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浙教版2022-2023学年九上数学二次函数专题4二次函数几何综合问题
考试时间：120分钟（每题12分） 满分：120分
1．如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
7．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求抛物线的解析式；
（3）绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标．
8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．
（1）求抛物线和直线AC的函数表达式；
（2）若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式．
9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标；
（3）设点F是抛物线上一点，其横坐标为－2，在抛物线上是否存在一点M，使得AM被直线BF平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
10．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标；
（2）当 时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使 ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由；
（3）当 时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q， APQ和 OCQ的面积分别为 和 ，当 的值最大时，求直线PO的解析式．
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浙教版2022-2023学年九上数学二次函数专题4二次函数几何综合问题
（解析版）
考试时间：120分钟 满分：120分
1．如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得： ，
即 ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标，得直线 的表达式为： ，
如图所示，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
设点 ，则点 ，
则 ，
，
即： ，
解得： 或 舍去 ，
故 ；
（3）解：当 时，点 ，
设点 ，点 ，则 ，
①当 是边时，
点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，同样点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，
故 或 ，
联立①②并解得： 不合题意的值已舍去 ；
故点 的坐标为 或 或 ；
②当 是对角线时，
由中点公式得： ，
联立①③并解得 ，
故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为．
（2）解：设直线AB的解析式为：，∵直线AB经过，，∴，∴，∴直线AB的表达式为．
∵轴，可设，，其中．当M在N点上方时，．解得，（舍去）．∴．当M在N点下方时， ．解得，．∴，．综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）解：解：(3)存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．理由如下：①如图，若AC是四边形的边．
当时，∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，∵，，∴，，．∵，∴．∴．∴点与点D重合．当时，四边形是矩形．∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．此时直线的解析式为．∵直线与平行且过点，∴直线的解析式为．∵点是直线与拋物线的交点，∴．解得，（舍去）．∴．当时，四边形是矩形．∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．②如图，若AC是四边形的对角线，
当时．设AC中点E，P3E=1/2AC，（5/2-t）2+（-t2+4t-3/2）2=9/2∵点P不与点A，C重合，∴和．（含因式（t-1）（t-4））∴．∴．∴如图，满足条件的点P有两个．即，．
当时，四边形是矩形．∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．当时，四边形是矩形．∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．综上，满足条件的点Q的坐标为或或或
3．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）解：设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）解：存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，
理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），
①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
4．如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴ ，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGPG AE3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）（m）2，
0，
∴当m时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，
顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），
如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；
（4）解：设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m或，∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，∴m＝，此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
5．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1） （x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）解：如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝ （﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）解：设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
6．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（1，2）
如图，设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为：y=x+1 ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，
