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二次函数的性质专题复习（一）——增减性
A组
例1．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
变式1．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2） B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线 x＝2 D．当x＝0时，y有最大值为0
变式2．抛物线y＝（a﹣1）x2﹣2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
例2．二次函数y＝x2+bx+3满足当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，则x＝1时，y的值等于（ ）
A．﹣8 B．0 C．3 D．8
变式．已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为 ．
例3．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1
变式1．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
变式2．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 ．
例4．已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x＜1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是 ．
变式．已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
例5．当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 ．
变式．已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ．
例6．已知二次函数y＝x2+（2m﹣1）x，当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
变式．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
例7．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
D．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
变式．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，3），（4，0），若当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
例8．已知二次函数y＝ax2+ax+c（a≠0）．
（1）若它的图象经过点（﹣1，0）、（1，2），求函数的表达式；
（2）若a＜0，当﹣1≤x＜4时，求函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；
变式．已知二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+．
（1）若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求a的值；
（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
B组
例1．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m＜1 B．﹣3≤m≤1 C．﹣3＜m＜1 D．m≤﹣3或m≥1
变式．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
例2．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤0时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
变式．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．并且，当﹣1≤x≤3时，y有最小值1．则a的值为 ．
例3．已知二次函数（其中m＞0），下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大
B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小
C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
D．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
变式．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围为： ．
例4．从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2﹣＝的解为正数的a共有 个．
变式．若关于x的二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
例5．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式；
（2）若n＝m﹣2，且当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
变式．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
例6．设二次函数y＝（mx﹣2）（x﹣2m），其中m是常数．
（1）当m＝2时，试判断点（1，0）是否在该函数图象上；
（2）用含m的代数式表示函数的对称轴；
（3）当x≥﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
变式1．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式；
（2）当＜x≤时，y随x的增大而减小，求m的最小值.
变式2．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
变式3．已知函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2．
（1）当k＝﹣1时，求函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
（2）试说明函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2始终与x轴有交点．
（3）若函数y2＝6kx+4，且当x≥0时，函数y1和y2均随x的增大而减小求k的取值范围．
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二次函数的性质专题复习（一）——增减性
A组
例1．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
变式1．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．它的图象的对称轴是直线 x＝2
D．当x＝0时，y有最大值为0
【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝﹣1时，y＝2，故它的图象不经过点（﹣1，﹣2），故A选项不合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
它的图象的对称轴是直线 y轴，故C选项不合题意；
当x＝0时，y有最小值为0，故D选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．
变式2．抛物线y＝（a﹣1）x2﹣2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 a＜1 ．
【分析】由抛物线开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大可得a﹣1＜0，进而求解．
【解答】解：由题意得抛物线开口向下，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
例2．二次函数y＝x2+bx+3满足当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，则x＝1时，y的值等于（ ）
A．﹣8 B．0 C．3 D．8
【分析】由已知可得对称轴为x＝﹣2，利用二次函数的性质可得b＝4，从而得出二次函数解析式，把x＝1代入，即可得y的值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+3，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4，
∴二次函数y＝x2+4x+3，
当x＝1时，y＝1+4+3＝8．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
变式．已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为 25 ．
