浙教版数学八年级上册1.1.4三角形角平分线和中垂线 同步练习（含答案）

1.1.4三角形角平分线和中垂线同步练习
一、单选题
1．如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．如图，点P在锐角 的内部，连接 ， ，点P关于 、 所在直线的对称点分别是 、 ，则 、 两点之间的距离可能是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．如图， 平分 ，点P在 上，且 ，垂足为D，若 ，则P到 的距离d满足（　　）
A． B． C． D．无法确定
4．如图， 中， ， ， 的垂直平分线分别交 于点E，F，与 ， 分别交于点D，G，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（　　）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
6．如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点E，沿FG折叠使点C与点E重合，则的度数是（　　）.
A．60度 B．55° C．50° D．45°
7．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③点P到边AB，AC，BC的距离相等；④BD+CE＝BC；⑤ ，其中错误的个数是（　　）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
9．如图，P是平分线上一点，OP＝10，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
10．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是　 　；
11．如图，在 中， ， 平分 ， ，点D到 的距离为5.6，则 　 　 .
12．如图，已知∠BAC＝130°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠BAD＝　 　；
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　 　．
14．在 ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝6，AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　.
15．如图，已知 的周长是22，PB、PC分别平分 和 ， 于D，且 ， 的面积是　 　.
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是　 　.
17．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为　 　
18．如图：在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积为　 　.
19．如图，中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D．将沿AD折叠后，使点C与点E重合，且，若，则　 　度．
20．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为　 　．
三、解答题
21．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
四、综合题
22．如图(1) ， ，BD⊥AB， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动，它们运动的时间为 .
（1）若点 的速度与点 的速度相等，当 时，求证： ；
（2）在(1)的条件下，判断此时 和 的位置关系，并证明；
（3）将图(1)中的“ ， ”，改为“ ”，得到图(2)，其他条件不变.设点 的运动速度为 ，请问是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 和 的值；若不存在，请说明理由.
23．为培育学生“敢进取”精神，特设计此题：
如图1，在 中， ，AC=BC， ， ，垂足分别为D，E.
（1）若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长.
（2）如图2，在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到 ABC的外部，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：　 　.（不需证明）
（3）如图3，若将原题中的条件改为：“在 ABC中，AC=BC，D,C,E三点在同一条直线上，并且有 ，其中 为任意钝角”，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
24．已知：如图 ABC中，AB=AC=10，BC=8，∠A=39°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M，连接BD.
求：
（1）∠DBC的度数；
（2）△BDC的周长.
25．在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于 ， 于 .
（1）当直线 绕点 旋转到图1的位置时，
①求证： ≌ ；
②求证： ；
（2）当直线 绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
26．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt中，°．
求作：点，使得点在边上，且到和的距离相等．
作法：①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；
③画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠ ▲ =∠ ▲ .
∵∠=90°，
∴.
∵，
∴（ ▲ ）．
27．如图，已知锐角.
（1）尺规作图：作的高（保留作图的痕迹，不要求写出作法）；
（2）若，与有什么关系？并说明理由.
28．下面是小丽同学设计的“作30°角”的尺规作图过程．
已知：如图1，射线OA．
求作：∠AOB，使∠AOB ＝30°．
作法：如图2，
①在射线OA上任取一点C；
②分别以O，C为圆心，OC长为半径作弧，两弧在射线OA的上方交于点D，作射线OD，并连接CD；
③以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OD于点E，F；
④分别以E，F为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在∠AOD内部交于点B；
⑤作射线OB；
∴ ∠AOB就是所求的角．
根据小丽设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：连接BE，BF．
∵ OC＝OD＝CD，
∴ △OCD是等边三角形．
∴∠COD＝ ▲ °．
又∵ OE ＝OF，BE ＝ BF，OB＝OB，
∴ △OEB≌△OFB（ ▲ ）（填推理依据）．
∴ ∠EOB＝∠FOB（ ▲ ）（填推理依据）．
∴ ∠AOB ＝＝30°．
∴∠AOB就是所求的角．
29．如图，在 中， ， 是 边的高.将 边对折，折痕为 ，连接 ， 平分 .
（1）求 的度数.
（2）连接 ，求证： .
30．如图， ， 于E， 交AD的延长线于F，且 .
（1）BE与DF是否相等？请说明理由；
（2）若 ， ，则AB的长为　 　cm.
31．如图，在ΔABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O.
（1）求证：点O在BC的垂直平分线上：
（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，则OA＝　 　.
