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浙教版2022-2023学年九上数学二次函数专题1图像与系数关系（解析版）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有20小题，每小题4分，共80分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数 的图象如图所示，在下列五个结论中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴x=- >0，
∴b＜0，
∵- ＜1，
∴2a>-b，
∴2a-b＞-2b，
∵b＜0，
∴-2b>0，
即2a-b>0，故①错误；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc＞0，所以②错误；
如图所示：
当x=1时，y=a+b+c＜0，
故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c>0，故④正确；
当x=2时，y=4a+2b+c>0，故⑤正确，
故错误的有3个.
故答案为：C.
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am2＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①不符合题意；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②不符合题意；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④符合题意．
故答案为：B．
3．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），-2＜x1＜-1，
∴3＜x2＜4，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴3a+2b=3a-4a=-a
∵a＞0，
∴3a+2b=-a＜0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，故③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，故④错误；
∴正确的个数有2个.
故答案为：B.
4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个.
故答案为：C.
5．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1=，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
根据图象知道当x=1时，y=a+b+c>0，
∴②符合题意；
由①知道=1，
∴ 2a+b=0，故③符合题意；
根据图象知道，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故④符合题意．
故答案为：D．
6．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，
∴结论①不符合题意．
∵抛物线的对称轴x=-1， ∴当x＞-1时，y随x增大而减小，
∴结论②符合题意．
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当时，
∴结论③符合题意．
∵y=ax2+bx+c的最大值是2，
∴方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m＞2，
∴结论④符合题意．
∵抛物线的对称轴， ∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴结论⑤符合题意．
综上，可得符合题意结论的序号是：②③④⑤．
故答案为：D．
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D( 1，2)，与x轴的一个交点A在点( 3，0)和( 2，0)之间，其图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同交点，
因此b2-4ac＞0，A不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点在（0，0），（1，0）之间，
∴当x=1时，y=a+b+c＜0，B不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），
∴-=-1，a-b+c=2，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即a=c-2，C符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c>0，D不符合题意；
故答案为：C．
8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a＋c＜0，③2a＋b＞0，④方程ax2＋bx＋c＋m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵二次函数图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），且2＜m＜3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴是直线：x＝，
∵2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴＜＜1，
∴＜﹣＜1，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∴＞0，
故①符合题意；
把点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得：a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
由①得：﹣＞，
∵a＞0，
∴a+b＜0，
∴a+a+c＜0，
∴2a+c＜0，
故②符合题意；
由（1）知﹣＜1，a＞0，
∴2a+b＞0，
故③符合题意；
④方程ax2+bx+c+m＝0可以转化为ax2+bx+c＝﹣m，
由图可知：
直线y＝﹣m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象抛物线有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣m有两个不相等的实数根，
故④符合题意．
故答案为：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a-b+c＞0；④ 8a+c＜0，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b＞0，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b24ac＞0，故②正确；
由图象可知，当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴，
∴b=-2a，
∵当x=-2时，4a-2b+c＜0，
∴4a+4a+c＜0，
即8a+c＜0，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个，故B正确.
故答案为：B.
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a﹣b＋1＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为，
即1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a．
∵a＜0，对称轴x0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故符合题意；
②根据题意画大致图象如图所示，
当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②不符合题意；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论符合题意，
④由4a﹣2b+c＝0得2a﹣b，而0＜c＜2，
∴，
∴﹣1＜2a﹣b＜0，
∴2a﹣b+1＞0，所以结论符合题意．
故答案为：B．
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出五个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a<0，c＞0，
∵对称轴为直线x==-1，
∴b<0，2a=b，
∴abc>0，2a-b=0，故①②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴>0，即 ，故③正确；
∴B（﹣，y1）距离对称轴较近，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，故④正确；
∵当x=-1时，y值最大，
∴am2+bm+c≤a﹣b+c，故⑤不正确；
综上，正确的结论是：①②③④共4个.
故答案为：D.
