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浙教版2022-2023学年九上数学二次函数专题2二次函数最值问题（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵二次函数，
∴该抛物线的对称轴为，且，
∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c.
∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4.
故答案为：D.
2．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2
【解析】∵
∴这个二次函数的开口向上，对称轴
∴在的取值范围内，当时，有最小值-2；
当时，有最大值14.
故答案为：A.
3．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵a=1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4.
故答案为：D.
4．已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为( )
A． B．2 C． D．1
【解析】∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴ak+3=b，4k+3=c，
∴ab=a（ak+3）=a2k+3a=k（a+）2-，
又∵ab的最大值为9，
∴k＜0，且-=9，
∴k=-，
∴4×（-）+3=c，
∴c=2.
故答案为：B.
5．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【解析】y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
6． ， 点 是函数图象上任意一点， ( )
A．若 ， 则
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则
【解析】
=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2
=，
=，
∵a>0，
∴y最小=，
∴若 ， 则 .
故答案为：D.
7．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解析】∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴b=ak+3，c=4k+3，
∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+）2-，
∴当k＜0时，ab取最大值为-，
∵ab的最大值为9，
∴-=9，解得k=-，
∴c=4×（-）+3，
∴c=2.
故答案为：C.
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
【解析】∵当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，
∴二次函数图象开口向上，
∵由
时，
可知抛物线对称轴在y右侧，为直线x=2，如图，
∵点（2，n）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴
当
时，
有最小值为n+1，即
∵
∵
∴
∴
故答案为：C.
9．已知二次函数 ，当 时，函数的最小值为 ；当 时，函数的最小值为 ，则 的值是（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-2或2
【解析】如图：
二次函数 的图象开口向上
当 时，函数的最小值为-2
当 时，函数取得最小值-2
将 ， 代入 ，得：
解得：
当 时，函数的最小值为-1，
开口向上
时， ，代入 ，得：
故答案为：C.
【分析】根据二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为 2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，＝ 2，＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为 1，即可得到c的值，然后将c的值代入＝ 2，即可得到b的值，从而可以求得bc的值．
10．已知非负数 ， ， 满足 且 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是（ ）
A．16 B．15 C．9 D．7
【解析】∵a+b=3，c﹣3a=-6，
∴b=3﹣a，c=3a-6.
∵b，c都是非负数，
∴ ，
解不等式①得：a≤3，
解不等式②得：a≥ ，
∴2≤a≤3.
又∵a是非负数，
∴2≤a≤3，
S=a2+b+c=a2+（3﹣a）+3a-6=a2+2a-3，
∴对称轴为直线a=﹣ =﹣1，
∴a=2时，最小值n=5，
∴a=3时，最大值m=32+2×3-3=12，
∴m﹣n=12﹣5=7.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
【解析】点P到y轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为1≤n＜10.
故答案为：1≤n＜10.
12．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
【解析】，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
13．已知二次函数，在时，有最大值6，则 .
【解析】 二次函数 的对称轴为
时，时取得最大值6.
解得：
故答案为： .
14．已知实数x，y满足x2-3x+4y=7，则3x+4y的最大值为 。
【解析】 x2-3x+4y=7，
∴4y=7-x2+3x
∴3x+4y=7-x2+3x+3x=-x2+6x+7=-（x-3）2+16，
∴3x+4y的最大值为16.
故答案为：16.
15．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 .
【解析】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），
∴对称轴是直线x=﹣ =﹣1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a﹣6=0，
∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）.
故答案为：1.
16．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 .
【解析】由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴ .
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数 （b，c是常数）．
（1）当 ， 时，求二次函数的最大值；
（2）当 时，函数有最大值为7，求b的值；
（3）当 且自变量 时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
【答案】（1）解：当b=3，c=4时，2b=6，
∴ ，
∴ 当x=-3时，
（2）解：当c=6，函数值 时，
∵a=-1＜0，函数开口向下，函数有最大值，
∴ 当x=-b时，y最大值=
∴ b=±1
（3）解：当c=3b时，
∴ 抛物线对称轴为：x=-b
①-b<1时，即b＞-1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下， 有最大值
∴ 当x=1时，y最大.
∴
∴ b=
② ，即-5≤b＜-1，当x=-b时， y最大.
∴
∴ ， （舍去）
③当- 时，即b＜-5，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而 增大，
∴当x=5时， y最大.