32．下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．
已知：线段AB．
求作：AB的垂线，使它经过点A．
作法：如图，
①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交线段BA的延长线于点C；
②分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；
③作直线AD．
所以直线AD就是所求作的垂线．
根据小军设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，BD．
∵BD= ▲ ，AB= ▲ ，
∴AD⊥AB（ ▲ ）（填推理的依据）．
33．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．
（1）求线段DP的最小值；
（2）当DP最小时，求CDP的面积．
34．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．
（1）求证：OC＝OD；
（2）求证：OP是CD的垂直平分线．
35．如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，分别交AB、BC于点D、E．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．连接AE、AN．
（1）求∠EAN的度数；
（2）若△AEN的周长为15，则BC的长为 　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】B
10．【答案】11
11．【答案】16.8
12．【答案】105°
13．【答案】4
14．【答案】6
15．【答案】33
16．【答案】9.6
17．【答案】5
18．【答案】6
19．【答案】35
20．【答案】13.5
21．【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
22．【答案】（1）解： 与 全等，
理由如下：当 时， ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
∴ ；
（2）解： ，
证明：∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
即 ；
（3）解： ， ，
①若
则 ， ，
∴ ，
解得： ，则 ；
②若 ，
则 ， ，
则 ，解得， ，
∴ ，解得， ，
故当 ， 或 ， 时， 与 全等.
23．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
，
∵DC=CE-DE，DE=1.7cm，
∴BE=0.8cm
（2）AD+BE=DE，（不需证明）
（3）（2）中的猜想还成立，
证明：∵ ， ， ，
∴
在 和 中，
，
，
∴ ， ，
∴
24．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=39°，
∴∠ABC=∠ACB=70.5°，
又∵DM为AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA=39°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=31.5°；
（2）解：∵DB=AD，AC=10，BC=8，
∴DB+DC=AD+DC=AC=10.
∴△DBC的周长为DB+DC+BC=18.
25．【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
26．【答案】（1）解：补全的图形如下：
（2）解：过点作于点，连接．
在和中，
∵，，，
∴≌（SSS）．
∴∠PAM=∠PAN．
∴=90°，
∴.
∵，
∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：∠，∠，角的平分线上的点到角的两边的距离相等
27．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：，理由如下：
在DC上截取DE=BD，连接AE，如图所示：
∵，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴AE=EC=AB，
∵，
∴.
28．【答案】（1）解：补全作图如下，
（2）证明：连接BE，BF．
∵ OC＝OD＝CD，
∴ △OCD是等边三角形．
∴∠COD＝60°．
又∵ OE ＝OF，BE ＝ BF，OB＝OB，
∴ △OEB≌△OFB（SSS）（填推理依据）．
∴ ∠EOB＝∠FOB（全等三角形对应角相等）（填推理依据）．
∴ ∠AOB ＝＝30°．
∴∠AOB就是所求的角．
故答案为：60°，SSS，全等三角形对应角相等
29．【答案】（1）解： 是 的对称轴，
， ，
.
是 边的高，
.
平分 ，
.
又 ，
.
.
， .
.
，
，
，
.
（2）证明：
， ，
， .
是等边三角形.
.
.
30．【答案】（1）解：BE=DF，理由是：
∵∠1=∠2，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
∴ ，
∴BE=DF；
（2）5
31．【答案】（1）证明：连接AO，
∵l1是AB的垂直平分线，
∴AO＝BO，
∵l2是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∴BO＝CO，
∴点O在BC的垂直平分线上.
（2）
32．【答案】（1）解：补全的图形如图所示：
（2）证明：连接CD，BD．
∵BD=CD，AB=AC ，
∴AD⊥AB（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）（填推理的依据）．
故答案为：CD，AC，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
33．【答案】（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
当DP⊥BC时，DP=AD，
∵AD=3，
∴DP的最小值是3；
（2）解：∵∠A=90°，
∴BD==5，
当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，
则∠DPB=∠DPC=90°，
∴PB==4，
∴CP=BC-PB=12-4=8，
∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12，
即当DP最小时，△CDP的面积为12．
34．【答案】（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
（2）证明：
∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP ，
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO ，
∵∠CEO+∠DEO =180°，
∴∠CEO＝∠DEO= 90°，
∴OE⊥CD，
∴OP是CD的垂直平分线．
35．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC-∠BAE-∠CAN＝∠BAC-（∠B＋∠C），
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°-∠BAC＝70°，
∴∠EAN＝110°-70°＝40°；
（2）15