12．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②符合题意；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，故③符合题意；
在中，
令，则，
令，，
由两式相加，得，故④符合题意；
综上，正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
13．二次函数的图象经过点，(2，0)，且，与y轴正半轴的交点在的下方，那么以下结论：①；②；③；④．那么其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】∵图象开口向下
∴a＜0
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方
∴0＜c＜2
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为（x1，0）和（2，0），且-2＜x1＜-1
∴0＜＜
∵a＜0，c＞0，0＜即b＞0，
∴abc＜0，
故①符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为（x1，0）和（2，0），且-2＜x1＜-1
∴，即，
故②符合题意；
当x=2时，y=4a+2b+c=0，
∵c＜2，
∴c=-4a-2b＜2，
即2a+b+1＞0，
故③不符合题意；
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，
∴2x1=，即x1=，
而-2＜x1＜-1，
∴-2＜＜-1，
∵a＜0，
∴-4a＞c＞-2a，
∴2a+c＞0，
故④符合题意．
故答案为：C．
14．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①由函数图象可得：对称轴为直线，
∴b=-2a，
∴b+2a=0，①符合题意；
②由图象及对称轴可得，抛物线与x轴的两个交点关于x轴对称，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴的解集为：，②不符合题意；
③当x=2时，y=4a+2b+c，
由②可得当时，y<0，
∴4a+2b+c<0，③符合题意；
④当x=-1时，a-b+c=0，
∵b=-2a，
∴c=-3a，
∴8a+c=8a-3a=5a，
∵开口向上，
∴a>0，
∴8a+c>0，④不符合题意；
综上可得：①③符合题意，
故答案为：B．
15．如图是二次函数的图像如图所示，图像过点（-3，0），对称轴在-1和-2之间，给出四个结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】B
【解析】①由图像可知：该函数图象的开口向下， ，
图像过点（-3，0），
该函数图象必与x轴有两个不同的交点，
，即，故①符合题意；
②对称轴在-1和-2之间，
，即 ，
，故②不符合题意；
③对称轴在-1和-2之间，图像与x轴的一个交点为（-3，0）
当x=-1时，，故③不符合题意；
④对称轴在-1和-2之间，
，
，
， ，
，故④符合题意．
故答案为：B．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确.
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误.
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：
设y1＝ax2+bx+c，，
由图知，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误.
故答案为：C.
17．如图，抛物线yax2＋bx＋c（a＞0）与x轴交于A（，0）、B两点，与y轴交于点C，点（m，n）与点（3，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2＋bx＋c20有两个不相等的实数根；③a＋c＜0；④当xt2时，y＞c．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵点（m-5，n）与点（3-m，n）在该抛物线上，
∴该抛物线的对称轴是直线．
∵，
∴．
故①符合题意．
∵由抛物线的图象可知y=ax2＋bx＋c（a＞0）与直线y=2有两个交点，
∴方程ax2＋bx＋c=2有两个不相等的实数根，即方程ax2＋bx＋c2=0有两个不相等的实数根．
故②符合题意．
∵，，
把点A坐标和点B坐标代入抛物线解析式得
用a来表示b和c得
∴．
∵a>0，
∴，即．
故③符合题意．
∵，
∴．
∵抛物线的对称轴是直线x=-1．
∴当x=-2和当x=0时的函数值相同．
∵c表示当x=0时的函数值，
∴当x=-2时，y=c．
故④不符合题意．
故①②③符合题意，共3个．
故答案为：C．
18．如图，二次函数 的图象与x轴交于点 A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ① ；② ；③ ；④若 ， 是方程 的两个根，则有 ．其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵ ＞0，
∴b＞0，
∴ab＜0，
∵c＞0，
∴ ，
故结论①符合题意；
∵二次函数 的图象与x轴交于点 A（3，0），对称轴为直线x =1，
∴9a+3b+c=0， ，
∴3a+c=0，
故结论②符合题意；
∵3a+c=0，且 ，
∴ ，
解得 ，
故结论③符合题意；
∵二次函数 的图象与x轴交于点 A.（3，0），对称轴为直线x =1，
∴ ，
解得 ，
故抛物线与x轴另一个交点为(-1，0)
∴方程 的两个根是抛物线 与y=m的交点的横坐标，画图如下，数形结合思想判断，得 ．
故结论④符合题意．
故答案为：D．
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2如，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b2+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为0＜x=＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，故②错误
而抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故③正确
∵函数经过点（1，2），
∴a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
∵当时，，时，
∴4a+2b+c＜0，a-b+c＜0．故①正确
∴2a+2c＜2，2a-c＜-4，
∴4a-2c＜-8，
∴6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：C．
20．求二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中，正确的结论有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①不符合题意；
∵抛物线 与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为 ，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜ ＜-2，所以②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且c＜-1，∴当 时， ， 所以③符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴当 时， ，
当 代入 得： ，
∵ ，∴ ，即 ，所以④不符合题意；
∵对称轴为直线 ，∴ ，
∵由于 时， ，∴ 0，所以 0，解得 ，
根据图象得 ，∴ ，所以⑤符合题意.
