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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（ ）上.
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法不正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
4．一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b＋2c＞0.你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ）
A．一直增大 B．始终不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
7．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）
A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
8．“如果二次函数 的图像与 轴有两个交点，那么一元二次方程 有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若 、 是关于 的方程 的两根，且 ，则 ， ， ， 的大小关关系是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数 的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3 B．-5 C．-3 D．5
10．，点是函数图象上任意一点，（ ）
A．若，则y0<﹣（x1﹣x2）2 B．若，则y0>﹣（x1﹣x2）2
C．若，则y0≤﹣（x1﹣x2）2 D．若，则y0≥﹣（x1﹣x2）2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 0．（填“＜”或“＞”）
12．若二次函数 在 时的最小值为6，那么m的值是 .
13．已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，点C是线段的中点，将线段绕点C顺时针旋转得到，过A、B、D三点作抛物线．当时，抛物线上最高点的纵坐标为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）．
16．如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论：①无论 取何值， 2的值总是正数；② ；③当 时， ；④ ．其中正确结论是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知函数y＝x2-2kx＋k2+1.
（1）求证：不论k取何值，函数y>0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标.
18．某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
x（元／kg） 9 10 11
y(kg) 2100 2000 1900
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若当－2≤x≤3时，y的最大值是7，求a的值；
（3）若点A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，且mn<0，求a的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线 ，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 ， .
（1）求抛物线的解析式.
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）设抛物线上的一点 的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使 的面积为最大整数时点P的坐标.
21．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx－3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数 的图象和性质进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示.请根据函数图象完成以下问题：
（1）观察发现：
①写出该函数的一条性质 ；
②函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程 有 个实数根；
（2）分析思考：
③方程 的解为 ；
④关于 的方程 有4个实数根时，m的取值范围是 ；
（3）延伸探究：
⑤将函数 的图象经过怎样的平移可以得到函数 的图象，直接写出平移过程.
24．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 培优测试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数y＝x2－2x的图象先沿x轴翻折，
∴翻折后的解析式为 ，
∵函数图象再向上平移5个单位长度，
∴解析式为： ；
故答案为：A.
2．在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（ ）上.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 =（x-m-1）2+m2+1，
∴抛物线的顶点（m+1，m2+1），
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法不正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
【答案】B
【解析】∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A不符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B符合题意；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C不符合题意；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D不符合题意；
故答案为：B．
4．一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
【答案】C
【解析】如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y= =2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中.
故答案为：C.
5．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b＋2c＞0.你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝＝，
∴3b＝2a，则a＝b，
∴b＜0，
∵图象交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误，选项④正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a＋b＋c＜0，故选项②正确；
③抛物线与x轴有两个交点，则b2 4ac＞0，则4ac b2＜0，
故选项③错误；
⑤当x＝ 1时，y＝a b＋c＞0，
∴b b＋c＞0，
∴b＋2c＞0，故选项⑤正确；
故正确的有3个.
故答案为：B.
6．如图，二次函数 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（ ）
A．一直增大 B．始终不变
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【解析】令 ，解得 ， ，
， ，
令 ，解得 ，
，
∵点D与点C关于x轴对称，故 ，
， ，
则四边形 是正方形，
将△ACP绕点C顺时针旋转90°得到△CBP'，
，
，
，
，
又 ， ，
△ ，
，阴影部分的面积=△CP'Q的面积，
当点P是AD中点时，PQ最短，即QP'最短时，△CP'Q的面积最小，
故可得到阴影部分的面积先减小后增大．
故答案为：C.
7．如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤3的范围内有解，则t的取值错误的是（ ）
A．t＝2.5 B．t＝3 C．t＝3.5 D．t＝4
【答案】A
【解析】∵-==2，
∴m=4，
∴y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴顶点坐标为（2，4），
当x=1时，y=3，当x=3时，y=3，
∵-x2+mx-t=-x2+4x-t=0，
∴-x2+4x=t，
如图，当y=t，在直线y=3和y=4之间时有解，
∴3≤t≤4，
故答案为：A.
8．“如果二次函数 的图像与 轴有两个交点，那么一元二次方程 有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若 、 是关于 的方程 的两根，且 ，则 ， ， ， 的大小关关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
∵m、n（m＜n）是关于x的方程1 （x a）（x b）＝0的两根，
∴二次函数y＝ （x a）（x b）＋1的图象与x轴交于点（m，0）和（n，0），
∴将y＝ （x a）（x b）＋1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝ （x a）（x b）的图象，
二次函数y＝ （x a）（x b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故答案为：A.