【分析】因为当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x＝﹣2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x＝1，可求出y的值．
【解答】解：∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，
∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣2，解得m＝﹣16，
∴y＝4x2+16x+5，那么当x＝1时，函数y的值为25．
故答案为25．
【点评】本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键．
例3．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（ ）
A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1
【分析】先求出对称轴x＝b，再由已知可得b的范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+bx+3，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴b≤1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．
变式1．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤1 ．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x≥1时，y的值随x值的增大而增大，
∴m≤1．
故答案为：m≤1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
变式2．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+c，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 m≤0 ．
【分析】利用二次函数的图象和性质计算．
【解答】解：a＝﹣1，抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣＝m．
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m≤0．
故答案为：m≤0．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，确定抛物线的开口和对称轴是求解本题的关键．
例4．已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x＜1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是 m＝2 ．
【分析】根据二次函数的对称性及在对称轴两侧的增减变化规律可得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1的对称轴为x＝m，当x＜1时，y随着x的增大而减小
∴当m≥1时都符合要求，故可取m＝2
故答案为：m＝2
【点评】本题考查了二次函数的对称性及二次函数在对称轴两侧的增减变化趋势，本题属于基础题型，难度不大．
变式．已知二次函数y＝﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k≥2 ．
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于k的不等式，可求得答案．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣k，
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞﹣k时，y的值随x值的增大而减小，
而x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小，
所以﹣k≤﹣2，
所以k≥2．
故答案为k≥2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于k的不等式是解题的关键．
例5．当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是 m≥ ．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x为何值时，y随x的增大而减小，从而可以得到m的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x≥时，y随x的增大而减小，
∵当x＞m时，二次函数y＝﹣x2+3x的函数值y随x的增大而减小，
∴m≥，
故答案为：m≥．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
变式．已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ﹣1＜a≤1 ．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，再根据当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大和二次函数的性质，即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴﹣1＜a≤1，
故答案为：﹣1＜a≤1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围，注意a要大于﹣1．
例6．已知二次函数y＝x2+（2m﹣1）x，当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m ．
【分析】先根据函数的解析式和二次函数的性质得出函数的对称轴和开口方向，再根据已知和对称轴得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：二次函数y＝x2+（2m﹣1）x的对称轴是直线x＝﹣＝﹣，
∵二次函数y＝x2+（2m﹣1）x中a＝1＞0，
∴函数的图象的开口向上，
∴当x时，y随x的增大而减小，
∵当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而减小，
∴﹣≥0，
解得：m，
故答案为：m．
【点评】本题考查了二次函数的性质和图象和解一元一次不等式，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
变式．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣1≤a＜2 ．
【分析】由题意得：Δ＜0，解得a＜2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，即可求解．
【解答】解：由题意得：△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵1＞0，故抛物线开口向上，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2，
故答案为：﹣1≤a＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
例7．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
D．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
【分析】把a＝1，x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△＝8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x＝1判断二次函数的增减性．
【解答】A、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故A错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；
C、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，
∴函数图象不经过点（﹣1，1），故C错误，不符合题意；
D、当a＝﹣2时，∵△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，3），（4，0），若当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣a≤且a≠0 ．
【分析】将已知点代入解析式，用含a的代数式表示b，再表示出对称轴，根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：将（1，3）代入y＝ax2+bx+c得3＝a+b+c①，
将（4，0）代入y＝ax2+bx+c得0＝16a+4b+c②，
由②﹣①得﹣3＝15a+3b，
∴5a＝﹣1﹣b，b＝﹣5a﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝+，
∵当1＜x＜4时．y随着x的增大而减小，
a＜0时，+≤1，
解得﹣≤a＜0，
a＞0时，+≥4，
解得0＜a≤，
综上所述，﹣a≤且a≠0．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．