所以②③⑤符合题意，
故答案为：C．
二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
21．二次函数＝的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线=2，下列结论：①bc＜0；②＝；③；④（为任意实数）；⑤当时，的值随值的增大而增大；其中正确的结论有 （填序号）.
【答案】①②④
【解析】∵函数图象开口向下，
∴
∵图象交y轴的正半轴
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴4a+b=0，故②正确；
当x=3时，y=9a3b+c＜0，即9a+c＜3b，故③不正确；
∵当x=2时，y最大=4a+2b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
∴4a+2b≥am2+bm，故④正确；
在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，故⑤不正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④.
22．如图所示，抛物线的顶点为B（－1，3），与x轴的交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，以下结论：①，②，③；④，其中正确的是 ．（填序号）
【答案】②③④
【解析】抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b 4ac>0，故①不符合题意；
由于对称轴为x= 1，
∴x= 3与x=1关于x= 1对称，
∵x= 3时，y<0，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故③符合题意；
∵对称轴为x= = 1，
∴2a b=0，故②符合题意；
∵顶点为B（ 1，3），
∴y=a b+c=3，
∴y=a 2a+c=3，
即c a=3，故④符合题意；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
23．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0； ②abc＞0 ③4ac﹣b2＜0； ④9a+3b+c＜0； ⑤8a+c＜0． 其中正确的结论有
【答案】②③④
【解析】①抛物线的对称轴为x=-=1，b=-2a，
所以2a+b=0，故①不符合题意；
②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=-＞0故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②符合题意；
③由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，故③符合题意；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④符合题意；
⑤由图知：当x=-2时y＞0，所以4a-2b+c＞0，因为b=-2a，所以4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故⑥不符合题意；
所以这结论正确的有②③④．
24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）.则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为 .
【答案】①④
【解析】∵抛物线的对称轴为：
即 故①符合题意；
对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为：
所以当y＜0时，x＜﹣1或x＞3，故②不符合题意；
抛物线的开口向下，图象与y轴交于正半轴，
则 故③不符合题意；
当 时， 而
故④符合题意；
综上：符合题意的有：①④.
故答案为：①④.
25．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）.
【答案】①②④
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c=3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ ，即 ，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在-1到0之间，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在2到3之间，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵当x=-1时， ，
∴ 即 ，故③错误，
故答案为：①②④.
