专题：等腰三角形解答题精选（含解析）

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等腰三角形解答题精选（含解析）
一、解答题
1．
如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数.
2．如图，点E是△ABC的BC边上的一点，∠AEC＝∠AED，ED＝EC，∠D＝∠B，求证：AB＝AC.
3．如图,△ABC中,∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数.
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为D．若△ABC的周长为20cm，△BCE的周长为12cm，求BC的长．
5．如图，在 中， 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ， 的垂直平分线正好经过点 ，与 相交于点 .求 的度数.
6．如图，F是等边△ABC的边AC的中点，D在边BC上，△DEF是等边三角形，连接CE，ED的延长线交AB于H，求证：CF+CE＝CD．
7．已知：如图，D是△ABC的BC边的中点， ， 且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E，已知△ADE的周长为20cm，且BC=12cm，求△ABC的周长．
9．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明；如不正确，请举反例说明．
11．如图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.
求证:BD=2CE.
12．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若AB＝12，试求BF的长．
13．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．
14．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.
他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D．将∠BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形.
喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.
他的做法是：
如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论：
当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．
请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．
15．阅读下列材料，解答问题：
定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线.
（1）如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD为△ABC的完美分割线，且BD（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC完美分割线.
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：DB1=EC.
16．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y， ∠AED=∠EDC+∠C=x+y， 又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y， 则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y， 又因为∠ADC=∠B+∠BAD， 所以2x+y=y+30， 解得x=15， 所以∠EDC的度数是
【解析】【分析】可以设 根据 即可列出方程，从而求解.
2．【答案】解：在△AED与△AEC中
，
∴△AED≌△AEC（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵∠D＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
【解析】【分析】由SAS证明△AED与△AEC全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可.
3．【答案】解：∵DE⊥BC，E是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，
∵△ABC中，∠A＝90 ，
∴∠ABC＋∠C＝3∠C＝90 ，
∴∠C＝30 .
【解析】【分析】由DE⊥BC，E是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD＝CD，又由等边对等角，可得∠CBD＝∠C，由BD为∠ABC平分线，即可求得∠ABD＝∠CBD＝∠C，然后由△ABC中，∠A＝90 ，求得答案.
4．【答案】解：∵AB=AC，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=12，
∵△ABC的周长为20cm，
∴BC=20﹣12=8cm
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．
5．【答案】解：连BE，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C= ①，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴∠A=∠ABE，
∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，
∴BF是∠EBC的平分线，
∴ （∠ABC-∠A）+∠C=90°，即 （∠C-∠A）+∠C=90°②，
①②联立得，∠A=36°.
故∠A=36°，
即 的度数是 .
【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再由垂直平分线的性质及等边对等角得出∠A=∠ABE，根据CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，故BF是∠EBC的平分线，故 （∠ABC-∠A）+∠C=90°，把所得等式联立即可求出∠A的度数.
6．【答案】证明：在BC上截取CG＝CF，连接FG．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴FG＝FC，∠GFC＝60°，
∵△DFE是等边三角形，
∴FD＝FE，∠DFE＝60°，
∴∠DFG＝∠EFC，
在△DFG与△EFC中，
∴△DFG≌△EFC（SAS）．
∴DG＝EC，
CF+CE＝CD．
【解析】【分析】在BC上截取CG═CF，连接FG，根据SAS证明△DFG≌△EFC即可得出结论．
7．【答案】证明：∵D是△ABC的BC边的中点
∴ BD=CD
∵ ，
∴ △BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ ∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形．
【解析】【分析】先根据DE⊥AC，DF⊥AB，得出△DEC和△DFB是直角三角形，再根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF，证出∠C＝∠B，从而判断出△ABC的形状．
8．【答案】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F
∴∠DBF=∠FBC
又∵DE∥BC∴∠DFB=∠FBC
∴∠DFB=∠DBF∴BD=DF
同理EC=EF
∵△ADE的周长为20cm，即AD+AE+DF+EF=20cm，
∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm
又∵BC=12cm，∴AB+AC+BC=32cm
即△ABC的周长为32cm
【解析】【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，得BD=DF，同理EC=EF，利用等量代换，将已知数值代入即可求得答案．
9．【答案】解：在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），
∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，
在△BEP和△CFP中，
，
∴△BEP≌△CFP（AAS），
∴PB=PC，
∵BF=CE，
∴PE=PF，
∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE
【解析】【分析】可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明△BEP≌△CFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF．
10．【答案】解：小莉说法正确．
证明：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF．
则∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC． ∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．
∵ AD⊥BC，∴ ∠ADE＝∠ADF＝90°． ∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF（SAS）． ∴ ∠E＝∠F． ∴ ∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．
∴∠ABC＝∠ACB． ∴ AB＝AC． 即△ABC是等腰三角形．
【解析】【分析】做辅助线构造三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得出角，边相等的关系，判定 △ADE≌△ADF，再由两边相等的三角形为等腰三角形
11．【答案】证明:延长CE交BA的延长线于点F,如图所示.∵CE⊥BE,∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= CF,即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°,∠F+∠ACF=90°,∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
【解析】【分析】延长CE交BA的延长线于点F,如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE=CF, 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE 。
12．【答案】（1）证明：如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM=BE，
∴CD=BE
（2）解：∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4
【解析】【分析】（1）作DM∥AB，交CF于M，先证得△CDM是等边三角形，再根据ASA判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形和等边三角形的性质得出CD=BE。
（2）在Rt△ADE中，先求得∠E=30°，由△DMF≌△EBF可得MF=BF，等量代换可得CM=MF=BF，最后再根据AB=BC求得BF的值。
13．【答案】解：①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．
证明：如图1，
，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠C0B，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠C0B，
∴∠DOC=∠DC0，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴ ，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．
②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．
证明：如图2，
，
由①，可得
OD=DC=CM﹣DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，
即OD=ON﹣DM．
【解析】【分析】①当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．②当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由①，可得OD=DC=CM﹣DM，再根据CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．
14．【答案】解：结论1：当三角形中的两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 结论2：当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.
解：如图1，
∠BAC=3∠C，作AD使∠CAD=∠C，
则∠BAD=∠BAC-∠CAD=2∠C，
又∠ADB=∠CAD+∠C=2∠C，
所以，△ACD与△ABD都是等腰三角形；
如图2，
∠A+∠B=90°，
则∠ACB=180°-90°=90°，
作CD，使∠ACD=∠A，
则∠BCD=90°-∠ACD=90°-∠A=∠B，
即∠BCD=∠B，
所以，△ACD与△BCD都是等腰三角形．
【解析】【分析】 结论1：当三角形中的两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 结论2：当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 根据图1、图2，利用等腰三角形的判定解答即可.
15．【答案】（1）36 ；72
（2）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=
∵BE为△ABC的角平分线
∴
∴∠ABE=∠A
∴AE=BE∵∠BEC=180 –∠C–∠CBE=72
∴∠BEC=∠C
∴BE=BC
∴△ABE、△BEC均为等腰三角形
∴BE为△ABC的完美分割线．
（3）证明：∵AD是△ABC的一条完美分割线
∴AD=BD，AC=CD
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180 ，∠ADB+∠CDA=180
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD
∴∠CAD=2∠BAD
∵∠BAD=∠B1AD
∴∠CAD=2∠B1AD
∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE
∴∠B1AD=∠CAE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B=∠B1
∴∠B1=∠C
∵AB=AB1
∴AB1= AC
∴△AB1D≌△ACE
∴DB1=CE
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B= =36°，∵AD为△ABC的完美分割线，BD故答案为72°.
【分析】（1）不难得出△ABD与△ACD是等腰三角形，由BD16．【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD．
（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
（3）解：猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【解析】【分析】（1）证明线段和差可转化为证线段相等，本题采取截长法，利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质即可获得证明；（2）尽管弱化了条件∠ACB≠90°，类比（1）的转化方法不难得到同样的结论；（3）尽管与（1）相比弱化了条件，同时改变了AD由内角平分线变为外角平分线，但受（1）的思路启发，同样可采用截长法，利用全等三角形判定和性质、等腰三角形判定和性质、三角形外角性质，即可找到三条线段的数量关系。本题充分利用角平分线构造全等三角形从而把问题进行转化是解题的关键，同时要善于把问题前后联系起来，学会类比思考分析。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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