例8．已知二次函数y＝ax2+ax+c（a≠0）．
（1）若它的图象经过点（﹣1，0）、（1，2），求函数的表达式；
（2）若a＜0，当﹣1≤x＜4时，求函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）求得抛物线的对称轴，利用二次函数的性质即可求得函数值y随x的增大而增大时x的范围；
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣1，0）、（1，2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x；
（2）二次函数y＝ax2+ax+c的对称轴为直线x＝﹣，
∵a＜0，
∴当x≤﹣时，函数值y随x的增大而增大，
∵当﹣1≤x＜4时，函数值y随x的增大而增大，
∴此时x的取值范围为：﹣1≤x≤﹣；
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，配方法，函数的极值，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式．已知二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+．
（1）若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求a的值；
（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴即可求出a的值．
（2）根据题意列出不等式即可求出a的范围．
【解答】解：（1）由题意可知：＝1，
∴a＝﹣1．
（2）当a＞0时，抛物线开口向上，此时不满足题意，
当a＜0时，
∴≤2，
∴a≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键根据题意是列出算式，本题属于基础题型．
B组
例1．已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m＜1 B．﹣3≤m≤1 C．﹣3＜m＜1 D．m≤﹣3或m≥1
【分析】利用抛物线与x轴有交点，则Δ≥0，解不等式即可得到m的范围；﹣1＜0，则抛物线的开口向下，利用题意得到抛物线的对称轴的位置，利用抛物线的性质可得m的范围，综合以上信息即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象与x轴有交点，
∴Δ≥0．
∴（2m）2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣m+1）≥0．
解得：m≤1．
∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的图象的对称轴为直线x＝m．
∵当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴m≥﹣3．
∴﹣3≤m≤1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
变式．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ﹣2≤a＜4 ．
【分析】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，可得a≥﹣2，从而得出选项．
【解答】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9
＝x2﹣2ax+a2﹣2a+8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝a，抛物线开口向上，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∴a≥﹣2，
∴实数a的取值范围是﹣2≤a＜4．
故答案为：﹣2≤a＜4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
例2．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣3≤x≤0时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或﹣2 B．或 C． D．1
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣3≤x≤0时，y的最大值为9，可得x＝﹣3时，y＝9，即可求出a．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣3≤x≤0时，y的最大值为9，
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣6a+3a2+3＝9，
∴a2+a﹣2＝0，
∴a＝1或a＝﹣2（不合题意舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
变式．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．并且，当﹣1≤x≤3时，y有最小值1．则a的值为 ．
【分析】解析式化成顶点式，得到顶点为（2，3a2﹣4a﹣6），对称轴为直线x＝2，根据当x＜0时，y随x的增大而减小，即可得到开口向上，a＞0，由当﹣1≤x≤3时，y有最小值1可知顶点为（2，1），即可得到3a2﹣4a﹣6＝1，解方程组即可求得a的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6＝a（x﹣2）2+3a2﹣4a﹣6，
∴顶点为（2，3a2﹣4a﹣6），对称轴为直线x＝2，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴开口向上，a＞0，
∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值1，
∴顶点为（2，1），
∴3a2﹣4a﹣6＝1，
解得，a＝或a＝﹣1，
∵a＞0，
a的值为，
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，得到关于a的方程是解题的关键．
例3．已知二次函数（其中m＞0），下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大
B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小
C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
D．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则
【分析】求出抛物线的对称轴直线，根据m＞0，即可得到答案．
【解答】解：在y＝（x﹣）（mx﹣4m）中，令y＝0得x＝或x＝4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝2+，
∵m＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据已知求出抛物线的对称轴直线．
变式．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1） ；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围为： m≥﹣1 ．
【分析】（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；
（2）根据题意和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，即可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，
当x＝0时，y＝0+0+1＝1，
∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数），k＞0，
∴该抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，
∵对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，
∴m≥﹣1，
故答案为：m≥﹣1．
例4．从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，且使关于x的分式方程2﹣＝的解为正数的a共有 2 个．
【分析】根据关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，可得抛物线对称轴不小于﹣1，根据关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，可得x＞0，解得a＜3，进而可得a的取值范围，得结论．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，
∴抛物线对称轴方程x＝＝，
即≥﹣1，
解得a≥1，
∵关于x的分式方程2﹣＝的解为正数，
∴x＞0，
解分式方程，得x＝6﹣2a，
∴6﹣2a＞0，
解得a＜3，
∴1≤a＜3，
∵从﹣2，0，1，，，3这六个数中，随机抽取一个数记为a，
∵解分式方程，得x＝6﹣2a，
当a＝时，x＝3，原分式方程的分母为0，
∴a≠，
∴符合条件的正数a共有2个，为1，．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的解、二次函数的性质，解决本题的关键是综合运用分式方程的解和二次函数的性质．
