减性，进而可得最值.
8．【答案】-5或1
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y＝2x2+4x+1，
∴该二次函数的对称轴是直线．
当时，且时，即时，y在x=t+2时取得最大值31．
∴．
解得（舍），（舍）．
当时，且时，即时，y在x=t时取得最大值31．
∴．
解得（舍），（舍）．
当时，即时，y在x=t+2时取得最大值31．
∴．
解得（舍），．
当时，即时，y在x=t时取得最大值31．
∴．
解得，（舍）．
故答案为：-5或1．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分四种情况并利用二次函数的性质及最大值为31列出方程求解即可。
9．【答案】-1或4
【解析】【解答】解：，
当时，最小值为1，与题意不符；
当时，二次函数在1≤x≤2 上y随x的增大而增大，最小值为当x=1时，即（1-a）2+1=5，
解得a=-1，或a=3（舍去）；
当a≥2时，二次函数在1≤x≤2 上y随x的增大而减小，最小值为当x=2时，即（2-a）2+1=5，
解得a=4，或a=0（舍去）；
所以a的值为-1或4．
故答案为-1或4．
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，再结合函数图象和性质分三种情况求解即可。
10．【答案】 或
【解析】【解答】解：由二次函数
可知对称轴为直线
，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为
，
∵二次函数
在
时的最小值为6，
然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数有最小值，即为
，
解得：
（正根舍去），
②当m＞1时，则y随x的增大而增大，
∴当x=m时，函数有最小值，即为
，
解得：
（负根舍去），
∴综上所示：m的值是
或
；
故答案为：
或
.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，则当x=1时，函数取得最小值，为y=4，接下来分①m+1＜1，②m＞1，判断出函数在m≤x≤m+1上的增减性，结合最小值为6就可求出m的值.
11．【答案】
【解析】【解答】解：
二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即
，
二次函数解析式为
，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为
.
故答案为：
.
【分析】根据二次函数的对称轴为y轴可得a=0，则y=x2+4，将P（m，n）代入可得n=m2+4，然后表示出m-n，结合二次函数的性质可得最大值.
12．【答案】（1）3或1
（2）2
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，
∴，
∵平移后的二次函数图象经过点，
∴，
解得，
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
【分析】（1）先设出平移后的解析式，再将点代入求出a的值即可；
（2）根据函数解析式平移后的解析式为，再求解即可。
13．【答案】解：对于二次函数 ，
当x=0时，y=6，
当y=0时，方程 的解，即为二次函数与x轴的交点，
解得： ，
所以与x轴的交点坐标为：（2，0），（3，0），与y轴的交点坐标为（0，6）；
∵ ，抛物线开口向上，有最小值，
∴最小值为： ．
【解析】【分析】将x=0和y=0分别代入二次函数求出x的值和y的值即可求出与坐标轴的交点坐标，再利用顶点坐标公式求出最小值即可。
14．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得， ，
∴函数解析式为：y=x2-4x+3，
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴当x=0时，y有最大值是3．
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可．
15．【答案】解：∵二次函数 与x轴的交点（ 1，0）和（3，0），
∴ ，
解得 ，
即函数解析式为 ，
∵ ＝ ，
∴该函数的最大值是 ．
【解析】【分析】根据二次函数 与x轴的交点（ 1，0）和（3，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值．
16．【答案】解：当x=2时，y=1，
当x=2时，y=﹣15，
又∵y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3．
∴x=1时，y最大值=3，
综上所述若2≤x≤4时，y=﹣2x2+4x+1的最大值是1、最小值是﹣15
【解析】【分析】求出顶点坐标，再求出x=2，x=4时的y的值，然后作出判断．
17．【答案】解：二次函数y＝-（x-3）2+m2+1的对称轴是x＝3，
∵a＝-1＜0，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
由题意得，当x＝1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，
则-（1-3）2+m2+1＝4，
解得，m1＝ ，m2＝- ．
【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质进行作答求解即可。
18．【答案】解：∵二次函数 的对称轴是直线x=0
∴
∴a=0
∴该二次函数的解析式为：
∵点 在该函数 的图象上
∴
∴
∴当m=1时， 取得最大值-3．
【解析】【分析】根据该二次函数的对称轴为y轴可得a=0，进而得到函数解析式为 ，再根据点 在该函数 的图象上，可得 ，即可求解．
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二次次函数最值培优（含解析）
一、单选题
1．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
2．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
3．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（ ）
A． B．-1 C．-2 D．
6．已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2
二、填空题
8．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 ．
9．已知二次函数，当时有最小值5，则a的值为 ．
10．若二次函数 在 时的最小值为6，那么m的值是 .
11．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值为 .
12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝ ．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
三、解答题
13．求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值．
14．已知二次函数 的图像经过点 和点 ，求该函数的表达式，并求出当 时， 的最值.
15．已知二次函数 与x轴的交点（-1，0）和（3，0），求其函数解析式并通过配方法求出函数的最大值．
16．y=﹣2x2+4x+1，且2≤x≤4，求y的最大值，如有最小值，再求出最小值．
17．当-2≤x≤1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
18．已知点 在以y轴为对称轴的抛物线 上，求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：y＝x2﹣2x+3=（x-1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，
∴ 当1≤x≤2 时，
x=2时y的值最大为y=（2-1）2+2=3，当x=1时最小值为2；
当-2≤x≤1时，
当x=-2时y的值最大为y=（-2-1）2+2=11；
∴有最大值11，有最小值2.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性可知当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，同时可得到当x=1时函数的最小值为2；再分别求出当-2≤x≤1时和 当1≤x≤2 时函数的最大值，综上所述可得到函数的最大值.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵a=1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-3），确定出函数的增减性，得到当x=a时，y=15，代入解析式中计算可得a的值.