26．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④中正确的是 ．
【答案】①③④
【解析】①根据图示知，该函数图象的开口向下，
∴a<0；
故①符合题意；
②当x=3时，故②不符合题意；
③该函数图象交于y轴的正半轴，∴c>0，故③符合题意；
④观察图像，结合抛物线的对称轴可知：，故④符合题意；
所以①③④四项符合题意．
故答案为：①③④．
27．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
【答案】①②③
【解析】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①符合题意；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②符合题意．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③符合题意；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④不符合题意．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤不符合题意．
故答案为：①②③．
28．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象开口向下，且经过A（﹣3，3），B（0，3）．下列四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若﹣3≤x≤﹣2，对应的y的整数值有3个，则﹣1.5＜a≤﹣1；④若一次函数y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c的图象有唯一公共点（﹣1，n），则k＝2a．其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②③
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象开口向下，且经过A（﹣3，3），B（0，3）．大致图像如下：
∴抛物线的对称轴是：直线，c=3，
∴，
∵a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①符合题意；
由图像可知：当x=-2时，y=4a-2b+c=＞0，故②符合题意；
∵，
∴b=3a，
∵c=3，
当x=-3时，y=9a-3b+c=3，当x=-2时，y=4a-2b+c=-2a+3，
∵由图像可知：当-3≤x≤-2时，y随x的增大而增大，
∴3≤y≤-2a+3，
∵对应的y的整数值有3个，应该为3，4，5，
∴5≤-2a+3＜6，即：﹣1.5＜a≤﹣1，故③符合题意；
∵y＝ax2+bx+c= ax2+3ax+3，
联立，可得：，
∵一次函数y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c的图象有唯一公共点（﹣1，n），
∴有两个相等的根：=-1，
∴ ，解得：a=k，故④不符合题意．
故答案是：①②③．
29．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）．
【答案】①②③④⑤
【解析】∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴
∴abc＞0，故①符合题意；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（a+b）≤﹣a，
故③符合题意；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，故④符合题意；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤符合题意，
故答案为：①②③④⑤．
30．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④ ＜a＜ .其中正确的选项是 .（填序号）
【答案】①④
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝1＞0，a、b异号，
∴b＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣b2＜8a，
故③不正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
又∵x1 x2＝ ，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
因此 ＜a＜ ，
故④正确，
综上所述，正确的结论有三个：①④，
故答案为：①④.
④.
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浙教版2022-2023学年九上数学二次函数专题1图像与系数关系
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有20小题，每小题4分，共80分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数 的图象如图所示，在下列五个结论中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am2＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第5题） （第6题） （第7题）
6．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D( 1，2)，与x轴的一个交点A在点( 3，0)和( 2，0)之间，其图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a＋c＜0，③2a＋b＞0，④方程ax2＋bx＋c＋m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（第8题） （第9题） （第11题） （第12题）
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a-b+c＞0；④ 8a+c＜0，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a﹣b＋1＞0，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出五个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③4ac﹣b2＜0；
④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；
⑤am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．二次函数的图象经过点，(2，0)，且，与y轴正半轴的交点在的下方，那么以下结论：①；②；③；④．那么其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
14．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②关于的不等式的解集为；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图是二次函数的图像如图所示，图像过点（-3，0），对称轴在-1和-2之间，给出四个结论：①②③④．其中正确的结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
（第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
17．如图，抛物线yax2＋bx＋c（a＞0）与x轴交于A（，0）、B两点，与y轴交于点C，点（m，n）与点（3，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2＋bx＋c20有两个不相等的实数根；③a＋c＜0；④当xt2时，y＞c．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，二次函数 的图象与x轴交于点 A（3，0），与y轴的交点B在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ① ；② ；③ ；④若 ， 是方程 的两个根，则有 ．其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2如，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0；②2a+b＞0；③b2+8a＞4ac；④a＜﹣1．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第19题） （第20题）
20．求二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中，正确的结论有（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
21．二次函数＝的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线=2，下列结论：①bc＜0；②＝；③；④（为任意实数）；⑤当时，的值随值的增大而增大；其中正确的结论有 （填序号）.
（第21题） （第22题） （第23题） （第24题）
22．如图所示，抛物线的顶点为B（－1，3），与x轴的交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，以下结论：①，②，③；④，其中正确的是 ．（填序号）
23．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0； ②abc＞0 ③4ac﹣b2＜0； ④9a+3b+c＜0； ⑤8a+c＜0． 其中正确的结论有
24．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）.则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为 .
25．如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x=1，则下列结论中：①c=3；②2a+b=0；③8a-b+c>0；④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）.
（第25题） （第26题） （第27题）
26．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④中正确的是 ．
27．小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
28．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象开口向下，且经过A（﹣3，3），B（0，3）．下列四个结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若﹣3≤x≤﹣2，对应的y的整数值有3个，则﹣1.5＜a≤﹣1；④若一次函数y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c的图象有唯一公共点（﹣1，n），则k＝2a．其中正确的结论是 （填写序号）．
29．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）．
30．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④ ＜a＜ .其中正确的选项是 .（填序号）
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