9．已知二次函数 的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴于点C(0，3)，若 ，且△ABC的面积为3，则a+b（ ）
A．3 B．-5 C．-3 D．5
【答案】C
【解析】依题意 为方程 的两根，且 .
所以 ， .
所以 ，
所以 面积 .
解得 ，经检验符合题意，
.
因为函数 的图象与x轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求.
所以 .
故答案为：C.
10．，点是函数图象上任意一点，（ ）
A．若，则y0<﹣（x1﹣x2）2 B．若，则y0>﹣（x1﹣x2）2
C．若，则y0≤﹣（x1﹣x2）2 D．若，则y0≥﹣（x1﹣x2）2
【答案】D
【解析】二次函数对称轴为x＝，
∵m＞0，
∴顶点处为最小值，
∴y的最小值为m（﹣x1）（﹣x2）+n＝﹣（x1﹣x2）2+n，
∵点（x0，y0）是函数图象上任意一点.
∴y0≥﹣（x1﹣x2）2+n，
∴n≥0时，y0≥﹣（x1﹣x2）2，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 0．（填“＜”或“＞”）
【答案】
【解析】∵y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
12．若二次函数 在 时的最小值为6，那么m的值是 .
【答案】 或
【解析】由二次函数
可知对称轴为直线
，
∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为
，
∵二次函数
在
时的最小值为6，
然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小，
∴当x=m+1时，函数有最小值，即为
，
解得：
（正根舍去），
②当m＞1时，则y随x的增大而增大，
∴当x=m时，函数有最小值，即为
，
解得：
（负根舍去），
∴综上所示：m的值是
或
；
故答案为：
或
.
13．已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为 ．
【答案】3
【解析】∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线x==b，
∵抛物线经过不同两点，，
∴A、B两点关于直线x=b对称，
∴，
∴，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△==≥0，
∴≥0，即-4（b-2）2≥0，
∴b=2，
∴c=b-1=1，
∴=3，
故答案为：3
14．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，点C是线段的中点，将线段绕点C顺时针旋转得到，过A、B、D三点作抛物线．当时，抛物线上最高点的纵坐标为 ．
【答案】
【解析】∵A、B两点的坐标分别为、，点C是线段的中点，
∴轴，，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转得到，
∴，轴，
∴顶点D为，
∴设抛物线的解析式为，
代入得，，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，
∴当时，在时，函数有最大值为：，
∴当时，抛物线上最高点的纵坐标为．
故答案为：．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）．
【答案】①②③④⑤
【解析】∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴
∴abc＞0，故①符合题意；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（a+b）≤﹣a，
故③符合题意；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，故④符合题意；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤符合题意，
故答案为：①②③④⑤．
16．如图，抛物线 与 交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ．则以下结论：①无论 取何值， 2的值总是正数；② ；③当 时， ；④ ．其中正确结论是 ．
【答案】①④
【解析】①∵抛物线y2= （x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论符合题意；②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本结论不符合题意；③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1= （x+2）2-3，当x=0时，y1= （0+2）2-3=- ，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= + = ，故本结论不符合题意；④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论符合题意．
故答案为：①④．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知函数y＝x2-2kx＋k2+1.
（1）求证：不论k取何值，函数y>0；
（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标.
【答案】（1）解：y＝（x-k）2+1
∵不论k取何值，（x-k）2
∴（x-k）2+1＞0；
即不论k取何值，函数y＞0；
（2）解：∵二次函数图象与y轴交于点（0，10）
∴当x＝0时，y＝10，
∴k2+1＝10，解得k＝±3，
∴y＝x2±9x+10＝（x±3）2+1
∴顶点坐标为（3，1）或（﹣3，1）.
18．某公司今年国庆期间在网络平台上进行直播销售猕猴桃，已知猕猴桃的成本价格为8元／kg，经销售发现：每日销售量y（kg）与销售单价x（元／kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，销售单价不低于成本价且不高于24元／kg．设公司销售猕猴桃的日获利为w（元）.
x（元／kg） 9 10 11
y(kg) 2100 2000 1900
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种猕猴桃日获利w最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设y=kx+b
则
∴
∴
（2）解：由题意得：
∴对称轴为x=19
∵，a=-100<0
∴当x=19，即 销售单价定为19时，销售这种猕猴桃日获利w最大，最大利润为12100元.