∴- ，
∴ b= （舍去）
综上可得： b=﹣5或b=
∴二次函数的表达式： 或
18．已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】（1）解：把（0，－3），（－6，－3）代入y＝ ，
得b＝－6，c=－3
（2）解：∵y＝ ＝ ，
又∵－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y有最大值为6．
（3）解：①当－3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为－3，
当x＝m时，y有最大值为 ，
∴ +(－3)＝2，
∴m＝－2或m＝－4（舍去）．
②当m≤－3时，
当x＝－3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为－4，
∴ =－4，
∴m＝ 或m＝ （舍去）．
综上所述，m＝－2或 ．
19．已知抛物线（a是实数）．
（1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为，求该抛物线的表达式；
（2）若点，都在该抛物线上，求b的最大值．
【答案】（1）解：∵抛物线，∴，
∴，∴该抛物线的表达式为
（2）解：点，都在该抛物线上，
∴对称轴为直线，
∴，∴，∴点N的坐标为，
代入，得，
∴当时，b有最大值，最大值为3．
20．已知：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式和直线AB的函数解析式；
（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0），
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，
设直线AB的函数解析式为y＝kx＋m，由题意，得
，解得，
∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋3．
（2）解：设点M的坐标为（a，－a2＋2a＋3），则N点坐标为（a，－a＋3），
∵M，N在第一象限，
∴MN＝－a2＋2a＋3－（－a＋3）＝－a2＋2a＋3＋a－3
＝－a2＋3a
＝－＋，
∴当a＝时，点M与点N之间的距离的最大，最大值为，此时点M的坐标为，点N的坐标为．
21．已知抛物线经过点，.
（1）求，的值.
（2）已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值.
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴ 解得
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为： =
∴抛物线的顶点坐标为：（1，8）
∵a<0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为8，又当时，有最大值，
∵的最大值和最小值分别为，，
∴m=8
又∵
∴n=6
则6=
解得x=2或x=0
∵当x>1时，y随x的增大而减小，又当时，有最小值
∴1+k=2
∴k=1
22．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C.
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值.
【答案】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2.
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）.
23．如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）.点P为抛物线上一动点，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF.
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，请直接写出m的取值范围.
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值.
【答案】（1）解：对于，当时，，
∴.
将代入，得，
∴，
将，分别代入，
得 ，解得，
故抛物线的解析式为.
∵，
∴抛物线的顶点坐标为.
（2）解：①
②易知，.
∵，
∴当时，最小，最小值为1，
∴矩形周长的最小值为.
24．如图，已知：关于y的二次函数 的图象与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
（1）求二次函数的表达式.
（2）在y轴上是否存在一点P，使 为直角三角形.若存在，请求出点P的坐标.
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时， 面积最大，试求出面积.
【答案】（1）解：把A（2，0）和C（0，6）代入y＝x2+bx+c，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，则x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3，
∴B（3，0），抛物线对称轴是x= ，
∴BC2＝32+62=45，
设P点坐标为（0，m），
CP2=(6-m)2，BP2=32+m2=9+ m2，
当∠CBP=90°时，BC2+ BP2= CP2，
45+9+m2=(6-m)2，
解得，m= ，P点坐标为（0， ）；
当∠CPB=90°时， CP2+ BP2= BC2，
45=9+m2+(6-m)2，
解得，m1=0，m2=6（舍去），P点坐标为（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0， ）或（0，0）；
（3）如图2，
设A运动时间为t，由AB＝1，得BM＝1﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝ ×（1﹣t）×2t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣ ）2+ ，
当t= 时，S△MNB面积最大，最大面积为 ；
即当M（ ，0）、N（ ，1）或（ ，﹣1）时△MNB面积最大，最大面积是 .
答.
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浙教版2022-2023学年九上数学二次函数专题2二次函数最值问题
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7
C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2
3．已知二次函数y=2x2 4x 1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为( )
A． B．2 C． D．1
5．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
6． ， 点 是函数图象上任意一点， ( )
A．若 ， 则
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则
7．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（2，n），当x＞0时，y≥n，当x≤0时，y≥n+1，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
9．已知二次函数 ，当 时，函数的最小值为 ；当 时，函数的最小值为 ，则 的值是（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-2或2
10．已知非负数 ， ， 满足 且 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值是（ ）
A．16 B．15 C．9 D．7
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
12．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
13．已知二次函数，在时，有最大值6，则 .
14．已知实数x，y满足x2-3x+4y=7，则3x+4y的最大值为 。
15．已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为 .
16．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数 （b，c是常数）．
（1）当 ， 时，求二次函数的最大值；
（2）当 时，函数有最大值为7，求b的值；
（3）当 且自变量 时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
18．已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
19．已知抛物线（a是实数）．
（1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为，求该抛物线的表达式；
（2）若点，都在该抛物线上，求b的最大值．
20．已知：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式和直线AB的函数解析式；
（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．
21．已知抛物线经过点，.
（1）求，的值.
（2）已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值.
22．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C.
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值.
23．如图，抛物线y＝ax2+3x+c与x轴交于点A，B，直线y＝x+1与抛物线交于点A，C（3，n）.点P为抛物线上一动点，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）已知直线l：x＝m+5与直线AC交于点D，过点P作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF.
①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，请直接写出m的取值范围.
②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值.
24．如图，已知：关于y的二次函数 的图象与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
（1）求二次函数的表达式.
（2）在y轴上是否存在一点P，使 为直角三角形.若存在，请求出点P的坐标.
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时， 面积最大，试求出面积.
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