2.7.1探索勾股定理
班级_________ 姓名__________
一．学习目标
1．体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．
2．会用勾股定理求直角三角形的边长．
二．学习重难点
1．用面积法推导勾股定理．
2．勾股定理在实际问题中的应用．
三．
商高发现“勾广三股修四弦隅五”
在中国古代，人们把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫
做弦，据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形．如果勾是3，股是4，那么弦等于5，这就是商高发现的“勾股定理”．因此在中国，勾股定理又称“商高定理”．
毕达哥拉斯在朋友的地板上发现：
相传2500多年前，毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，这位善于观察和理解的数学家不只是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇，于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两直角边为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．在西方国家，勾股定理又叫“毕达哥拉斯定理”．
那么什么是勾股定理，勾股定理又有哪些应用呢？为了解开这一数学之谜，让我们走进“勾股定理”的世界．
【探索真理】
b为直角三角形两条直角边，c为斜边，准确地画出图形，通过测量、计算完成下表：
a
b
c
a 2 + b 2
c 2
3
4
6
8
5
12
☆思考：1．写出你从表格当中发现的结论．
2．任意的直角三角形的三边长度都有这样的关系吗？
四．
【验证真理】
赵爽画弦图验证勾股定理：
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行验证的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．
下面，让我们站在巨人的肩上来验证勾股定理：
【合作学习】
剪四个全等的直角三角形纸片（如图1），把它们拼成如图2
所示的图形．
用含有c的代数式表示大正方形的面积______________；
用含有a、b的代数式表示大正方形的面积______________．
（3） 你发现了什么？
★勾股定理：直角三角形两条_____________的平方和等于____________的平方．
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则_________________．
☆思考：迄今为止，勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，你还知道什么证明方法吗？请课后去试一试．
【运用真理】
例1：已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
a=1，b=2，求c.
（2） a=1，c=2，求b.
变式1：已知直角三角形的两边长分别是2cm和3cm，则第三边的长度为_____________.
变式2：用三角尺和圆规，作一条线段，使它的长度为cm.
例2：如图是一个长方形零件图.根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离.
五．知识梳理，方法内化
1．什么是勾股定理？
2．学习勾股定理有什么用处？
能力提升：
如图是一个长，宽，高分别为5 cm，4 cm，3 cm的长方体纸盒.一只小蜜蜂在纸盒内部的A点处想去放在C点的花处采蜜，它飞行的最短路程是__________cm.
六、
1．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，c＝4，求b．
2．用三角尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm．
3．有一只小鸟在一棵高3m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树4m，高6m的一棵大树
的树梢上发出友好的叫声，它立刻以2.5m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒
才可能到达大树树梢和伙伴在一起？
课件11张PPT。AB小蚂蚁 求帮助 如图是一个长，宽，高分别为5 cm，4 cm，3cm的长方体纸盒，一只小蚂蚁在A点处想吃放在B点的粮食.（1）它应该怎样爬行才能使路程最短？思考：（2）最短路程是多少？5cm3cm2.7探索勾股定理——金华四中 陈艳小春西周开国时期（约公元前1000多年） 商高发现勾三股四弦五 2500多年前（约公元前500多年） 毕达哥拉斯在朋友家地板上发现
直角三角形三边的特殊关系. 东汉末至三国时代（约222年） 赵爽画出弦图验证勾股定理 （1）剪四个全等的直角三角形纸片（如图1），
把它们拼成如图2所示的图形．（2）用含有c 的代数式表示大正方形的面积________；
用含有a、b 的代数式表示大正方形的面积_______．（3）你发现了什么？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理图1 总统证法例1：已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c. （1）a=1，b=2，求c （2）a=1，c =2，求b变式1：已知直角三角形的两边长分别是2cm和3cm，则第三边的长度为_______. 变式2：用三角尺和圆规，作一条线段，使它的长度为 cm.读清题意，注意分类讨论如何构造直角三角形是关键，数形结合思想很重要例2：如图是一个长方形零件图.根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离. 构造直角三角形很关键，已知两边求第三边你会了吗？c体会.分享1．什么是勾股定理？
2．学习勾股定理有什么用处？AC一只小蜜蜂在纸盒内部的A点处想去放在C点的花处采蜜，它飞行
的最短路程是_________cm.如图是一个长，宽，高分别为5cm，4 cm，3cm的长方体纸盒.