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若当－2≤x≤3时，y的最大值是7，求a的值；
（3）若点A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，且mn<0，求a的取值范围．
【答案】（1）解：根据抛物线的对称轴为：，
可得：；
（2）解：∵抛物线的对称轴为：，自变量的取值范围为：，
∴在处取得最大值7，
∴抛物线过点
∴
解得：；
（3）解：∵抛物线的对称轴为：，
∴当时，y的值与当时y的值相同，
∴设点，
∵，
∴在时，y随x的增大而减小，且，
∴，，
代入可得：
，
解得：，
∴a的取值范围为：．
7，由此得出结论；
（3）根据抛物线的对称轴为：，得出当时，y的值与当时y的值相同，设点，在时，y随x的增大而减小，且，代入即可得出a的取值范围。
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线 ，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 ， .
（1）求抛物线的解析式.
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）设抛物线上的一点 的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使 的面积为最大整数时点P的坐标.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设抛物线的解析式为 ，则有：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：存在点Q，使得 是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：
①当 时，如图所示：
过点Q作QH⊥y轴于点H，
∵ ， ，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△HCQ是等腰直角三角形，
∴ ，
设点 ，则有 ，
∴ ，解得： （不符合题意，舍去），
∴点 ；
②当 时，如图所示：
过点B作x轴的垂线，然后过点Q、C分别作QE⊥BE于点E，CF⊥BE于点F，
∴ ，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△QEB是等腰直角三角形，
∴ ，
设点 ，则有 ，
∴ ，解得： （不符合题意，舍去），
∴点 ；
综上所述：当 是以BC为直角边的直角三角形时，点 或 ；
（3）解：由（1）可知： ， ，
设直线BC的解析式为 ，则有：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，开口向下，
∴ ，
∴ 的面积为最大整数时的值为3，
∴ ，
解得： ，
∴点 或 .
21．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当y＜0时，写出x的取值范围；
（3）当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
（2）解：-1＜x＜3
（3）解：①当时
当x=a+1时，y取到最小值，最小值为
∴
②当时
当x=1时，y取到最小值，最小值为
∴a=-1（舍）
③当时
当x=a时，y取到最小值，最小值为
∴
综上所述：a= 或a=
22．如图，抛物线y＝ax2+bx－3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax ＋bx－3
得到
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）解：将C点横坐标x＝2代入y＝x ﹣2x﹣3
解得y＝﹣3
∴C（2，﹣3）
将A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得
解得
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P，E；
∴PE＝
＝﹣m +m+2
＝﹣（m）
∵﹣1＜0
∴当m时，PE的最大值
∴
此时P（，）
∴线段PE最大时点P坐标为．
（3）解：存在；满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意得K（0，﹣3）
∵C（2，﹣3）
∴CK∥x轴，CK＝2
①当AC是平行四边形ACF1D1的边时，轴
得在点的左侧且
∴可得D1（﹣3，0）．
②当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，轴
得在点的右侧且
∴可得D2（1，0）．
③当点F在x轴的上方时，令y＝3，有3＝x2﹣2x﹣3
解得x＝1±
∴可知F3（1，3），F4（1，3）
由平移的性质可知D3的横坐标为，D4的横坐标为
∴可得D3（4，0），D4（4，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4，0）或（4，0）．
23．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数 的图象和性质进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示.请根据函数图象完成以下问题：
（1）观察发现：
①写出该函数的一条性质 ；
②函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程 有 个实数根；
（2）分析思考：
③方程 的解为 ；
④关于 的方程 有4个实数根时，m的取值范围是 ；
（3）延伸探究：
⑤将函数 的图象经过怎样的平移可以得到函数 的图象，直接写出平移过程.
【答案】（1）图象关于 轴对称（答案不唯一）；；2；2
（2） ， ， ；；
（3）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
【解析】（1）①函数的性质：图象关于y轴对称； 时y随x的增大而增大.
②函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程 有2个实数根；
故答案为：图象关于y轴对称（答案不唯一）；2；2；
（2）③如图，
作y=1，与函数 交于（-2，1）、（0，1）、（2，1），故方程 的解为 ， ， ；
④如图，作y=m，
∵关于x的方程 有4个实数根，故m的取值范围是 ；
故答案为： ， ， ； ；
（3）二次函数的平移方法可知：将函数 的图象经过先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到函数 的图象.
24．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点A，过点A作 轴，垂足为点 .若P是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点C，交 于点D，连接 ， .
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积S的最大值；
（3）连接 交 于点E，如图2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解： 轴，点 ，
，
又∵抛物线经过 ，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点 ，则点 ，
∴
，
∴ 时， ；
（3）解：线段 与 能相互平分.理由如下：如图，连接
∵线段 与 相互平分，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
∴ 或
当 时，则
为 的中点，
∴点E的坐标为
当 时， 则
为 的中点，
∴点E的坐标为
∴点E的坐标为 或 .
标.
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