变式．若关于x的二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．
【解答】解：解分式方程可得y＝，
∵分式方程的解是正整数，
∴≠1，a＞﹣5且a+5是2的倍数，
∴a＞﹣5，a≠﹣3且a+5是2的倍数，
∵二次函数y＝﹣x2+（2a﹣12）x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝a﹣6，
∴当x＞a+6时，y随x的增大而减小，
∵当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴a﹣6≤﹣1，解得a≤5，
综上可知满足条件的a的值为﹣1，1，3，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣1+1+3+5＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a的值是解题的关键．
例5．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式；
（2）若n＝m﹣2，且当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）将点（2，6）代入函数解析式，求出m，n．
（2）根据二次函数的增减性与对称轴的关系求解．
【解答】解：（1）∵m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），
∴6＝（2﹣1）（2﹣n），
∴n＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+3x﹣4．
（2）函数y＝（x﹣m）（x﹣n）中，当y＝0时，（x﹣m）（x﹣n）＝0．
∴x＝m或x＝n．
∵n＝m﹣2，
∴抛物线的对称轴为：x＝＝＝m﹣1，
∵当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，抛物线开口向上，
∴对称轴x＝m﹣1≥﹣3，
∴m≥﹣2．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
变式．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．
（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．
（2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线x＝m﹣，根据二次函数的性质即可得出m﹣≥﹣2，解得即可；
【解答】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n），
把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），
∴n＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；
（2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n），
∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴n＝m﹣1，
∴对称轴为直线x＝m﹣，
∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∴m﹣≥﹣2，
∴m≥﹣；
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
例6．设二次函数y＝（mx﹣2）（x﹣2m），其中m是常数．
（1）当m＝2时，试判断点（1，0）是否在该函数图象上；
（2）用含m的代数式表示函数的对称轴；
（3）当x≥﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
【分析】（1）把点（1，0）代入解析式即可确定答案；
（2）求得抛物线与x轴的交点，进而即可求出抛物线的对称轴；
（3）根据当x≥﹣2时y随x的增大而减小可得m＜0，再结合对称轴列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，y＝（2x﹣2）（x﹣4），
取x＝1，则y＝（2﹣2）（1﹣4）＝0，
∴（1，0）在该函数图象上；
（2）∵y＝（mx﹣2）（x﹣2m），
∴函数图象与x轴的交点为（，0），（2m，0），
∴抛物线的对称轴为x＝；
（3）∵当x≥﹣2时，y随x的增大而减小，
∴，
解得m≤﹣2，
∴m的范围为m≤﹣2．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会根据解析式判断一个点是否在函数图象上，牢记抛物线的对称轴公式和增减性．
变式1．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式；
（2）当＜x≤时，y随x的增大而减小，求m的最小值.
【分析】（1）把（﹣1，8）代入函数解析求出m，进而求解．
（2）先求出抛物线对称轴方程x＝m+1，由抛物线开口向上得x≤m+1，进而求解．
【解答】解：（1）把（﹣1，8）代入y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得：
1+2（m+1）+3﹣m＝8，
解得m＝2，
∴函数解析式为y＝x2﹣6x+1．
（2）由y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m得抛物线对称轴为直线x＝m+1，
∵抛物线开口向上，
∴当x≤m+1时，y随x增大而减小，
∴，
解得m≥1，
∴m最小值为1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，用分类讨论的方法求解．
变式2．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．
（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【分析】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；
（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到，解得m≤﹣6；
（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，
解得：，
∴函数y的表达式y＝x2+x+；
（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，即m≤﹣6；
（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，或a＝﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．
变式3．已知函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2．
（1）当k＝﹣1时，求函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
（2）试说明函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2始终与x轴有交点．
（3）若函数y2＝6kx+4，且当x≥0时，函数y1和y2均随x的增大而减小求k的取值范围．
【分析】（1）把k＝1代入y＝kx2+（3k+2）x+2k+2，即可求出结果；
（2）Δ＝b2﹣4ac＝（3k+2）2﹣4k（2k+2）＝（k+2）2≥0，即可求解；
（3）先根据函数的增减性得出k＜0，进而判断二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴或在y轴左侧，据此列出关于k的不等式求解即可．
【解答】解：（1）k＝﹣1时，y＝﹣x2﹣x，
∴函数的顶点坐标为（﹣，），
令y＝0，则﹣x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（0，0），
∴当k＝﹣1时，函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2的顶点坐标为（﹣，），与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（0，0）；
（2）当k＝0时，y＝2x+2与x轴交于（﹣1，0），
当k≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝（3k+2）2﹣4k（2k+2）＝（k+2）2≥0，
∴函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2始终与x轴有交点；
（3）∵当x≥0时，函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2和y2＝6kx+4均随x的增大而减小，
∴6k＜0，解得：k＜0，
∴函数y1＝kx2+（3k+2）x+2k+2的图象开口向下，且抛物线的对称轴在y轴或是y轴左侧，
∴，解得k≥，
∴．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标及抛物线与x轴的交点及函数的增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键．
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