（4）解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，
直线与y轴的交点为D（0，1），
，
，
若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：
①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形，
依题意，知D与F重合，点 的坐标为（1，1）；
②以为中心分别作点F，点C点的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；
③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；
④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，
综上所述，点N的坐标为：
7．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求抛物线的解析式；
（3）绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标．
【答案】（1）证明：四边形AOCD是矩形，理由如下：
∵，，，
∴CD//y轴，AD//x轴，
∴CD∥OA，AD∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
又∵点A在y轴上，点C在x轴上，
∴∠AOC= 90°，
∴四边形AOCD是矩形
（2）解：设抛物线的解析式为，
把，，代入得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：
（3）解：点的坐标为或
∵，，，
∴AD = 1，CD =，
由（1）得，四边形AOCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，由旋转可知：，
∴，，
∴ΔA1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，
∴分三种情况讨论：
①当点A1，C1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，如图2，
设
则，
∴，即，
∴
，
即
∵
∴
整理得：，
①+②得：，
解得：，
当时，
，
∴；
②当点D1落在抛物线上时，点A1不可能落在抛物线上，
如图3，
③当点C1，D1落在抛物线上时，A1D1//y轴，C1D1//z轴，
如图4，
此时C1、D1关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设则：，
∴，
，
又∵，
∴，
解得：，
∵A1D1 = 1，
∴，
把代入得：
，
解得：，
∴，
综上所述，若△A1C1D1恰好两个顶点落在抛物线上，此时A1的坐标为或
8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．
（1）求抛物线和直线AC的函数表达式；
（2）若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式．
【答案】（1）解：把A（-1，0），B（3，0）代入，
得，∴，
∴抛物线的函数表达式为；
∵，，
∴AB＝4，
设点D的纵坐标为h，
∵△ABD的面积为10，
∴，
∴h＝5，
把h＝5代入，得，
∴，（舍去），
∴点D的坐标为（4，5），
设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，
把A（-1，0），D（4，5）代入，得
，∴，
∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1；
（2）解：过点E作EF⊥AB交AB于点G，交直线AC于点F，过点C作CH⊥EF于点H．
设点，则F（m，m＋1），
∴，
∵
=
=
=
=
=，
∴
，
∵，
∴有最大值，当时，△ACE面积的最大值为．
此时，点．
（3）解：在对称轴上取点M，使AM＝AB．
又∵AM＝BM，
∴AM＝AB＝BM，
∴△ABM为等边三角形．
①当点P在x轴的上方时：
设对称轴交x轴于点K，连接AP交对称轴于点N，如图所示．
∵△BPQ是等边三角形，
∴BQ＝BP，∠QBP＝60°，
易得∠ABQ＝∠MBP，
∴△ABQ≌△MBP，
∴AQ＝MP，
又∵AQ＝QB＝BP，
∴MP＝BP，
又∵AM＝AB，
∴AP垂直平分MB，
∴∠NAK＝30°，
易得AK＝2，
∴，
设直线AP的解析式为y＝mx＋n，
把A（－1，0），代入，解得．
∴直线AP的函数解析式为；
②当点P在x轴的下方时，可以证得△ABP≌△MBQ，
∴∠BAP＝∠BMQ＝30°
同样可得．
综上所述，直线AP的函数解析式为或．
9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标；
（3）设点F是抛物线上一点，其横坐标为－2，在抛物线上是否存在一点M，使得AM被直线BF平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：B的坐标为（3，0）代入解析式中得：
，
解得：m=2，
故抛物线的解析式为：，
顶点坐标的横坐标为：，代入解析式中得y=4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）；
（2）解：∵根据A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴PA=PB，
∴连接BC交抛物线对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，
将x=0代入到中，得：，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B、C的坐标分别代入得：
，
解得：，
所以直线BC的解析式为：y=-x+3，
将x=1代入到y=-x+3得：y=2，
∴P点坐标为（1，2）；
（3）解：∵点F是抛物线上一点，其横坐标为－2，
∴将x=-2代入函数解析式可得：y=-4-4+3=-5，
∴F(-2，-5)，
设直线BF的解析式为y=kx+b，将点B，F代入可得：
，
解得：，
∴y=x-3，
由点B（3，0）及对称轴为x=1，
点A（-1，0），
设点，
∴线段AM的中点，
∵直线BF平分线段AM，
∴直线BF经过点G，
代入可得：，
解得：，，
当时，，
当时，，
点或．
10．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标；
（2）当 时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使 ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由；
（3）当 时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q， APQ和 OCQ的面积分别为 和 ，当 的值最大时，求直线PO的解析式．
【答案】（1）解： 对称轴 ，
对称轴为直线 ，
抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
令 ，则 ，
解得 ，
（2）解：存在实数a，使 ABD为等边三角形，理由如下：
，抛物线的顶点为D，
，
ABD为等边三角形，
，
， ，
，
，
解得 ，
，
；
（3）解： ，
，
抛物线与y轴交于点C，
令 ，则 ，
，
，
随 的增大而减小，
当 最小时， 最大，此时P点即为抛物线的顶点，
，
设直线PO的解析式为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
直线PO的解析式为 ．
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