4．【答案】C
【解析】【解答】 解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴b=ak+3，c=4k+3，
∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+）2-，
∴当k＜0时，ab取最大值为-，
∵ab的最大值为9，
∴-=9，解得k=-，
∴c=4×（-）+3，
∴c=2.
故答案为：C.
【分析】把点A（a，b），B（4，c）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k（a+）2-，当k＜0时，ab取最大值为-，又ab的最大值为9，即-=9，求得k=-，将k值代入c=4k+3中计算，即可求出c值.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4，
∴且.
解得.
故答案为：B.
【分析】将（2，3）代入函数解析式中可得3=4a+2b+3，根据函数的最大值为4可得=4且a<0，联立求解可得a的值.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴该抛物线的对称轴为，且，
∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c.
∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，且方向向下，判断出函数的增减性，然后求出最大值与最小值，再作差即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴这个二次函数的开口向上，对称轴
∴在的取值范围内，当时，有最小值-2；
当时，有最大值14.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得其图象开口向上，对称轴为直线x=2，判断出函数的增减性，进而可得最值.
8．【答案】-5或1
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y＝2x2+4x+1，
∴该二次函数的对称轴是直线．
当时，且时，即时，y在x=t+2时取得最大值31．
∴．
解得（舍），（舍）．
当时，且时，即时，y在x=t时取得最大值31．
∴．
解得（舍），（舍）．
当时，即时，y在x=t+2时取得最大值31．
∴．
解得（舍），．
当时，即时，y在x=t时取得最大值31．
∴．
解得，（舍）．
故答案为：-5或1．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分四种情况并利用二次函数的性质及最大值为31列出方程求解即可。
9．【答案】-1或4
【解析】【解答】解：，
当时，最小值为1，与题意不符；
当时，二次函数在1≤x≤2 上y随x的增大而增大，最小值为当x=1时，即（1-a）2+1=5，
解得a=-1，或a=3（舍去）；
当a≥2时，二次函数在1≤x≤2 上y随x的增大而减小，最小值为当x=2时，即（2-a）2+1=5，
解得a=4，或a=0（舍去）；
所以a的值为-1或4．
故答案为-1或4．
【分析】先将二次函数的一般式化为顶点式，再结合函数图象和性质分三种情况求解即可。
10．【答案】 或
【解析】【解答】解：由二次函数
可知对称轴为直线
，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为
，
∵二次函数
在
时的最小值为6，
然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数有最小值，即为
，
解得：
（正根舍去），
②当m＞1时，则y随x的增大而增大，
∴当x=m时，函数有最小值，即为
，
解得：
（负根舍去），
∴综上所示：m的值是
或
；
故答案为：
或
.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=1，则当x=1时，函数取得最小值，为y=4，接下来分①m+1＜1，②m＞1，判断出函数在m≤x≤m+1上的增减性，结合最小值为6就可求出m的值.
11．【答案】
【解析】【解答】解：
二次函数y=x2+ax+4以y轴为对称轴
，即
，
二次函数解析式为
，
点P（m，n）在二次函数y=x2+ax+4的图象上，
，
，
m-n的最大值为
.
故答案为：
.
【分析】根据二次函数的对称轴为y轴可得a=0，则y=x2+4，将P（m，n）代入可得n=m2+4，然后表示出m-n，结合二次函数的性质可得最大值.
12．【答案】（1）3或1
（2）2
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，
∴，
∵平移后的二次函数图象经过点，
∴，
解得，
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
【分析】（1）先设出平移后的解析式，再将点代入求出a的值即可；
（2）根据函数解析式平移后的解析式为，再求解即可。
13．【答案】解：对于二次函数 ，
当x=0时，y=6，
当y=0时，方程 的解，即为二次函数与x轴的交点，
解得： ，
所以与x轴的交点坐标为：（2，0），（3，0），与y轴的交点坐标为（0，6）；
∵ ，抛物线开口向上，有最小值，
∴最小值为： ．
【解析】【分析】将x=0和y=0分别代入二次函数求出x的值和y的值即可求出与坐标轴的交点坐标，再利用顶点坐标公式求出最小值即可。
14．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得， ，
∴函数解析式为：y=x2-4x+3，
y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴当x=0时，y有最大值是3．
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出最大值即可．
15．【答案】解：∵二次函数 与x轴的交点（ 1，0）和（3，0），
∴ ，
解得 ，
即函数解析式为 ，
∵ ＝ ，
∴该函数的最大值是 ．
【解析】【分析】根据二次函数 与x轴的交点（ 1，0）和（3，0），可以求得该函数的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值．
16．【答案】解：当x=2时，y=1，
当x=2时，y=﹣15，
又∵y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3．
∴x=1时，y最大值=3，
综上所述若2≤x≤4时，y=﹣2x2+4x+1的最大值是1、最小值是﹣15
【解析】【分析】求出顶点坐标，再求出x=2，x=4时的y的值，然后作出判断．
17．【答案】解：二次函数y＝-（x-3）2+m2+1的对称轴是x＝3，
∵a＝-1＜0，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
由题意得，当x＝1时，二次函数y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，
则-（1-3）2+m2+1＝4，
解得，m1＝ ，m2＝- ．
【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质进行作答求解即可。
18．【答案】解：∵二次函数 的对称轴是直线x=0
∴
∴a=0
∴该二次函数的解析式为：
∵点 在该函数 的图象上
∴
∴
∴当m=1时， 取得最大值-3．
【解析】【分析】根据该二次函数的对称轴为y轴可得a=0，进而得到函数解析式为 ，再根据点 在该函数 的图象上，可得 ，即可求解．
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